第3章3 1空間向量及其運(yùn)算 3 1 1空間向量及其線性運(yùn)算 1 了解空間向量的概念 掌握空間向量的幾何表示和字母表示 2 掌握空間向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律 理解空間向量線性運(yùn)算及其運(yùn)算律的幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo) 知識梳理自主學(xué)習(xí) 題型探究重點(diǎn)突破 當(dāng)堂檢測自查自糾 欄目索引 知識梳理自主學(xué)習(xí) 知識點(diǎn)一空間向量的概念 答案 在空間中 我們把像位移 力 速度 加速度這樣既有又有 的量叫做空間向量 向量的大小叫向量的或 大小 方向 長度 模 知識點(diǎn)二空間向量的加減法 1 加減法定義空間中任意兩個向量都是共面的 它們的加 減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法 如圖 2 運(yùn)算律交換律 a b b a 結(jié)合律 a b c a b c a b a b 答案 1 定義實(shí)數(shù) 與空間向量a的乘積 a仍是一個向量 稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算 當(dāng) 0時 a與a方向 當(dāng) 0時 a與a方向 當(dāng) 0時 a 0 a的長度是a的長度的 倍 如圖所示 答案 知識點(diǎn)三空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 2 運(yùn)算律分配律 a b a b 結(jié)合律 a a 相同 相反 答案 知識點(diǎn)四共線向量定理 1 共線向量的定義與平面向量一樣 如果表示空間向量的有向線段所在的 則這些向量叫做或平行向量 記作a b 2 充要條件對空間任意兩個向量a b a 0 b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù) 使b a 直線互相平行或重合 共線向量 思考 1 若表示兩個相等空間向量的有向線段的起點(diǎn)相同 則終點(diǎn)也相同 對嗎 答案正確 起點(diǎn)相同 終點(diǎn)也相同的兩個向量相等 2 零向量沒有方向 對嗎 答案錯誤 不是沒有方向 而是方向任意 3 空間兩個向量的加減法與平面內(nèi)兩向量的加減法完全一致 對嗎 答案正確 返回 答案 例1判斷下列命題的真假 1 空間中任意兩個單位向量必相等 題型探究重點(diǎn)突破 題型一空間向量的概念 解析答案 解假命題 因?yàn)閮蓚€單位向量 只有模相等 但方向不一定相同 2 方向相反的兩個向量是相反向量 解假命題 因?yàn)榉较蛳喾吹膬蓚€向量模不一定相等 3 若 a b 則a b或a b 解假命題 因?yàn)閮蓚€向量模相等時 方向不一定相同或相反 也可以是任意的 反思與感悟 解析答案 空間向量的概念與平面向量的概念相類似 平面向量的其他相關(guān)概念 如向量的模 相等向量 平行向量 相反向量 單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1如圖所示 以長方體abcd a1b1c1d1的八個頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中 解析答案 題型二空間向量的線性運(yùn)算 解析答案 反思與感悟 反思與感悟 答案 運(yùn)用法則進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時要注意關(guān)鍵的要素 1 向量加法的三角形法則 首尾相接 指向終點(diǎn) 2 向量減法的三角形法則 起點(diǎn)重合 指向被減向量 3 平行四邊形法則 起點(diǎn)重合 4 多邊形法則 首尾相接 指向終點(diǎn) 反思與感悟 解析答案 答案 題型三空間向量的共線問題 解析答案 反思與感悟 k 8 靈活應(yīng)用共線向量定理 正確列出比例式 反思與感悟 2e1 8e2 3 e1 e2 5 e1 e2 又 b為兩向量的公共點(diǎn) a b d三點(diǎn)共線 返回 解析答案 當(dāng)堂檢測 1 2 3 4 5 1 兩個非零向量的模相等是兩個向量相等的 條件 必要不充分 解析a b a b a b a b 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 7 1 2 3 4 5 3 下列說法中正確的是 填序號 若 a b 則a b的長度相等 方向相同或相反 若向量a是向量b的相反向量 則 a b 空間向量的減法滿足結(jié)合律 解析答案 解析若 a b 則a b的長度相等 方向不確定 故 不正確 相反向量是指長度相同 方向相反的向量 故 正確 空間向量的減法不滿足結(jié)合律 故 不正確 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 答案 1 2 3 4 5 5 下列命題中正確的個數(shù)是 如果a b是兩個單位向量 則 a b 兩個空間向量相等 則它們的起點(diǎn)相同 終點(diǎn)也相同 若a b c為任意向量 則 a b c a b c 空間任意兩個非零向量都可以平移到同一個平面內(nèi) 3 解析答案 解析由單位向量的定義知 a b 1 故 正確 因相等向量不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn) 所以 錯誤 由向量加法運(yùn)算律知 正確 在空間確定一點(diǎn)后 可將兩向量的起點(diǎn)移至該點(diǎn) 兩向量所在直線確定一個平面 這兩個非零向量就共同在這個平面內(nèi) 故 正確 課堂小結(jié) 1 空間向量的概念和平面向量類似 向量的模 零向量 單位向