24.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系【知識(shí)詳細(xì)解讀】1、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外。點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的數(shù)量關(guān)系決定的，一般地，如果P是圓所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，d表示P到圓心的距離，r表示圓的半徑，那么就有：drP在圓外注意：已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，反過(guò)來(lái)，由點(diǎn)的位置也可以確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系。2、過(guò)三點(diǎn)的圓不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。注意：（1）“不在同一直線(xiàn)上”這個(gè)條件不可忽略，因?yàn)檫^(guò)共線(xiàn)的三點(diǎn)不能作圓。（2）“確定”一詞是指不僅能作出圓，而且只能作一個(gè)圓，即“有且只有”。3、三角形的外接圓經(jīng)過(guò)三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。注意：（1）“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)與圓的關(guān)系，圓經(jīng)過(guò)三角形的各頂點(diǎn)（或三角形各頂點(diǎn)都在圓上）。而“內(nèi)”、“外”是相對(duì)位置關(guān)系，是以一個(gè)圖形為準(zhǔn)，說(shuō)明另一個(gè)圖形在它的里面或外面。如“圓的內(nèi)接三角形”是以圓為準(zhǔn)，說(shuō)明三角形在它的里面。（2）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形外部，無(wú)論哪種三角形，它們的外心都是三角形任意兩邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。只要三角形確定，那么它的外心與外接圓的半徑就確定了。4、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的特征與識(shí)別5、切線(xiàn)經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。注意：定義中有兩個(gè)已知條件，即直線(xiàn)一要經(jīng)過(guò)半徑的外端，二要和這條半徑垂直，兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線(xiàn)。6、切線(xiàn)的識(shí)別方法直線(xiàn)與圓只有唯一一個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)和圓相切；當(dāng)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑時(shí)，直線(xiàn)與圓相切；經(jīng)過(guò)直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。注意：實(shí)際上是的另一種說(shuō)法，但我們?cè)谧鲱}時(shí)，往往連結(jié)圓心和圓上的一點(diǎn)，證明這條半徑垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的這條切線(xiàn)即可。7、切線(xiàn)長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)相等。這一點(diǎn)與圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。注意：切線(xiàn)長(zhǎng)定理體現(xiàn)了圓的本質(zhì)特征-軸對(duì)稱(chēng)性，它為識(shí)別線(xiàn)段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系等提供了理論依據(jù)。8、三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三角形三邊的距離相等。注意：一個(gè)三角形又且只有一個(gè)內(nèi)切圓，而一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形，三角形的內(nèi)心是三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，因此，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的內(nèi)心都在三角形內(nèi)部，三角形內(nèi)心到三邊的距離相等。9、圓和圓的位置關(guān)系（1）如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相離。外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離。（圖（1）內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含（圖（5）。兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一個(gè)特例。（圖（6）（2）如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切外切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切。這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。（圖（2）內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切。這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。（圖（4）（3）兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這兩個(gè)圓相交。（圖（3）注意：（1）兩圓外離與內(nèi)含時(shí)，兩圓都無(wú)公共點(diǎn)，但同時(shí)要考慮內(nèi)部和外部的因素。兩圓外切與內(nèi)切也有這樣的比較。（2）兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱(chēng)兩圓相切，即外切和內(nèi)切的共性是公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)唯一。（3）兩圓位置關(guān)系的五種情況也可歸納為三類(lèi)：相離（外離和內(nèi)含）；相交；相切（外切和內(nèi)切）。10、兩圓位置關(guān)系的數(shù)量特征設(shè)兩圓半徑分別為R和r。圓心距為d。【典型例題感悟】 例1、OA平分BOC，P是OA上任一點(diǎn)，C不與點(diǎn)O重合，且以P為圓心的圓與OC相離，那么圓P與OB的位置關(guān)系是（ ）（A）相離 （B）相切 （C）相交 （D）不確定分析：因?yàn)橐渣c(diǎn)P為圓心的圓與OC相離，則P到OC的距離大于圓的半徑又因?yàn)榻瞧椒志€(xiàn)上的一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，則點(diǎn)P到OB的距離也大于圓的半徑，故圓P與OB也相離解：A例2、ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，它的內(nèi)切圓的半徑為r，則ABC的面積為（ ）（A）（abc）r （B）2（abc）（C）（abc）r （D）（abc）r圖24.2-1分析：連結(jié)內(nèi)心與三個(gè)頂點(diǎn)，則ABC的面積等于三個(gè)三角形的面積之和，所以ABC的面積為arbrcr（abc）r解：A例3、如圖24.2-1，點(diǎn)I為ABC的內(nèi)心，點(diǎn)O為ABC的外心，O140，則I為（ ）（A）140 （B）125 （C）130 （D）110分析：因點(diǎn)O為ABC的外心，則BOC、A分別是所對(duì)的圓心角、圓周角，所以O(shè)2A，故A14070又因?yàn)镮為ABC的內(nèi)心，所以I90A9070125解：B點(diǎn)撥：本題考查圓心角與圓周角的關(guān)系，內(nèi)心、外心的概念注意三角形的內(nèi)心與兩頂點(diǎn)組成的角與另一角的關(guān)系式例4、如圖24.2-2，在ABC中，ABAC，C72，O過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與BC切于點(diǎn)B，與AC交于D，連結(jié)BD，若BC1，則AC_圖24.2-2分析：在ABC中，ABAC，則 ABCACB72， BAC36又 BC切O于B， ADBC36 BDC72 ABD723636 ADBDBC易證CBDCAB， BC 2CDCA ADBDBC， CDACADACBC BC2（ACBC）CA解關(guān)于AC的方程，得ACBC AC（1）2解：2金鑰匙：本題考查弦切角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)注意底角為72的等腰三角形的特殊性，底角的平分線(xiàn)把對(duì)邊分成的兩線(xiàn)段的比為，即成黃金比圖24.2-3例5、如圖24.2-3，PA、PB、DE分別切O于A、B、C，O的半徑長(zhǎng)為6 cm，PO10 cm，則PDE的周長(zhǎng)是_分析：連結(jié)OA，則OAAP在RtPOA中，PA8（cm）由切線(xiàn)長(zhǎng)定理，得EAEC，CDBD，PAPB， PDE的周長(zhǎng)為PEDEPDPEECDCPD，PEEAPDDBPAPB16（cm）解：16 cm金鑰匙：本題考查切線(xiàn)長(zhǎng)定理、切線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理注意：在有關(guān)圓的切線(xiàn)長(zhǎng)的計(jì)算中，往往利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理進(jìn)行線(xiàn)段的轉(zhuǎn)換例6、已知：如圖24.2-4，O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)分別交O1、O2于C、D兩點(diǎn)（C、D不與B重合），連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線(xiàn)交O1于點(diǎn)E，連BE（1）求證：BE是O2的切線(xiàn)；（2）如圖24.2-5，若兩圓圓心在公共弦AB的同側(cè)，其他條件不變，判斷BE和O2的位置關(guān)系（不要求證明）分析：（1）過(guò)B作O2的直徑BH，連結(jié)AB、AH，證EBH90（2）用類(lèi)似的方法去探求證明：（1）連結(jié)AB，作O2的直徑BH，連結(jié)AH則 ABHH90，HADB，EBAECA 圖24.2-4 ECBD， ADBACEEBA EBAABH90即 EBH90 BE是O2的切線(xiàn)（2）同理可知，BE仍是O2的切線(xiàn) 圖24.2-5金鑰匙：證明一與圓有公共點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)的一般方法是過(guò)公共點(diǎn)作半徑（或直徑），再證直徑與半徑垂直，但此題已知條件中無(wú)90的角，故作直徑構(gòu)造90的角，再進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換同時(shí)兩圓相交，通常作它們的公共弦，這樣把兩圓中的角都聯(lián)系起來(lái)了另外，當(dāng)問(wèn)題進(jìn)行了變式時(shí)，要學(xué)會(huì)借鑒已有的思路解題例7、已知A、B相切，圓心距