江蘇省南通市海安縣南莫中學2019-2020學年高一數(shù)學上學期期中試題一、選擇題（本題共12小題，每小題5分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1. 已知集合，則為（）A. B. C. D. 2. 下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（）A. 與B. 與C. 與D. 與3.下列等式一定正確的是（）A BC D4.當時，在同-平面直角坐標系中，函數(shù)與的圖像是( )A. B. C. D. 5. 已知，則，的大小關系是（ ）A. B. C. D. 6. 函數(shù)的定義域為（ ）A. B. C. D. 7. 已知函數(shù)，函數(shù)在下列區(qū)間一定存在零點（ ）A.B.C.D.8. 在上，滿足的的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 9. 已知，則的解集為（ ）A. B. C. D. 10. 已知滿足對任意，都有成立，那么的取值范圍是（ ）A.B.C.D.11. 當時，函數(shù)的值域為（ ）A. B. C. D. 12. 已知函數(shù)，直線與函數(shù)的圖象有三個交點、，它們的橫坐標分別為，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分共20分）13. 如圖所示，陰影部分表示的角的集合為（含邊界） （用弧度表示）14. 已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是 15. 若函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，則實數(shù) 的取值范圍為 。16. 定義在上的偶函數(shù)在上單調遞減，且，則滿足的集合為 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本題滿分10分） 已知集合，集合.（1）求當時，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍18. （本題滿分12分）計算：（1）已知，求的值（2）求值：19.（本題滿分12分） 已知.（1）化簡；（2）若是第二象限，且，求的值20. （本題滿分12分）某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比。已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元（如圖）（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關系（2）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？21. （本題滿分12分）已知函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，并且它的圖象經(jīng)過點，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，其中（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的最小值的表達式.22. （本題滿分12分）已知函數(shù)，是奇函數(shù)（1）求，的值；（2）證明：是區(qū)間上的減函數(shù)；（3）若，求實數(shù)的取值范圍20192020學年度第一學期期中測試高一數(shù)學試題答案和解析一、選擇題：1-5：DDCCA 6-10：BACCD 11、12：DB1.【答案】D【解析】解：集合， 故選：D先分別求出集合A，B，由此能求出本題考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題2.【答案】D【解析】解：A與的解析式不同，兩函數(shù)不相同；B.的定義域為，的定義域為，定義域不同，兩函數(shù)不相同；C與的解析式不同，兩函數(shù)不相同；D.的定義域為R，的定義域為R，定義域和解析式都相同，兩函數(shù)相同故選：D通過化簡解析式可發(fā)現(xiàn)選項A、C的兩函數(shù)的解析式不同，兩函數(shù)不相同，而選項B的兩函數(shù)定義域不同，兩函數(shù)也不相同，只能選D考查函數(shù)的定義，判斷兩函數(shù)是否相同的方法：看解析式和定義域是否都相同3.【答案】C【解析】A，若x，y均為負數(shù)，不對；B，根據(jù)指數(shù)冪的運算性質，2m2n=2m+n，B不對；C，根據(jù)指數(shù)冪的運算性質，C正確；D，若x為負數(shù)，不對故選C4.【答案】C【解析】試題分析：先將函數(shù)y=ax化成指數(shù)函數(shù)形式，再結合函數(shù)的單調性同時考慮這兩個函數(shù)的單調性即可判斷出結果解：函數(shù)y=ax與可化為函數(shù)y=，其底數(shù)大于1，是增函數(shù)，又y=logax，當0a1時是減函數(shù)，兩個函數(shù)是一增一減，前增后減故選C考點：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質；指數(shù)函數(shù)的圖象與性質5.【答案】A【解析】解：因為所以，。故選：A轉化為同底數(shù)：，根據(jù)函數(shù)單調性判斷答案本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調性，屬于容易題6.【答案】B【解析】解：要使函數(shù)有意義，應滿足，解得或，故函數(shù)的定義域為：；故選：B求函數(shù)的定義域，首先分母不等于0，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)和根號有意義的條件進行求解；此題主要考查函數(shù)的定義域及其求法，注意二次根號有意義的條件及分母不能為0；7.【答案】A【解析】解：，由函數(shù)零點判定定理可知，在上一定存在零點故選：A由已知函數(shù)解析式分別求得，的值，再由函數(shù)零點的判定得答案本題考查函數(shù)零點的判定，考查函數(shù)值的求法，是基礎題8.【答案】C【解析】解：上，滿足的的取值范圍：.故選：C直接利用正弦函數(shù)的性質求解即可本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質，三角函數(shù)線的應用，考查計算能力9.【答案】C【解析】解：，令，則，由，得，解得或，的解集為.故選：C令，則，求出，從而，由此能求出的解集本題考查方程的解集的求法，考查函數(shù)性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題10.【答案】D【解析】滿足對任意，都有成立，所以分段函數(shù)是減函數(shù)，所以，解得故選：D11.【答案】D【解析】解：，設，則函數(shù)等價為，即函數(shù)的值域為故選：D利用換元法將函數(shù)轉化為關于的一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的圖象和性質即可求出函數(shù)的值域本題主要考查函數(shù)值域的求法，利用換元法將函數(shù)轉化為關于的一元二次函數(shù)是解決本題的關鍵12.【答案】B【解析】解：，設函數(shù)的圖象與直線的交點對應橫坐標分別為、，則，所以，故選：B由分段函數(shù)的圖象的作法得，作出的圖象，由函數(shù)圖象的性質得：設函數(shù)的圖象與直線的交點對應橫坐標分別為、，則，所以，得解.本題考查了分段函數(shù)的圖象的作法及函數(shù)圖象的性質，屬中檔題二、填空題：13. 14. 15. 16. 13.【答案】【解析】解：如圖，陰影部分表示的角位于一、三象限，在第一象限，；在第三象限，陰影部分表示的角的集合為（含邊界）：或，故答案為：陰影部分表示的角位于一、三象限，在第一象限，；在第三象限，由此能求出陰影部分表示的角的集合（含邊界）本題表示角的集合的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意終邊相同的角的集合的合理運用14.【答案】【解析】解：由函數(shù)有兩個零點，可得有兩個零點，從而可得函數(shù)函數(shù)的圖象有兩個交點，結合函數(shù)的圖象可得，時符合條件，故答案為：.由函數(shù)有兩個零點，可得有兩個零點，從而可得函數(shù)函數(shù)的圖象有兩個交點，結合函數(shù)的圖象可求的范圍.本題主要考查函數(shù)的零點以及數(shù)形結合方法，數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質15.【答案】m2.【分析】首先根據(jù)對數(shù)的性質可得-x2+4x+50，據(jù)此即可求出函數(shù)的定義域；計算可知，二次函數(shù)y=-x2+4x+5圖象的對稱軸為x=2，結合對數(shù)的性質以及復合函數(shù)單調性可知f(x)的單調遞增區(qū)間為（2，5）；為其子區(qū)間?！驹斀狻扛鶕?jù)對數(shù)的性質可得-x2+4x+50，解得-1x5.因為二次函數(shù)y=-x2+4x+5圖象的對稱軸為x=2，由復合函數(shù)單調性可得函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（2，5），要使函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，只需 解關于m的不等式組得m2.16.【答案】【解析】解：定義在上的偶函數(shù)在上單調遞減，偶函數(shù)在上單調遞增，又，若，則，或，解得，或.故答案為：.根據(jù)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，可判斷出函數(shù)的單調性，結合，可將不等式轉化為，或，進而根據(jù)對數(shù)的性質解得答案本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性與單調性，其中由已知分析出函數(shù)的單調性，進而將抽象不等式具體化是解答的關鍵三、解答題：17.【答案】解：（1）當時，.（2）由得：，則有：，解得：，即：，實數(shù)的取值范圍為.【解析】（1）由題意可得，根據(jù)集合的基本運算可求（2）由得，結合數(shù)軸可求的范圍本題主要考查了集合的交集、并集的基本運算，集合包含關系的應用，解題的關鍵是準確利用數(shù)軸18.【答案】解：（1），（2）原式【解析】（1）利用即可得出（2）利用指數(shù)與對數(shù)運算性質即可得出本題考查了指數(shù)與對數(shù)運算性質、乘法公式應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題19.【答案】解：（1）.（2）由得，是第二象限，.【解析】（1）由條件利用誘導公式進行化簡所給的式子，可得的解析式（2）利用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系，求得的值本題主要考查應用誘導公式化簡三角函數(shù)式，要特別注意符號的選取，這是解題的易錯點，屬于基礎題20.【答案】（1） ； （2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，得，代入點的坐標，求的的值，即可可得到兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關系；（2）投資債券類產(chǎn)品萬元，則股票類投資為萬元，令，換元利用二次函數(shù)的性質，即可求解其最大收益試題解析：（1），（2）設：投資債券類產(chǎn)品萬元，則股票類投資為萬元令，則所以當，即萬元時，收益最大，萬元考點：函數(shù)的實際應用問題21.【答案】解：（1）設，的圖象經(jīng)過點，即，（2）設，即，則，對稱軸為.當時，在上是增函數(shù)，.當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當時，在上是減函數(shù)，綜上所述，.【解析】（1）代入點的坐標，求出的值，從而求出的解析式；（2）設，通過討論的范圍，求出函數(shù)的最小值即可；本題考查了求對數(shù)函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調性、最值問題，考查分類討論思想，是一道中檔題22.【答案】（1）解：函數(shù)，是奇函數(shù)，且，即，.（2）證明：由（1）得，設任意且，又，.是區(qū)間上的減函數(shù)（3）解：，奇函數(shù)，是區(qū)間上的減函數(shù)，即有，則實數(shù)的取值