學(xué)習(xí)正、余弦定理應(yīng)當(dāng)掌握的幾類重要應(yīng)用問(wèn)題學(xué)習(xí)正、余弦定理的目的主要是解決解三角形問(wèn)題，這是學(xué)習(xí)正、余弦定理的重點(diǎn)之處。而重中之重則是利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題。利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)。一、確定兩地間的距離問(wèn)題ABCP例1.某海輪以30海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得油井P在南偏東，海輪改為北偏東的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，求P、C間的距離解：如圖，在ABP中，AB = 30= 20，APB =，BAP =，由正弦定理，得：=，即=，解得BP =在BPC中，BC = 30= 40，由已知PBC =，PC = (海里)所以P、C間的距離為海里點(diǎn)評(píng)：該題是在準(zhǔn)確理解方位角的前提下，合理運(yùn)用正弦定理把問(wèn)題解決。因此，用正弦定理解有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要注意問(wèn)題中的一些名稱、術(shù)語(yǔ)，如仰角、俯角、視角、象限角、方位角等二、解決航行中的測(cè)量問(wèn)題西北南東ABC3015例2某艦艇測(cè)得燈塔在它的東15北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30北。若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)此艦艇繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔S在東15北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得S在東30北的方向上。 在ABC中，可知AB=300.5=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，過(guò)點(diǎn)S作SC直線AB，垂足為C，則SC=15sin30=7.5。這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。ABC北4515點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問(wèn)題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。三、判斷運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)行情況例3如圖，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)ABC=，BAC=。=1804515=120。根據(jù)余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）。AC=28=21 n mile，BC=20=15 n mile。根據(jù)正弦定理，得，又=120，為銳角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏東arcsin的方向用h可以追上乙船。點(diǎn)評(píng)：航海問(wèn)題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的 ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時(shí)間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。四確定最佳設(shè)計(jì)方案例4.某工廠生產(chǎn)主要產(chǎn)品后，留下大量中心角為，半徑為a的扇形邊角料，現(xiàn)要廢物利用，從中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面積盡可能大，請(qǐng)問(wèn)如何裁剪？方案一:如圖1，矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在半徑OA上，設(shè)AOP =，則PM = asin，扇形中心角為，PQO =，由正弦定理，得：=，即PQ =asin()，矩形的MPQR的面積為：S=PMPQ =asinsin() =aa(1) =a，當(dāng)=時(shí)，cos() = 1，S取得最大值a方案二:如圖2，矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)分別在扇形的兩條半徑OA、OB上，設(shè)AOM =，MRA =，MRO =，由正弦定理，得：=，即RM = 2asin，又=，OR = 2asin()，矩形的MPQR的面積為：S= MRPQ = 4asinsin() = 2a2a(1) = (2)a即在此情況下，AOM =時(shí)，可求出M點(diǎn)，然后作出MPQR面積為最大APBMRQABPMRQ圖1圖2由于SS=a(2)a=(12)0，所以第一種方案能使裁出的矩形面積最大，即AOP =，使P取在AB弧中點(diǎn)，分別向扇形的一條半徑作垂線及平行線得到矩形MPQR，即為最大矩形點(diǎn)評(píng)：該題