小學(xué)三年級(jí)奧數(shù)專項(xiàng)練題等差數(shù)列【知識(shí)要點(diǎn)屋】 1定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。2特點(diǎn)：相鄰兩項(xiàng)差值相等；要么遞增，要么遞減。3名詞：公差，首項(xiàng)，末項(xiàng)，項(xiàng)數(shù) 按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的數(shù)稱為項(xiàng)，第一個(gè)數(shù)叫第一項(xiàng)，又叫首項(xiàng)；第二個(gè)數(shù)叫第二項(xiàng)；最后一個(gè)數(shù)叫末項(xiàng)。如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都相等，就稱這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列。后項(xiàng)與前項(xiàng)的差就叫做這個(gè)數(shù)列的公差。如：1，2，3，4，?是等差數(shù)列,公差是 1;1，3，5，7，?是等差數(shù)列，公差是 2；5，10，15，20，?是等差數(shù)列，公差是 5. 由高斯的巧算可知，在等差數(shù)列中，由如下規(guī)律：通項(xiàng)公式：末項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)1）公差 第幾項(xiàng) = 首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）公差；項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差1求和公式：總和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2 = 平均數(shù)項(xiàng)數(shù)平均數(shù)公式：平均數(shù)（首項(xiàng)末項(xiàng)）2() 一個(gè)等差數(shù)列共有15項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)大3，它的首項(xiàng)是4，那么末項(xiàng)是_；一個(gè)等差數(shù)列共有13項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)小5，它的第1項(xiàng)是121，那么它的末項(xiàng)是_。 (3)一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是12，第20項(xiàng)等于392，那么這個(gè)等差數(shù)列的公差_；第19項(xiàng)_，212是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng)。 () 計(jì)算下面的數(shù)列和： 123423242515913333741(3)37111519232731拓展練習(xí)：1、在10和40之間插入四個(gè)數(shù)，使得這六個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。那么應(yīng)插入哪些數(shù)？解答：d=（40-10）(4+1)=6，插入的數(shù)是：16、22、28、34。2、一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是6，第8項(xiàng)是55，公差是（ ）。解答：d=（55-6）（8-1）=73、（1）2、4、6、8、28、30這個(gè)等差數(shù)列有( )項(xiàng)。解答：（30-2）2+1=15 （2）2、8、14、20、62這個(gè)數(shù)列共有（ ）項(xiàng)。解答：（62-2）6+1=11（3）11、14、17、20、95、98這個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（ ）。解答：（98-11）31=30（4）今天是周日，再過78天是周幾？解答：（781）7=112，所以是周一。(5)2，5，8，11，14是按照規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)，第 21 項(xiàng)是多少？【分析與解】此數(shù)列為一個(gè)等差數(shù)列，將第 21 項(xiàng)看做末項(xiàng)。末項(xiàng)=2+（21-1）3=624、計(jì)算下面各題： （1）2+5+8+?+23+26+29 = 解 （1）這是一個(gè)公差為 3，首項(xiàng)為 2，末項(xiàng)為 29，項(xiàng)數(shù)為（29-2）3+1=10 的等差數(shù)列求和。 原式=（2+29）102=31102=155 （2）（2+4+6+?+100）-（1+3+5+?+99）=解法一：原式=（2+100）502-（1+99）502=2550-2500=50； 解法二：原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+?+（100-99）=150=50. 說明 兩種解法相比較， 解法一直套著公式，平平淡淡； 解法二從整體上把握了題目的運(yùn)算結(jié)構(gòu)和數(shù)字特點(diǎn)， 運(yùn)用交換律和結(jié)合律把原式轉(zhuǎn)化成了整齊的結(jié)構(gòu)“1+1+?+1” ，從而解得更巧、更好。（3）12003+22003+32003+?+20012003+20022003+20032003 分析：如果按照原式的順序，先算各個(gè)商，再求和，既繁又難。由于除數(shù)都相同，被除數(shù)組成一個(gè)等差數(shù) 列：1，2，3，4，?，2001，2002，2003.所以可根據(jù)除法的運(yùn)算性質(zhì)，先求全部被除數(shù)的和，再求商。 解 原式=（1+2+3+?+2002+2003）2003=（1+2003）200322003=1002. 說明 此題解法巧在根據(jù)題目特點(diǎn)，運(yùn)用除法性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。計(jì)算中又應(yīng)用乘除混合運(yùn)算的簡(jiǎn)化運(yùn)算，使整 個(gè)解答顯得簡(jiǎn)捷明快。 5 、某小學(xué)舉辦“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽，規(guī)定前十五名可以獲獎(jiǎng)。比賽結(jié)果第一名 1 人，第二名并列 2 人， 第三名并列 3 人?第十五名并列 15 人。用最簡(jiǎn)便方法計(jì)算出得獎(jiǎng)的一共又多少人？ 分析：通過審題可知，各個(gè)名次的獲獎(jiǎng)人數(shù)正好組成一個(gè)等差數(shù)列：1，2，3，?，15.因此，根據(jù)求和公 式可以求出獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)。 解： （1+15）152=16152=120（人）6、 某體育館西側(cè)看臺(tái)上有 30 排座位，后面一排都比前面一排多 2 個(gè)座位，最后一排有 132 個(gè)座位。體 育館西側(cè)看臺(tái)共有多少個(gè)座位？ 分析： 要求這 30 個(gè)數(shù)的和， 必須知道第一排的座位數(shù)， 而最后一排的座位數(shù)是由第一排座位數(shù)加上 （30-1） 2 得出來的，這樣就可以求出第一排的座位數(shù)。 解：第一排的座位數(shù)為：132-2（30-1）=132-58=74（個(gè)） 所以 （74+132）302=206302=3090（個(gè)） 7、把比 100 大的奇數(shù)從小到大排成一列，其中第 21 個(gè)是多少？【分析與解】該數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為 101，公差為 2，第 21 個(gè)數(shù)的項(xiàng)數(shù)為 21.101+（21-1）2=141第 5 頁(yè) 共 13 頁(yè)作業(yè)：1、等差數(shù)列求和公式（首項(xiàng)，末項(xiàng)，公差已經(jīng)知道） 和= 等差數(shù)列求末項(xiàng)公式（首項(xiàng)，公差，相數(shù)已經(jīng)知道） 末項(xiàng)= 等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)公式： （首相，公差，末項(xiàng)已知） 項(xiàng)數(shù)= 2、 求和： 100+102+104+106+108+110+112+114 = 1+3+5+7+37+39 =（1+3+5+1999）-(2+4+6+8+1998) =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =原式=（1+12）122= 7811+12+13+14+15+16+17+18+19 =原式=（11+19）92= 135100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90 = 原式=（100+90）112= 10453、已知一個(gè)等差數(shù)列第 9 項(xiàng)等于 131，第 10 項(xiàng)等于 137，這個(gè)數(shù)列的第 1 項(xiàng)是多少？第 19 項(xiàng)是多少？【分析與解】公差=137-131=6131=首項(xiàng)+（9-1）6所以，首項(xiàng)=83末項(xiàng)（第 19 項(xiàng)）=83+（19-1）6=1914、體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報(bào)數(shù)。如果冬冬報(bào) 17，阿奇報(bào) 150，每位同學(xué)報(bào)的數(shù)都比前一位多 7，那么隊(duì)伍里一共有多少人？【分析與解】首項(xiàng)=17，末項(xiàng)=150，公差=7項(xiàng)數(shù)=（150-17）7+1=205、已知一個(gè)等差數(shù)列第 8 項(xiàng)等于 50，第 15 項(xiàng)等于 71.請(qǐng)問這個(gè)數(shù)列的第 1 項(xiàng)是多少？【分析與解】71-50=2121（15-8）=3（公差）50=首項(xiàng)+（8-1）3所以首項(xiàng)=296、一個(gè)數(shù)列共有 13 項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)小 7，并且末項(xiàng)為 125，求首項(xiàng)是多少？【分析與解】將數(shù)列順序進(jìn)行調(diào)整：首項(xiàng)為 125，公差為 7，項(xiàng)數(shù)為 13.所以末項(xiàng)（所求的“首項(xiàng)”）=125+（13-1）7=2097、已知等差數(shù)列 15，19，23，27443，求這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的差是多少？【分析與解】公差=19-15=4 項(xiàng)數(shù)=（443-15）4+1=108倒數(shù)第二項(xiàng)=443-4=439奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：15，23，31439，公差為 8，和為（15+439）542=12258偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：19，27，35443，公差為 8，和為（19+443）542=12474差為 12474-12258=2168、 自 1 開始，每隔兩個(gè)數(shù)寫出一個(gè)數(shù)來，得到的數(shù)列為 1,4,7,10,13,求出這個(gè)數(shù)列前 100 項(xiàng)的和9、影劇院有座位若干排，第一排座位 25 個(gè)，以后每排比第一排多 3 個(gè)位置，最后一排有 94 個(gè)座位，請(qǐng)問，這個(gè)影劇院共有多少個(gè)座位?10、小紅讀一本書，第一天讀了 30 頁(yè)，從第二天起，每天讀的頁(yè)數(shù)都比前一天多 4 頁(yè)，最后 一天讀了 70 頁(yè)，剛好讀完，請(qǐng)問這本小說多少頁(yè)？11、已知一個(gè)等差數(shù)列第9項(xiàng)等于131，第10項(xiàng)等于137，這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？第19項(xiàng)是多少？12、已知一個(gè)等差數(shù)列第8項(xiàng)等于50，第15項(xiàng)等于71.請(qǐng)問這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？【分析與解】71-50=2121（15-8）=3（公差）50=首項(xiàng)+（8-1）3所以首項(xiàng)=2913、體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報(bào)數(shù)。如果冬冬報(bào)17，阿奇報(bào)150，每位同學(xué)報(bào)的數(shù)都比前一位多7，那么隊(duì)伍里一共有多少人？【分析與解】首項(xiàng)=17，末項(xiàng)=150，公差=7項(xiàng)數(shù)=（150-17）7+1=2014、 已知等差數(shù)列15，19，23，27443，求這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的差是多少？【分析與解】公差=19-15=415、建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第 2 層 6 塊磚，第 3 層 10 塊磚，依次每層都比其上面一層多 4 塊磚，已知最下層 2106 塊磚，問中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？【分析與解】項(xiàng)數(shù)=（2106-2）4+1=527因此，層數(shù)為奇數(shù)，中間項(xiàng)為（2+2106）2=1054數(shù)列和=中間項(xiàng)項(xiàng)數(shù)=1054527=所以中間一層有 1054 塊磚，這堆磚共有 塊。9、把 248 分成 8 個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，其中最大的那個(gè)數(shù)是多少？【分析與解】平均數(shù)：2488=314 個(gè)數(shù)：31-1=301 個(gè)數(shù)：30-6=24末項(xiàng)：24+（8-1）2=38 即：最大的數(shù)為 38。10、學(xué)校進(jìn)行乒乓球比賽，每個(gè)參賽選手都要和其他所有選手賽 1 場(chǎng)。 （1） （2） 若有 20 人比賽，那么一共要進(jìn)行多少場(chǎng)選拔賽？ 若一共進(jìn)行了 78 場(chǎng)比賽，有多少人參加了選拔賽？分析 設(shè) 20 個(gè)選手分別是 A1,A2,A2,?,A20,我們從選手 A1，開始按順序分析比賽場(chǎng)次： A1 必須和 A2，A3，A4，?，A20 這 19 人各賽一場(chǎng)，共計(jì) 19 場(chǎng)； A2 已和 A1 賽過，他只需和 A3，A4，A5，?，A20 這 18 名選手各賽一場(chǎng)，共計(jì) 18 場(chǎng)； A3 已和 A1，A2 賽過，他只需與 A4，A5，A6，?，A20 這 17 名選手各賽一場(chǎng)，共計(jì) 17 場(chǎng)； 依次類推，最后，A19 只能和 A20 賽一場(chǎng)。 然后對(duì)各參賽選手的場(chǎng)次求和即可。 解 （1）這 20 名選手一共需賽 19+18+17+?+2+1=（19+1）192=190（場(chǎng)） 。 （2） 設(shè)參賽選手有 n 人，則比賽場(chǎng)次是 1+2