第 1 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 2015年陜西省寶雞市渭濱區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分 . 1 i 為虛數(shù)單位，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) z=（ 2 i）（ 3+i）的點(diǎn)在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 3 9 歲小孩的身高與年齡的回歸模型 y=4，用這個(gè)模型預(yù)測(cè)這個(gè)孩子 10 歲時(shí)的身高，則正確的敘述是（ ） A身高一定是 146身高在 146上 C身高在 146下 D身高在 146右 3已知隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng) 分布 X B（ 6， ），則 值為（ ） A 3 B C D 1 4把一枚硬幣任意拋擲兩次，事件 A=“至少一次出現(xiàn)反面 ”，事件 B=“恰有一次出現(xiàn)正面 ”，則 P（ B|A） =（ ） A B C D 5曲線 y= M（ 的切線斜率為 1，則此切線方程是（ ） A y= x 2 B y= x 1 C y= x+1 D y= x 6從 0， 1， 2， 3， 4 中選取三個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，其中奇數(shù)有（ ） A 18 個(gè) B 27 個(gè) C 36 個(gè) D 60 個(gè) 7（ + ） 4 展開式中所有項(xiàng)的系 數(shù)和為（ ） A 16 B 32 C 64 D 81 8若 f（ x） = （ x 2） 2+（ 1， 2）上單調(diào)遞減，則 m 的取值范圍是（ ） A（ ， 0 B（ ， 1） C（ 0， +） D（ 1， +） 9若 f（ x） = 的值為（ ） A 3e B 3e C 2e D 2e 10已知復(fù)數(shù) z 滿足 |z i|+|z+i|=3（ i 是虛數(shù)單位），若在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù) z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 Z，則點(diǎn) Z 的軌跡為（ ） A直線 B雙曲線 C拋物線 D橢圓 二、填空題（每小題 4 分，共 20 分 .） 11 04|x 2| 12在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為 1： 2，則它們的面積比為 1： 4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為 1： 2，則它們的體積比為 13函數(shù) f（ x） =ex+x 在 1， 1上的最大值是 14函數(shù) f（ x） =5x 2 在 x=3 處有極值，則函數(shù)的遞減區(qū)間 為 第 2 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 15馬路上喲編號(hào) 1， 2， 3， ， 10 共 10 盞燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的四盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，則滿足條件的關(guān)燈方案有 種 三、解答題（共 40 分） . 16求證： （ a 3） 17已知函數(shù) f（ x） =3x； （ ）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）求 f（ x）在區(qū)間 3， 2上的最值 18甲乙丙三人在進(jìn)行一項(xiàng)投擲骰子游戲中規(guī)定：若擲出 1 點(diǎn)，甲得 1 分，若擲出 2 點(diǎn)或 3點(diǎn)，乙得 1 分；若擲出 4 點(diǎn)或 5 點(diǎn)或 6 點(diǎn)，丙得 1 分，前后共擲 3 次，設(shè) x， y， z 分別表示甲、乙、丙三人的得分 （ 1）求 x=0， y=1， z=2 的概率； （ 2）記 =x+z，求隨機(jī)變量 的概率分布列和數(shù)學(xué)期望 19已知函數(shù) f（ x） = x3+，（ a R） （ 1）若 f（ x）圖象上橫坐標(biāo)為 1 的點(diǎn)處存在垂直于 y 軸的切線，求 a 的值； （ 2）若 f（ x）在區(qū)間（ 1， 2）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求 a 取值范圍； （ 3）當(dāng) a=1 時(shí)，是否存在實(shí)數(shù) m，使得函數(shù) g（ x） =5 2 m） 的圖象于函數(shù)f（ x）的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，若存在，試求出實(shí)數(shù) m 的值；若不存在，說(shuō)明理由 第 3 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 2015年陜西省寶雞市渭濱區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分 . 1 i 為虛數(shù)單位，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) z=（ 2 i）（ 3+i）的點(diǎn)在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【 考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可 【解答】 解： z=（ 2 i）（ 3+i） = 5 5i， 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 5， 5），位于第三象限， 故選： C 2 3 9 歲小孩的身高與年齡的回歸模型 y=4，用這個(gè)模型預(yù)測(cè)這個(gè)孩子 10 歲時(shí)的身高，則正確的敘述是（ ） A身高一定是 146身高在 146上 C身高在 146下 D身高在 146右 【考點(diǎn)】 線性回歸方程 【分析】 根據(jù)回歸 模型為 y=4，將 x=10 代入即可得到預(yù)測(cè)值 【解答】 解：根據(jù)回歸模型為 y=4，可得當(dāng) x=10 時(shí)， y=146可預(yù)測(cè) 10 歲時(shí)的身高在 146右 故選： D 3已知隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布 X B（ 6， ），則 值為（ ） A 3 B C D 1 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)分布與 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型 【分析】 根 據(jù)隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布 X B（ n， p）， EX=算即可 【解答】 解：隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布 X B（ 6， ）， 所以 EX= = 故選： B 4把一枚硬幣任意拋擲兩次，事件 A=“至少一次出現(xiàn)反面 ”，事件 B=“恰有一次出現(xiàn)正面 ”，則 P（ B|A） =（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 條件概率與獨(dú)立事件 【分析】 由題意，先計(jì)算 P（ P（ A），再利用條件概率公式，即可求得結(jié)論 第 4 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 【解答】 解：事件 A=“至少一次出現(xiàn)反面 ”，事件 B=“恰有一次出現(xiàn)正面 ”， 則 P（ A） = ， P（ = ， P（ B|A） = = = ， 故選： C 5曲線 y= M（ 的切線斜率為 1，則此切線方程是（ ） A y= x 2 B y= x 1 C y= x+1 D y= x 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程 【 解答】 解： y=導(dǎo)數(shù)為 y= 2x，（ x 0）， 可得在 M（ 的切線斜率為 2 1， 解得 （ 舍去）， 可得切點(diǎn)為（ 1， 1）， 即有切線的方程為 y+1=（ x 1）， 即為 y= x 故選： D 6從 0， 1， 2， 3， 4 中選取三個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，其中奇數(shù)有（ ） A 18 個(gè) B 27 個(gè) C 36 個(gè) D 60 個(gè) 【考點(diǎn)】 排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題 【分析】 先從 1， 3 中選一個(gè)為個(gè)位數(shù)字，再剩下的 3 個(gè)（不包含 0）取 1 個(gè)為百位，再?gòu)氖Ｏ?3 個(gè)（包含 0）取一個(gè)為十位，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得 【解答】 解：先從 1， 3 中選一個(gè)為個(gè)位數(shù)字，再剩下的 3 個(gè)（不包含 0）取 1 個(gè)為百位，再?gòu)氖Ｏ?3 個(gè)（包含 0）取一個(gè)為十位，故有 2 3 3=18 個(gè)， 故答案為： 18 7（ + ） 4 展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為（ ） A 16 B 32 C 64 D 81 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 令 x=1，即可得出（ + ） 4 展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和 第 5 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 【解答】 解：令 x=1，則（ + ） 4 展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和 =（ 1+2） 4=81 故選： D 8若 f（ x） = （ x 2） 2+（ 1， 2）上單調(diào)遞減，則 m 的取值范圍是（ ） A（ ， 0 B（ ， 1） C（ 0， +） D（ 1， +） 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 可求導(dǎo)數(shù)得到 ，根據(jù)條件便知 f（ x） 0 在（ 1， 2）上恒成立，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可 【解答】 解：據(jù)題意， 在 x （ 1， 2）上恒成立； 2x+m 0 恒成立； m x 恒 成立； 即 m （ x 1） 2+1 在 x （ 1， 2）上恒成立； 而 x （ 1， 2）時(shí)， 0 （ x 1） 2+1 1； m 0 故選 A 9若 f（ x） = 的值為（ ） A 3e B 3e C 2e D 2e 【考點(diǎn)】 極限及其運(yùn)算 【分析】 由 f（ x） = = 3f（ 1），能求出結(jié)果 【解答】 解： f（ x） = f（ x） = = = 3 = 3f（ 1） = 3e 故選： B 10已知復(fù)數(shù) z 滿足 |z i|+|z+i|=3（ i 是虛數(shù)單位），若在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù) z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 Z，則點(diǎn) Z 的軌跡為（ ） A直線 B雙曲線 C拋物線 D橢圓 第 6 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 軌跡方程；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷即可 【解答】 解：設(shè) Z（ x， y）， A（ 0， 1）， B（ 0， 1）， 則 |z i|+|z+i|=3 的幾何意義為 |3 | 即 Z 的軌跡是以 A， B 為焦點(diǎn)的橢圓， 故選： D 二、填空題（每小題 4 分，共 20 分 .） 11 04|x 2|4 【考點(diǎn)】 定積分 【分析】 將： 04|x 2|化成 02（ 2 x） 24（ x 2） 后根據(jù)定積分的定義先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后求解即可 【解答】 解： 04|x 2|02（ 2 x） 24（ x 2） （ 2x |02+（ 2x） |24 =4 故答案為： 4 12在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為 1： 2，則它們的面積比為 1： 4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為 1： 2，則它們的體積比為 1： 8 【考點(diǎn)】 類比推理 【分析】 根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線 類比 直線或平面，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合三角形的面積比的方法類比求四面體的體積比即可 【解答】 解：平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為 1： 2，則它們的面積比為 1： 4， 類似地，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，得出： 在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為 1： 2，則它們的體積比為 1： 8 故答案為： 1： 8 13函數(shù) f（ x） =ex+x 在 1， 1上的最大值是 e+1 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 可求 導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而得出 f（ x）在 1， 1上單調(diào)遞增，從而便可求出 f（ x）的最大值 【解答】 解： f（ x） = 0； f（ x）在 1， 1上單調(diào)遞增； x=1 時(shí)， f（ x）取最大值 e+1 故答案為： e+1 14函數(shù) f（ x） =5x 2 在 x=3 處有極值，則函數(shù)的遞減區(qū)間為 ， 3 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 可求導(dǎo)數(shù) f（ x） =310x+3，從而根據(jù)題意 f（ 3） =0，這樣即可求出 a=1，從而求出 f（ x），并解 f（ x） 0 即可求出函數(shù)的遞減區(qū)間 【解答】 解： f（ x） =310x+3； 第 7 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 根據(jù)題意， f（ 3） =0； 27a 30+3=0； a=1； f（ x） =310x+3； 解 f（ x） 0 得， ； f（ x）的遞減區(qū)間為 故答案為： ， 3 15馬路上喲編號(hào) 1， 2， 3， ， 10 共 10 盞 燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的四盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，則滿足條件的關(guān)燈方案有 20 種 【考點(diǎn)】 排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題 【分析】 先將亮的 7 盞燈排成一排，所以有 6 個(gè)符合條件的空位，即可得到結(jié)論 【解答】 解：因?yàn)殛P(guān)掉的三盞燈不是兩端的燈，且任意兩盞都不相鄰， 所以我使用插空法解決問題，即先將亮的 7 盞燈排成一排， 因?yàn)閮啥说臒舨荒芟纾?所以有 6 個(gè)符合條件的空位， 所以在 6 個(gè)空位中選取 3 個(gè)位置插入熄滅的 3 盞燈，即有 0 種 故答案為： 20 三、解答題（共 40 分） . 16求 證： （ a 3） 【考點(diǎn)】 不等式的證明 【分析】 使用分析法逐步找出使不等式成立的條件即可 【解答】 證明：欲證 ， 只需證：（ ） 2 （ ） 2，即 2a 2 2 2a 42 只需證： 1+ ， 只需證： 2a 4a+4+2 ，即 a 2 ， 只需證： 4a+4 4a+3， 只需證： 4 3 顯然， 4 3 恒成立， （ a 3） 17已知函數(shù) f（ x） =3x； 第 8 頁(yè)（共 11 頁(yè)） （ ）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）求 f（ x）在區(qū)間 3， 2上的最值 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ ）先求出函數(shù) f（ x） =3x 的導(dǎo)函數(shù) f（ x），分別令 f（ x） 0 和 f（ x） 0便可求出函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）分別求出兩個(gè)短點(diǎn) f（ 3）和 f（ 2）的值以及極值 f（ 1）和 f（ 1）的值，比較一下便可求出 f（ x）在區(qū)間 3， 2上的最大值和最小值 【解答】 解：（ I） f（ x） =3x， f（ x） =33=3（ x+1）（ x 1） 令 f（ x） =0，得 x= 1， x=1 若 x （ ， 1） （ 1， +），則 f（ x） 0， 故 f（ x）在（ ， 1）上是增函數(shù)， f（ x）在（ 1， +）上是增函數(shù)， 若 x （ 1， 1），則 f（ x） 0， 故 f（ x）在（ 1， 1）上是減函數(shù)； （ f（ 3） = 18， f（ 1） =2， f（ 1） = 2， f（ 2） =2， 當(dāng) x= 3 時(shí)， f（ x）在區(qū)間 3， 2取到最小值為 18 當(dāng) x= 1 或 2 時(shí)， f（ x）在區(qū)間 3， 2取到最大值為 2 18甲乙丙三人在進(jìn)行一項(xiàng)投擲骰子游戲中規(guī)定：若擲出 1 點(diǎn)，甲得 1 分，若擲出 2 點(diǎn)或 3點(diǎn)，乙得 1 分；若擲出 4 點(diǎn)或 5 點(diǎn)或 6 點(diǎn)，丙得 1 分，前后共擲 3 次，設(shè) x， y， z 分別表示甲、乙、丙三人的得分 （ 1）求 x=0， y=1， z=2 的概率； （ 2）記 =x+z，求隨機(jī)變量 的概率分布列和數(shù)學(xué)期望 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ 1）設(shè)事件 A 表示 “投擲一次骰子甲得一分 ”，事件 B 表示 “投擲一次骰子乙得一分 ”，事件 C 表示 “投擲一次骰子丙得一分 ”，由已知得 P（ A） = ， P（ B） = ， P（ C） = ，從而能求出 x=0， y=1， z=2 的概率 （ 2） X=0， 1， 2， 3； Y=0， 1， 2， 3； Z=0， 1， 2， 3但是只得 3 次分，因而必須滿足X+Y+Z=3，隨機(jī)變量 的樣本空間為 0， 1， 2， 3，事實(shí)上 =3 Y，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解答】 解：（ 1）設(shè)事件 A 表示 “投擲一次骰子甲得一分 ”，事件 B 表示 “投擲一次骰子乙得一分 ”，事件 C 表示 “投擲一次骰子丙得 一分 ”， 則 P（ A） = ， P（ B） = ， P（ C） = ， x=0， y=1， z=2 的概率 p=（ ） 3C （ ）（ ） 2 = （ 2） X=0， 1， 2， 3； Y=0， 1， 2， 3； Z=0， 1， 2， 3 但是只得 3 次分，因而必須滿足 X+Y+Z=3，隨機(jī)變量 的樣本空間為 0， 1， 2， 3 事實(shí)上 =3 Y， P（ =0） =P（ Y=3） =（ ） 3= ， 第 9 頁(yè)（共 11 頁(yè)） P（ =1） =P（ Y=2） = = ， P（ =2） =P（ Y=1） = = ， P（ =3） =P（ Y=0） =（ ） 3= ， 的分布列： 0 1 2 3 P E（ ） = =2 19已知函數(shù) f（ x） = x3+，（ a R） （ 1）若 f（ x）圖象上橫坐標(biāo)為 1 的點(diǎn)處存在垂直于 y 軸的切線，求 a 的值； （ 2）若 f（ x）在區(qū)間（ 1， 2）內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求 a 取值范圍； （ 3）當(dāng) a=1 時(shí)，是否存在實(shí)數(shù) m，使得函數(shù) g（ x） =5 2 m） 的圖象于 函數(shù)f（ x）的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，若存在，試求出實(shí)數(shù) m 的值；若不存在，說(shuō)明理由 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利