.,組合(1),.,組合與組合數(shù)公式,.,問(wèn)題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？,問(wèn)題二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,.,問(wèn)題二,問(wèn)題一,有順序,無(wú)順序,.,一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.,排列與組合的概念有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？,（一）、組合的定義:,?,.,組合定義:一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合,排列定義:一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.,共同點(diǎn):都要“從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素”,不同點(diǎn):排列與元素的順序有關(guān)，而組合則與元素的順序無(wú)關(guān).,概念講解,.,思考一:aB與Ba是相同的排列還是相同的組合?為什么?,思考二:兩個(gè)相同的排列有什么特點(diǎn)?兩個(gè)相同的組合呢?,概念理解,構(gòu)造排列分成兩步完成，先取后排；而構(gòu)造組合就是其中一個(gè)步驟.,思考三:組合與排列有聯(lián)系嗎?,.,判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題?,(1)設(shè)集合A=a,b,c,d,e，則集合A的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)?,(2)某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票?,有多少種不同的火車票價(jià)？,組合問(wèn)題,排列問(wèn)題,組合問(wèn)題,組合是選擇的結(jié)果，排列是選擇后再排序的結(jié)果.,.,1.從a,b,c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合分別是:,ab,ac,bc,2.已知4個(gè)元素a,b,c,d,寫出每次取出兩個(gè)元素的所有組合.,ab,ac,ad,bc,bd,cd,(3個(gè)),(6個(gè)),概念理解,.,從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.,如:從a,b,c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)是:,如:已知4個(gè)元素a、b、c、d,寫出每次取出兩個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)是：,概念講解,（二）、組合數(shù),注意：是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該把它與“組合”區(qū)別開(kāi)來(lái),.,1.寫出從a,b,c,d四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組合,abc，abd，acd，bcd.,b,c,d,d,c,b,a,c,d,練一練,.,組合,排列,abcbaccabacbbcacba,abdbaddabadbbdadba,acdcaddacadccdadca,bcdcbddbcbdccdbdcb,（三個(gè)元素的）1個(gè)組合，對(duì)應(yīng)著6個(gè)排列,你發(fā)現(xiàn)了什么?,.,.,（三）、組合數(shù)公式,排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系,一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，可以分為以下2步：,第1步，先求出從這n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),第2步，求每一個(gè)組合中m個(gè)元素的全排列數(shù),根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到：,因此：,這里m,n是自然數(shù)，且mn，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式,概念講解,.,組合數(shù)公式:,從n個(gè)不同元中取出m個(gè)元素的排列數(shù),.,組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):,證明:,.,公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與大的相同的一個(gè)組合數(shù)；,此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算；,等式體現(xiàn)：“含與不含某元素”的分類思想.,.,例2計(jì)算：,解：原式,.,D,190,鞏固練習(xí),.,例,.,例一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球.（1）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？,解：（1）,取出3個(gè)球中有黑球的方法數(shù),例題講解,.,例1一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球.（1）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？,解：（1）,取出3個(gè)球中有黑球的方法數(shù),取出3個(gè)球中無(wú)黑球的方法數(shù),例題講解,.,例一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球.（1）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？,解：（3）,按照黑球分類，,取出3個(gè)球中有黑球的方法數(shù),從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有取法,另法，一次取出的方法數(shù),取出3個(gè)球中無(wú)黑球的方法數(shù),.,例2(1)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?,10個(gè)不同元素中取2個(gè)元素的組合數(shù).,10個(gè)不同元素中取2個(gè)元素的排列數(shù).,(2)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?,.,例3(1)有4本不同的書，一個(gè)人去借，有多少種不同的借法？(2)有13本不同的書，其中小說(shuō)6本，散文4本，詩(shī)歌3本，某人借6本，其中有3本小說(shuō)，2本散文，1本詩(shī)歌，問(wèn)有幾種借法？,(1)此人所借的書可以是一本，二本，三本，四本,（本）,(2)解：分三個(gè)步驟完成，共有,（種）,.,練習(xí)：在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件,(1)有多少種不同的抽法?,100個(gè)不同元素中取3個(gè)元素的組合數(shù),(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?,從2件次品中抽出1件次品的抽法有,從98件合格品中抽出2件的抽法有,.,練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件,(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?,法1,含1件次品或含2件次品,法2,100件中抽3件減98件合格品中抽3件,.,1課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生；(2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(4)至多有兩名女生當(dāng)選；(5)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選,.,.,.,1將5本不同的書分給4人，每人至少1本，不同的分法種數(shù)有()A120種B5種C240種D180種,組合、排列的綜合問(wèn)題,.,2安排3名支教教師去6所學(xué)校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有_種(用數(shù)字作答),.,三、混合問(wèn)題，先“組”后“排”,例3對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測(cè)試方法有種可能？,解：由題意知前5次測(cè)試恰有4次測(cè)到次品，且第5次測(cè)試是次品。故有：種可能。,.,練習(xí)：某學(xué)習(xí)小組有5個(gè)男生3個(gè)女生，從中選3名男生和1名女生參加三項(xiàng)競(jìng)賽活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加，則有不同參賽方法_種.,解：采用先組后排方法:,.,主要學(xué)習(xí)了組合、組合數(shù)的概念。,利用組合和排列的關(guān)系得到了組合數(shù)公式。,n個(gè)不同元素,m個(gè)元素,m個(gè)元素的全排列,第一步,組合,第二步,排列,課堂小結(jié)：,.,組合中的分組問(wèn)題,6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本,.,思路點(diǎn)撥(1)是平均分組問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān)，相當(dāng)于6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，可以理解為一個(gè)人一個(gè)人地來(lái)取，(2)是“均勻分組”問(wèn)題，(3)是分組問(wèn)題，分三步進(jìn)行，(4)分組后再分配，(5)明確“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”,.,.,.,規(guī)律方法“分組”與“分配”問(wèn)題的解法(1)本題中的每一個(gè)小題都提出了一種類型的問(wèn)題，搞清楚類型的歸屬對(duì)解題大有裨益，要分清是分組問(wèn)題還是分配問(wèn)題，這個(gè)是很關(guān)鍵的,.,(2)分組問(wèn)題屬于“組合”問(wèn)題，常見(jiàn)的分組問(wèn)題有三種：完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等；部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n?。煌耆蔷鶆蚍纸M，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象(3)分配問(wèn)題屬于“排列”問(wèn)題，分配問(wèn)題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配,.,2有9本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本,.,.,.,1有3張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數(shù)是,10,26人同時(shí)被邀請(qǐng)參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人自行決定，共有多少種不同的去法？,解：有6類辦法，第1類去1人，第2類去2人，第3類去3人，第4類去4人，第5類去5人，第6類去6人，所以共有不同的去法,鞏固練習(xí),.,例1一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員,他們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽,按照足球比賽規(guī)則,比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人.問(wèn):,簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題,(1)這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案?,(2)如果在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí),還要確定其中的守門員,那么教練員有多少種方式做這件事情?,(1)沒(méi)有角色差異,共有,(2)分兩步完成這件事,第1步,從17名學(xué)員中選出11人上場(chǎng),第2步,從上場(chǎng)的11人中選1名守門員,.,1、有6本不同的書，分給甲、乙、丙三個(gè)人(1)如果每人得兩本，有多少種不同的分法；(2)如果一個(gè)人得一本，一個(gè)人得2本，一個(gè)人得3本有多少種不同的分法；(3)如果把這6本書分成三堆，每堆兩本有多少種不同分法2、4名男生6名女生，一共9名實(shí)習(xí)生分配到高一的四個(gè)班級(jí)擔(dān)任見(jiàn)習(xí)班主任，每班至少有男、女實(shí)習(xí)生各1名的不同分配方案共有多少種？,課后作業(yè)：,.,小結(jié),2.組合數(shù)性質(zhì):,1.組合數(shù)公式:,.,例5個(gè)人站成一排共有多少種排法？其中甲必須站在中間，有多少種不同的排法？其中甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不同的排法？其中甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？其中甲、乙兩人不站排頭和排尾，有多少種不同的排法？其中甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種不同的排法？(7)、甲與乙中間必須排2名，有幾種排法？,.,例5個(gè)人站成一排其中甲、乙兩人不站排頭和排尾，有多少種不同的排法？,解：甲、乙兩人不站排頭和排尾，則這兩個(gè)位置可從其余3人中選2人來(lái)站，有種排法，剩下的人有種排法，共有種排法.,(特殊位置預(yù)置法),(特殊元素預(yù)置法),(排除法),.,例5個(gè)人站成一排其中甲不站排頭，乙不站排尾，有多少種不同的排法？,解：甲站排頭有種排法，乙站排尾有種排法，但兩種情況都包含了“甲站排頭，乙站排尾”的情況，有種排法，所以共有種排法.,用直接法，如何分類？,一類：甲站排尾,二類：甲站中間,所以共有種排法.,.,(7)、甲與乙中間必須排2名，有幾種排法？,例5個(gè)人站成一排,.,組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：,性質(zhì)1：,性質(zhì)2：,（3）,（4）,（5）,解:原式,=,(4)原式,或,原式,(5)原式,.,例1平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)紅點(diǎn)與兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)在同一條直線上，除此以外，再無(wú)三點(diǎn)共線，問(wèn)過(guò)兩個(gè)不同顏色的點(diǎn)，共可作多少條直線？,解法二：（間接法）不考慮五點(diǎn)共線，有,其中共線的五個(gè)點(diǎn)可連,條，,條,而這,條只能是一條,共可連,（條）,說(shuō)明：本例是某些特殊元素有特殊歸類的問(wèn)題，即題中共線的五個(gè)點(diǎn)，只能作一條直線,.,組合、排列的綜合問(wèn)題,現(xiàn)有4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)：(1)共有幾種放法？(2)恰有1個(gè)空盒，有幾種放法？(3)恰有2個(gè)盒子不放球，有幾種放法？,.,思路點(diǎn)撥此題關(guān)鍵是(2)，恰有