11 111 1 班班 沈陽(yáng)沈陽(yáng) 1414 號(hào)號(hào) 初中二次函數(shù)的解題方法初中二次函數(shù)的解題方法 首先回顧一下初中二次函數(shù)的重要性質(zhì)和基本表達(dá)式 一般式一般式 y ax x2 2 bx c a 0 a b c 為常數(shù) 頂點(diǎn) 坐標(biāo)為 b 2a 4ac b 4a 頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式 y a x h k a 0 a h k 為常數(shù) 頂點(diǎn)坐 標(biāo)為 h k 對(duì)稱軸為 x h 頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口 方向與函數(shù) y ax 的圖像相同 有時(shí)題目會(huì)指出讓你用 配方法把一般式化成頂點(diǎn)式 交點(diǎn)式交點(diǎn)式 y a x x1 x x2 a 0 僅限于與 x 軸即 y 0 有交點(diǎn) A x1 0 和 B x2 0 的拋物線 即 b 2 4ac 0 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟 X1 x2 b a x1 x2 c a y ax bx c a x b ax c a a x x1 x2 x x1x2 a x x1 x x2 重要概念重要概念 1 二次函數(shù)圖像是軸對(duì)稱圖形 對(duì)稱軸為直線 x h 或者 x b 2a 對(duì)稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次 函數(shù)圖像的頂點(diǎn) P 特別地 當(dāng) h 0 時(shí) 二次函數(shù)圖像 的對(duì)稱軸是 y 軸 即直線 x 0 a b 同號(hào) 對(duì)稱軸在 y 軸 左 b 0 對(duì)稱軸是 y 軸 a b 異號(hào) 對(duì)稱軸在 y 軸右側(cè) 2 二次函數(shù)圖像有一個(gè)頂點(diǎn) P 坐標(biāo)為 P h k 當(dāng) h 0 時(shí) P 在 y 軸上 當(dāng) k 0 時(shí) P 在 x 軸上 h b 2a k 4ac b2 4a 3 二次項(xiàng)系數(shù) a 決定二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向和大 小 當(dāng) a 0 時(shí) 二次函數(shù)圖像向上開(kāi)口 當(dāng) a0 設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1 x2 即 x1 x2為方程ax2 bx c 0 的兩個(gè)根 由題設(shè)x1x2 0 知 0 所 a c 以c0 故b 0 故選 A a b 2 例例 2 2 已知二次函數(shù)f x ax2 bx c的系數(shù)a b c都是整 數(shù) 并且f 19 f 99 1999 c 1000 則c 解 解 由已知f x ax2 bx c 且f 19 f 99 1999 因此可 設(shè)f x a x 19 x 99 1999 所以ax2 bx c a x 19 x 99 1999 ax2 19 99 x 19 99a 1999 故c 1999 1881a 因?yàn)?c 1000 a是整數(shù) a 0 經(jīng)檢驗(yàn) 只有a 1 滿足 此時(shí)c 1999 1881 118 例例 3 3 已知a b c是正整數(shù) 且拋物線y ax2 bx c與x軸 有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A B 若 A B 到原點(diǎn)的距離都小于 1 求 a b c的最小值 解 設(shè) A B 的坐標(biāo)分別為 A x1 0 B x2 0 且x1 x2 則x1 x2是方程ax2 bx c 0 的兩個(gè)根 x1 0 x20 b 2 ac OA x1 1 OB x2 1 即 1 x1 x2 0 x1x2 1 c0 a 1 2 b 1 c 0 即a c b b a c都是整數(shù) a c b 1 由 得a c 2 1 2 1 又由 知 acca 1 1 即a 1 2 1 2 4ca ca c1 a 5 又b 2 2 4 b 5ac15 取a 5 b 5 c 1 時(shí) 拋物線y 5x2 5x 1 滿足題意 故a b c的最小值為 5 5 1 11 例例 4 4 如果y x2 k 1 x k 1 與x軸的交點(diǎn)為 A B 頂點(diǎn)為 C 那么 ABC 的面積的最小值是 A 1 B 2 C 3 D 4 解 由于 k 1 2 4 k 1 k 1 2 4 0 所以對(duì)于任意實(shí) 數(shù)k 拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn) 設(shè)兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x1 x2 則 AB 524 2 21 2 21 2 21 kkxxxxxx 又拋物線的頂點(diǎn)c坐標(biāo)是 4 52 2 1 2 kkk 因此 S ABC 52 2 1 2 kk 32 2 52 8 1 4 52 kk kk 因?yàn)閗2 2k 5 k 1 2 4 4 當(dāng)k 1 時(shí)等于成立 所以 S ABC 故選 A 14 8 1 3 例例 5 5 已知二次函數(shù)y x2 x 2 及實(shí)數(shù)a 2 求 1 函數(shù)在 2 x a的最小值 2 函數(shù)在a x a 2 的最小值 解 函數(shù)y x2 x 2 的圖象如圖 1 所示 1 若 2 a 2 1 當(dāng)x a時(shí) y最小值 a2 a 2 若a 當(dāng)x 時(shí) y最小值 2 1 2 1 4 9 2 若 2 a且a 2 即 2 a 當(dāng)x a 2 時(shí) y最小值 2 1 2 3 a 2 2 a 2 2 a2 3a 若a a 2 即 a 當(dāng)x 2 1 2 3 2 1 時(shí) y最小值 2 1 4 9 若a 當(dāng)x a時(shí) y最小值 a2 a 2 2 1 例例 6 6 當(dāng) x 1 6 時(shí) 函數(shù)y x x 2x 1 的最大值是 2 1120 x y 4 9 2 1 圖 1 解 由 x 1 6 得 7 x 5 當(dāng) 0 x 5 時(shí) y x2 2x 1 x 1 2 此時(shí)y最大值 5 1 2 16 當(dāng) 7 x0 1 設(shè)與 x 軸交點(diǎn)分別為 x1 x2 則 x1 x2 k 2 0 2 x1 x2 k 5 0 3 解得 5 k 4 選 B 例例 8 已知二次函數(shù) y x bx c 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1 0 1 2 當(dāng) y 隨 x 的增大而增大時(shí) x 的取值范圍是 3 4 解析 把點(diǎn) 1 0 1 2 代入二次函數(shù)數(shù) 可解得 b 3 2 函數(shù)的對(duì)稱軸為 x 3 2 2 3 4 a 1 0 函數(shù)開(kāi)口向上 單調(diào)遞增區(qū)間是 3 4 例例 9 二次函數(shù) y ax 2 bx c 當(dāng) x 取整數(shù)時(shí) y 值也是整數(shù) 這樣 的二次函數(shù)叫作整點(diǎn)二次函數(shù) 請(qǐng)問(wèn)是否存在 a 的絕對(duì)值小于 0 5 的整點(diǎn)二次函數(shù) 若存在請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè) 若不存在請(qǐng)說(shuō)明理 由 解答 解答 方法 1 反證法 假設(shè)存在二次項(xiàng)系數(shù) a 的絕對(duì)值 小于 0 5 的整點(diǎn)二次函數(shù) a 0 則當(dāng) x 0 時(shí) y c 即 c 為整數(shù) 同理 當(dāng) x 1 時(shí) y a b c m x 1 時(shí) y a b c n 其中 m n 都應(yīng)為整數(shù) 兩式相加 2a 2c m n 推知 2a 也應(yīng)為整數(shù) 而 a 0 5 即 2a 1 矛盾 所以不存在 a 的絕對(duì)值小于 0 5 的整點(diǎn)二次函數(shù) 方法 2 x 0 時(shí) y c 是整數(shù) x 1 時(shí) y a b c 是整數(shù) x 1 時(shí) y a b c 是整數(shù) a b c a b c 2a 2c 是整數(shù) 而 2c 是整數(shù) 例例 10 已知 y x x 12 的圖象與 x 軸交于相異兩點(diǎn) A B 另一拋物 線 y ax bx c 過(guò) A B 頂點(diǎn)為 P 且 APB 是等腰直角三角形 求 a b c 解答解答 顯然 A B 坐標(biāo)為 4 0 4 0 y ax bx c 過(guò) A B 所以 b 0 c a 16 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 0 16a 由于 APB 是等腰直角三角形 所以 AB 2 AP 2 BP 2 求出 a 1 4 所以 a 1 4 b 0 c 4 或者 a 1 4 b 0 c 4 例例 11 已知 y x x 12 的圖象與 x 軸交于相異兩點(diǎn) A B 另一拋物 線 y ax bx c 過(guò) A B 頂點(diǎn)為 P 且 APB 是等腰直角三角形 求 a b c 解答 顯然 A B 坐標(biāo)為 4 0 4 0 y ax bx c 過(guò) A B 所以 b 0 c a 16 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 0 16a 由于 APB 是等腰直角三角形 所以 AB 2 AP 2 BP 2 求出 a 1 4 所以 a 1 4 b 0 c 4 或者 a 1 4 b 0 c 4 例例 1212 已知a0 且 b 2ac 求acb4 2 b2 4ac的最小值 解解 令y ax2 bx c 由于 a0 則 b2 4ac 0 所以 此二次函數(shù)的圖像是如 圖 2 所示的一條開(kāi)口向下的拋物線 且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A x1 0 B x2 0 因?yàn)閤1x2 0 不妨設(shè)x1 x2 則x1 0 x2 對(duì)稱