1 3 2極大值與極小值 一 第1章1 3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 了解函數(shù)極值的概念 會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 并會(huì)靈活應(yīng)用 2 掌握函數(shù)極值的判定及求法 3 掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件 題型探究 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 思考1 知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的極值點(diǎn)和極值 觀察y f x 的圖象 指出其極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)及極值 答案 答案極大值點(diǎn)為e g i 極大值為f e f g f i 極小值點(diǎn)為d f h 極小值為f d f f f h 思考2 導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎 答案 答案不一定 如f x x3 盡管由f x 3x2 0 得出x 0 但f x 在r上是單調(diào)遞增的 不滿(mǎn)足在x 0的左 右兩側(cè)符號(hào)相反 故x 0不是f x x3的極值點(diǎn) 1 極小值點(diǎn)與極小值若函數(shù)y f x 在點(diǎn)x a的函數(shù)值f a 比它在點(diǎn)x a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小 f a 而且在點(diǎn)x a附近的左側(cè)f x 0 就把點(diǎn)a叫做函數(shù)y f x 的極小值點(diǎn) f a 叫做函數(shù)y f x 的極小值 2 極大值點(diǎn)與極大值若函數(shù)y f x 在點(diǎn)x b的函數(shù)值f b 比它在點(diǎn)x b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大 f b 而且在點(diǎn)x b附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 就把點(diǎn)b叫做函數(shù)y f x 的極大值點(diǎn) f b 叫做函數(shù)y f x 的極大值 3 極大值點(diǎn) 極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn) 極大值 極小值統(tǒng)稱(chēng)為 梳理 0 0 極值 知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)極值的求法與步驟 1 求函數(shù)y f x 的極值的方法解方程f x 0 當(dāng)f x0 0時(shí) 1 如果在x0附近的左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增 即f x 0 在x0的右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減 即f x 0 那么f x0 是 2 如果在x0附近的左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減 即f x 0 在x0的右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增 即f x 0 那么f x0 是 極大值 極小值 2 求可導(dǎo)函數(shù)f x 的極值的步驟 1 確定函數(shù)的定義域 求導(dǎo)數(shù)f x 2 求方程的根 3 列表 4 利用f x 與f x 隨x的變化情況表 根據(jù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值 f x 0 題型探究 命題角度1不含參數(shù)的函數(shù)求極值例1求下列函數(shù)的極值 并畫(huà)出函數(shù)的草圖 1 f x x2 1 3 1 解答 類(lèi)型一求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值 解f x 6x x2 1 2 6x x 1 2 x 1 2 令f x 0 解得x1 1 x2 0 x3 1 當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 當(dāng)x 0時(shí) f x 有極小值0 函數(shù)的草圖如圖所示 解答 令f x 0 解得x e 當(dāng)x變化時(shí) f x 與f x 的變化情況如下表 函數(shù)的草圖如圖所示 1 討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí) 要樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則 2 求可導(dǎo)函數(shù)f x 的極值的步驟 求導(dǎo)數(shù)f x 求方程f x 0的根 觀察f x 在方程根左右的值的符號(hào) 如果左正右負(fù) 那么f x 在這個(gè)方程根處取得極大值 如果左負(fù)右正 那么f x 在這個(gè)方程根處取得極小值 注意 f x 無(wú)意義的點(diǎn)也要討論 可先求出f x 0的根和f x 無(wú)意義的點(diǎn) 這些點(diǎn)都稱(chēng)為可疑點(diǎn) 再用定義去判斷 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的極值 1 y 2x3 6x2 18x 3 解答 解函數(shù)的定義域?yàn)閞 y 6x2 12x 18 6 x 3 x 1 令y 0 得x 3或x 1 當(dāng)x變化時(shí) y y的變化情況如下表 從上表中可以看出 當(dāng)x 3時(shí) 函數(shù)取得極大值 且y極大值 57 當(dāng)x 1時(shí) 函數(shù)取得極小值 且y極小值 7 解函數(shù)的定義域?yàn)?0 0 令y 0 得x 2或x 2 當(dāng)x 2時(shí) y 0 當(dāng) 2 x 0時(shí) y 0 即x 2時(shí) y取得極大值 且極大值為 8 當(dāng)0 x 2時(shí) y 0 當(dāng)x 2時(shí) y 0 即x 2時(shí) y取得極小值 且極小值為8 解答 命題角度2含參數(shù)的函數(shù)求極值例2設(shè)函數(shù)f x 2x3 3 a 1 x2 1 其中a 1 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 解答 解由已知 得f x 6x x a 1 令f x 0 解得x1 0 x2 a 1 當(dāng)a 1時(shí) f x 6x2 f x 在 上單調(diào)遞增 當(dāng)a 1時(shí) f x 6x x a 1 列表如下 從上表可知 函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞增 在 0 a 1 上單調(diào)遞減 在 a 1 上單調(diào)遞增 2 討論f x 的極值 解由 1 知 當(dāng)a 1時(shí) 函數(shù)f x 沒(méi)有極值 當(dāng)a 1時(shí) 函數(shù)在x 0處取得極大值1 在x a 1處取得極小值1 a 1 3 解答 含參數(shù)的函數(shù)求極值應(yīng)從f x 0的兩根x1 x2相等與否入手進(jìn)行 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f x x alnx a r 1 當(dāng)a 2時(shí) 求曲線(xiàn)y f x 在點(diǎn)a 1 f 1 處的切線(xiàn)方程 因而f 1 1 f 1 1 所以曲線(xiàn)y f x 在點(diǎn)a 1 f 1 處的切線(xiàn)方程為y 1 x 1 即x y 2 0 解答 2 求函數(shù)f x 的極值 當(dāng)a 0時(shí) f x 0 函數(shù)f x 為 0 上的增函數(shù) 函數(shù)f x 無(wú)極值 當(dāng)a 0時(shí) 令f x 0 解得x a 又當(dāng)x 0 a 時(shí) f x 0 從而函數(shù)f x 在x a處取得極小值 且極小值為f a a alna 無(wú)極大值 綜上 當(dāng)a 0時(shí) 函數(shù)f x 無(wú)極值 當(dāng)a 0時(shí) 函數(shù)f x 在x a處取得極小值a alna 無(wú)極大值 解答 例3 1 已知函數(shù)f x x3 3ax2 bx a2在x 1處有極值0 求a b的值 類(lèi)型二已知函數(shù)極值求參數(shù) 解答 解 f x 3x2 6ax b 且函數(shù)f x 在x 1處有極值0 當(dāng)a 1 b 3時(shí) f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 此時(shí)函數(shù)f x 在r上為增函數(shù) 無(wú)極值 故舍去 當(dāng)a 2 b 9時(shí) f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 當(dāng)x 3 時(shí) f x 0 此時(shí)f x 為增函數(shù) 當(dāng)x 3 1 時(shí) f x 0 此時(shí)f x 為增函數(shù) 故f x 在x 1時(shí)取得極小值 a 2 b 9 2 若函數(shù)f x x3 x2 ax 1有極值點(diǎn) 求a的取值范圍 解f x x2 2x a 由題意 方程x2 2x a 0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 所以 4 4a 0 解得a 1 解答 引申探究1 若本例 2 中函數(shù)的極大值點(diǎn)是 1 求a的值 解f x x2 2x a 由題意得f 1 1 2 a 0 解得a 3 則f x x2 2x 3 經(jīng)驗(yàn)證可知 f x 在x 1處取得極大值 解答 2 若本例 2 中函數(shù)f x 有兩個(gè)極值點(diǎn) 均為正值 求a的取值范圍 解由題意 方程x2 2x a 0有兩個(gè)不等正根 解答 解得0 a 1 故a的取值范圍是 0 1 已知函數(shù)極值的情況 逆向應(yīng)用 確定函數(shù)的解析式時(shí) 應(yīng)注意兩點(diǎn) 1 根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組 利用待定系數(shù)法求解 2 因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件 所以利用待定系數(shù)法求解后 必須驗(yàn)證根的合理性 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練3 1 函數(shù)f x x3 ax2 bx c的圖象如圖所示 且與直線(xiàn)y 0在原點(diǎn)處相切 函數(shù)的極小值為 4 求a b c的值 解答 解 函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn) c 0 即f x x3 ax2 bx f x 3x2 2ax b 又函數(shù)f x 的圖象與直線(xiàn)y 0在原點(diǎn)處相切 f 0 0 解得b 0 f x 3x2 2ax x 3x 2a a 3 b c 0 求函數(shù)的遞減區(qū)間 解答 解由 知 f x x3 3x2 且f x 3x x 2 由f x 0 得3x x 2 0 0 x 2 函數(shù)f x 的遞減區(qū)間是 0 2 解答 當(dāng)00 當(dāng)x 1時(shí) f x 0 f x 在 0 1 上單調(diào)遞增 在 1 上單調(diào)遞減 函數(shù)f x 在x 1處取得極大值 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 函數(shù)f x x3 15x2 33x 6的單調(diào)減區(qū)間為 答案 2 3 4 5 1 1 11 2 函數(shù)f x 的定義域?yàn)閞 導(dǎo)函數(shù)f x 的圖象如圖所示 則關(guān)于函數(shù)f x 的極值點(diǎn)的說(shuō)法中 正確的為 填序號(hào) 無(wú)極大值點(diǎn) 有四個(gè)極小值點(diǎn) 有三個(gè)極大值點(diǎn) 兩個(gè)極小值點(diǎn) 有兩個(gè)極大值點(diǎn) 兩個(gè)極小值點(diǎn) 有四個(gè)極大值點(diǎn) 無(wú)極小值點(diǎn) 答案 2 3 4 5 1 解析 解析在x x0的兩側(cè) f x 的符號(hào)由正變負(fù) 則f x0 是極大值 f x 的符號(hào)由負(fù)變正 則f x0 是極小值 由圖象易知有兩個(gè)極大值點(diǎn) 兩個(gè)極小值點(diǎn) 3 已知函數(shù)f x x3 ax2 3x 9在x 3處取得極值 則a 2 3 4 5 1 答案 解析 5 解析由題意 得f 3 3 3 2 2a 3 3 0 所以a 5 4 已知曲線(xiàn)f x x3 ax2 bx 1在點(diǎn) 1 f 1 處的切線(xiàn)斜率為3 且x 是y f x 的極值點(diǎn) 則a b 2 3 4 5 1 答案 解析 2 解析f x 3x2 2ax b 5 已知函數(shù)f x ax2 blnx在x 1處有極值 1 求a b的值 2 3 4 5 1 解答 2 判斷f x 的單調(diào)區(qū)間 并求極值 2 3 4 5 1 解答 又f x 的定義域?yàn)?0 令f x 0 解得x 1 列表如下 2 3 4 5 1 f x 的單調(diào)減區(qū)間為 0 1 單調(diào)增區(qū)間為 1 規(guī)律與