信號(hào)與系統(tǒng),2,第1章信號(hào)及信號(hào)的時(shí)域分析,1.1信號(hào)及信號(hào)的分類1.2常用信號(hào)及其性質(zhì)1.3信號(hào)的基本運(yùn)算,3,本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容,信號(hào)是“信號(hào)與系統(tǒng)”這門(mén)課程的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。信號(hào)是消息的表現(xiàn)形式，通常體現(xiàn)為隨若干變量而變化的某種物理量。為了有效地傳播和利用消息，常常需要將消息轉(zhuǎn)換成便于傳輸和處理的信號(hào)。在數(shù)學(xué)上，信號(hào)可以描述為一個(gè)或多個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)。一個(gè)實(shí)用的信號(hào)除用解析式描述外，還可用圖形、測(cè)量數(shù)據(jù)或統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)描述。通常，將信號(hào)的圖形表示稱為波形或波形圖。本章在時(shí)域范圍內(nèi)討論信號(hào)的分類和信號(hào)的基本運(yùn)算，介紹后續(xù)課程將會(huì)大量涉及到的常用信號(hào)及其性質(zhì)，并較詳細(xì)地介紹信號(hào)的卷積運(yùn)算及其性質(zhì)，為揭示輸入、輸出信號(hào)與系統(tǒng)的物理關(guān)系及數(shù)學(xué)解析打下牢固的基礎(chǔ)。,4,1.1信號(hào)及信號(hào)的分類,1連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)2確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)3周期信號(hào)與非周期信號(hào)4能量信號(hào)與功率信號(hào)5實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)6因果信號(hào)與非因果信號(hào),5,1.1.1連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào),連續(xù)信號(hào)一個(gè)信號(hào)，如果在連續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)(除有限個(gè)間斷點(diǎn)外)有定義，就稱該信號(hào)在此區(qū)間內(nèi)為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱連續(xù)信號(hào)。,圖1-1連續(xù)時(shí)間信號(hào),6,圖1-1(a)是正弦信號(hào)，其表達(dá)式為：圖1-1(b)是階躍信號(hào)，通常記為。其表達(dá)式為：,7,信號(hào)對(duì)于間斷點(diǎn)處的值一般不作定義，這樣做不會(huì)影響分析結(jié)果。如有必要，可定義信號(hào)在間斷點(diǎn)處的信號(hào)值等于其左極限與右極限的算術(shù)平均值。,這里這樣，圖1-1(b)中的信號(hào)也可表示為：,8,2.離散信號(hào),僅在離散時(shí)間點(diǎn)上有定義的信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱離散信號(hào)。這里“離散”一詞表示自變量只取離散的數(shù)值，相鄰離散時(shí)間點(diǎn)的間隔可以是相等的，也可以是不相等的。在這些離散時(shí)間點(diǎn)以外，信號(hào)無(wú)定義。,圖1-2模擬信號(hào)通過(guò)采樣、量化得到數(shù)字信號(hào),9,離散信號(hào)一般有三種表示方法,（1）用解析式表示序列，離散信號(hào)可看成連續(xù)信號(hào)在采樣點(diǎn)上的樣值。通常取，為序號(hào)，T為采樣間隔。如，則記為,10,離散信號(hào)一般有三種表示方法,（2）用集合符號(hào)表示序列，離散信號(hào)是一組有序數(shù)的集合。對(duì)于上例，有,11,離散信號(hào)一般有三種表示方法,（3）用波形圖表示序列，對(duì)于上例的離散信號(hào)可用圖1-3表示，這是一種很直觀的表示方法。,圖1-3離散信號(hào)的時(shí)域波形為方便起見(jiàn)，可以將信號(hào)或的自變量省略，簡(jiǎn)記為，即用統(tǒng)一表示連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)。,12,1.1.2確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào),1.確定信號(hào)：是指能夠以確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)。即給定某一時(shí)間值，就能得到一個(gè)確定的信號(hào)值，如圖1-1所示。2.隨機(jī)信號(hào)：信號(hào)是時(shí)間的隨機(jī)函數(shù)，事先無(wú)法預(yù)知其變化規(guī)律。即給定某一時(shí)間值，其函數(shù)值并不確定，如圖1-4所示。,圖1-4隨機(jī)信號(hào),13,1.1.3周期信號(hào)與非周期信號(hào),1.周期信號(hào)對(duì)于連續(xù)信號(hào)，若存在，使得，為整數(shù)，則稱為周期信號(hào)。滿足上述關(guān)系的最小正數(shù)稱為的周期。對(duì)于離散信號(hào)，若存在大于零的整數(shù)，使得，為整數(shù)，則稱為周期信號(hào)。,圖1-5周期信號(hào),14,1.1.3周期信號(hào)與非周期信號(hào),2.非周期信號(hào):不滿足周期信號(hào)定義的信號(hào)稱為非周期信號(hào)。周期分別為、的2個(gè)信號(hào)相加產(chǎn)生的信號(hào)，其周期最小公倍數(shù)為：如果有理數(shù)，均為整數(shù)，則為周期信號(hào)，其周期為：,15,1.1.4能量信號(hào)與功率信號(hào),歸一化能量與歸一化功率的定義:對(duì)于連續(xù)信號(hào)，有對(duì)于離散信號(hào)，有,16,1.1.4能量信號(hào)與功率信號(hào),1.能量信號(hào)能量信號(hào)的歸一化能量為有限值，歸一化功率為零。即滿足，。2.功率信號(hào)功率信號(hào)的歸一化功率為有限值，歸一化能量為無(wú)限大。即滿足，。一般，周期信號(hào)為功率信號(hào)。,17,1.1.4能量信號(hào)與功率信號(hào),例:判斷下列信號(hào)中哪些是能量信號(hào)，哪些是功率信號(hào)，或者都不是。（1）解：因?yàn)闅w一化功率為：歸一化能量為：所以該信號(hào)為功率信號(hào).,18,1.1.4能量信號(hào)與功率信號(hào),（2）解：因?yàn)闅w一化能量為歸一化功率為：所以該信號(hào)既不是能量信號(hào)又不是功率信號(hào)。,19,1.1.4能量信號(hào)與功率信號(hào),(3)解：歸一化能量為歸一化功率為：所以該信號(hào)為能量信號(hào)。,20,1.1.5實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào),1.實(shí)信號(hào)在各時(shí)刻（或）上的信號(hào)幅值為實(shí)數(shù)的信號(hào)為實(shí)信號(hào)。例如，單邊指數(shù)信號(hào)，正、余弦信號(hào)等。實(shí)信號(hào)是可以物理實(shí)現(xiàn)的。2.復(fù)信號(hào)函數(shù)(或序列)值為復(fù)數(shù)的信號(hào)稱為復(fù)信號(hào)，最常用的是復(fù)指數(shù)信號(hào)。連續(xù)時(shí)間的復(fù)指數(shù)信號(hào)通常表示為：,21,1.1.5實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào),式中復(fù)變量。復(fù)指數(shù)信號(hào)可分解為實(shí)部和虛部?jī)刹糠?，分別代表余弦和正弦振蕩信號(hào)。信號(hào)的波形與的波形相似，只是相位相差。兩者均為實(shí)信號(hào)，而且是頻率相同，幅值隨時(shí)間變化的正(余)弦振蕩信號(hào)。,增幅振蕩的復(fù)指數(shù)信號(hào),22,1.2常用信號(hào)及其性質(zhì),1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì)1.階躍信號(hào)單位階躍信號(hào)用表示，定義為：或,與單位階躍信號(hào)相關(guān)的幾種波形,23,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),門(mén)函數(shù)可以表示為。,門(mén)函數(shù),對(duì)階躍信號(hào)積分，有,24,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),2.沖激信號(hào)（1）沖激信號(hào)的定義單位沖激信號(hào)（也稱沖激函數(shù)）用表示，可理解為脈寬為、幅度為的矩形脈沖在時(shí)的極限，即,矩形脈沖隨的變化過(guò)程,25,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),單位沖激信號(hào)的狄拉克(Dirac)定義,其波形如圖,單位沖激信號(hào),設(shè)為正實(shí)數(shù)，則的定義式為,其波形如圖,的波形,26,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),（2）沖激信號(hào)的性質(zhì)1）篩選性,2）取樣性,27,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),3）尺度變換,證明：時(shí),時(shí),又因?yàn)?綜合兩種情況，得,28,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),類推可以得到的一階導(dǎo)數(shù)為：,以及的n階導(dǎo)數(shù)為：,29,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),4）奇偶性利用上式來(lái)分析的奇偶性是比較方便的。令，得,為偶數(shù)時(shí)，有,為奇數(shù)時(shí)，有,這樣，得到,即是偶函數(shù)，而是奇函數(shù),30,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),5）與互為微分與積分的關(guān)系,證明：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有,當(dāng)時(shí)，有,所以,31,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),例：,（1）,（2）,32,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),（3）復(fù)合函數(shù)形式的沖激信號(hào)若有個(gè)互不相等的實(shí)根（如果有重根，沒(méi)有意義），則有,例：求,解：,故,33,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),3.單位沖激偶函數(shù)（1）單位沖激偶函數(shù)的定義單位沖激偶函數(shù)可通過(guò)對(duì)矩形脈沖求一階導(dǎo)數(shù)再取極限而引出其定義,脈寬為、幅度為的矩形脈沖,對(duì)矩形脈沖求導(dǎo)的波形,34,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),（2）單位沖激偶函數(shù)的性質(zhì)1),2),3),證明：因?yàn)?所以,推廣，有,35,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),4),證明,推廣，有,36,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),4斜坡信號(hào),單位斜坡信號(hào),與之間的關(guān)系為,37,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),5符號(hào)函數(shù),定義,符號(hào)函數(shù),38,1.2.1常用連續(xù)信號(hào)及其性質(zhì),6取樣信號(hào),性質(zhì),39,1.2.2常用離散信號(hào)及其性質(zhì),1.單位序列,定義,單位序列及單位序列的移位,性質(zhì),上兩式體現(xiàn)了的取樣性質(zhì),40,1.2.2常用離散信號(hào)及其性質(zhì),2單位階躍序列,單位階躍序列及單位階躍序列的移位,41,1.3信號(hào)的基本運(yùn)算,1.3.1信號(hào)的相加和相乘信號(hào)的運(yùn)算從數(shù)學(xué)意義上來(lái)說(shuō)，就是將信號(hào)經(jīng)過(guò)一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪恍盘?hào)。兩個(gè)信號(hào)相加，其和信號(hào)在任意時(shí)刻的信號(hào)值等于兩信號(hào)在該時(shí)刻的信號(hào)值之和。,兩個(gè)信號(hào)相乘，其積信號(hào)在任意時(shí)刻的信號(hào)值等于兩信號(hào)在該時(shí)刻的信號(hào)值之積,42,1.3.2信號(hào)的平移,將信號(hào)沿時(shí)間軸作平移，得到一個(gè)新的信號(hào),(a)的平移,(b)的平移,信號(hào)的平移,43,1.3.3信號(hào)的尺度變換與反轉(zhuǎn),當(dāng)時(shí)，是將以原點(diǎn)為基準(zhǔn)，橫軸壓縮到原來(lái)的倍；當(dāng)時(shí)，是將橫軸展寬至原來(lái)的倍。信號(hào)的反轉(zhuǎn)是將信號(hào)或中的自變量(或)換為(或)，即將信號(hào)繞縱軸作反轉(zhuǎn)。把原信號(hào)（或）在(或)時(shí)刻的值變換為(或)時(shí)刻的值。,44,1.3.3信號(hào)的尺度變換與反轉(zhuǎn),例:已知信號(hào)的波形如圖所示，畫(huà)出信號(hào)的波形。,波形變換過(guò)程,45,1.3.4信號(hào)的時(shí)域分解,1.信號(hào)的奇偶分解信號(hào)的奇偶分量定義分別為：,任意一個(gè)信號(hào)都可以表示成奇分量和偶分量之和,則有,信號(hào)及信號(hào)的奇、偶分量,46,1.3.4信號(hào)的時(shí)域分解,2.信號(hào)的脈沖分解任意一個(gè)連續(xù)信號(hào)都可以用脈沖信號(hào)相疊加來(lái)近似表示,每個(gè)矩形脈沖可以表示為：,信號(hào)分解成窄脈沖,47,1.3.4信號(hào)的時(shí)域分解,則,，,當(dāng)時(shí)，則,48,1.3.4信號(hào)的卷積積分與卷積和,1.卷積積分（1）卷積積分的定義,定義為與的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積。記作,（2）卷積積分的圖解方法,例：計(jì)算與的卷積積分,49,1.3.4信號(hào)的卷積積分與卷積和,計(jì)算過(guò)程如下：將變量更換為變量，反轉(zhuǎn)成，將沿軸平移時(shí)間就得到。,（a)當(dāng)即時(shí)，如圖1-27(a)所示,（b)當(dāng)即時(shí)，如圖1-27(b)所示,（c)當(dāng)且即時(shí)，如圖1-27(c)所示,（d)當(dāng)即時(shí)，如圖1-27(d)所示,（e)當(dāng)即時(shí)，如圖1-27(e)所示,50,1.3.4信號(hào)的卷積積分與卷積和,卷積積分的圖解過(guò)程,51,1.3.4信號(hào)的卷積積分與卷積和,卷積積分代數(shù)性質(zhì)1）交換律:設(shè)有和兩個(gè)信號(hào)，則,2）分配律:設(shè)有、和三個(gè)信號(hào)，則,3）結(jié)合律:設(shè)有、和三個(gè)信號(hào)，則,52,1.3.4信號(hào)的卷積積分與卷積和,1）信號(hào)卷積積分后的微分,2）信號(hào)卷積積分后的積分,卷積積分的高價(jià)導(dǎo)數(shù)和多重積分運(yùn)算規(guī)則:,式中當(dāng)i或j取正整數(shù)時(shí)表示導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，取負(fù)整數(shù)時(shí)為重積分的次數(shù),53,1.3.4信號(hào)的卷積積分與卷積和,3）卷積積分的平移性質(zhì)如果,則有,4）與沖激信號(hào)或階躍信號(hào)的卷積積分,54,1.3.4信號(hào)的卷積積分與卷積和,例：利用卷積積分的微積分性質(zhì)重新計(jì)算上例。,卷積積分的計(jì)算,55,1.3.4信號(hào)的卷積積分與卷積和,2.卷積和對(duì)應(yīng)LTI連續(xù)系統(tǒng)中連續(xù)信號(hào)的卷積積分，在LTI離散系統(tǒng)中有序列的卷積和?！熬矸e積分”與“卷積和”可以統(tǒng)稱為“卷積”。一般而言，若有兩個(gè)序列與，則和式,稱為序列與的卷積和,如果與均為因果序列，則,56,1.3.4信號(hào)的卷積積分與卷積和,例：設(shè)，求,解：由卷積和定義式得,、均為因果序列，所以,顯然，上式中，故應(yīng)寫(xiě)為：,57,（2）卷積和的圖示解法,例：求卷積和,解：,58,（2）卷積和的圖示解法,卷積和的圖示解法,59,(3)對(duì)位相乘法,把兩個(gè)序列排成兩行，按普通乘法運(yùn)算進(jìn)行相乘，但中間結(jié)果不進(jìn)位，最后將位于同一列的中間結(jié)果相加就得到卷積和序列。這種方法可稱為“對(duì)位相乘法”。,60,（4）序列陣表格法,將兩個(gè)序列、按次序分別以行、列排列，然后對(duì)應(yīng)行列值相乘得到一個(gè)表格，最后將對(duì)應(yīng)對(duì)角線上的數(shù)值累加，即可得到相應(yīng)的卷積和。,61,（5)卷積和的性質(zhì),性質(zhì)1離散信號(hào)的卷積和運(yùn)算服從交換律、結(jié)合律和分配律，即,性質(zhì)2任一序列與單位序列的卷積和等于序列本身，即,62,（5)卷積和的性質(zhì),性質(zhì)3若，則,63,例:已知序列，試計(jì)算卷積和,解：先計(jì)算,上式中，故有,再應(yīng)用卷積和性質(zhì)3，求得,64,1.4小結(jié),作為信號(hào)分析的基礎(chǔ)，本章詳細(xì)闡述了各類信號(hào)的性質(zhì)和時(shí)域特征，介紹了階躍信號(hào)、沖激信號(hào)等一些奇異信號(hào)的性質(zhì)和運(yùn)算法則。其目的就是讓學(xué)生掌握一些工程中常用信號(hào)及其性質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)上的精確表達(dá)方法。本章中階躍信號(hào)、沖激信號(hào)等一些奇異信號(hào)的性質(zhì)和運(yùn)算法則等內(nèi)容，對(duì)分析信號(hào)波形也是很有幫助的。本章介紹的卷積積分、卷積和及其性質(zhì)，對(duì)后面章節(jié)中學(xué)習(xí)輸入、輸出信號(hào)和系統(tǒng)的關(guān)系十分重要，它實(shí)際上是輸入、輸出信號(hào)和系統(tǒng)的物理關(guān)系的數(shù)學(xué)描述。這一章的信號(hào)時(shí)域分析為以后信號(hào)的頻域分析打下了基礎(chǔ)。,65,第2章時(shí)域連續(xù)信號(hào)的頻域分析,引言2.1信號(hào)的正交分解2.2周期信號(hào)的頻譜分析傅里葉級(jí)數(shù)2.3非周期信號(hào)的頻譜分析傅里葉變換2.4傅里葉變換的基本性質(zhì)2.5周期信號(hào)的傅里葉變換2.6時(shí)域采樣定理2.7小結(jié),66,引言,信號(hào)具有時(shí)域特性和頻域特性，本章討論信號(hào)的頻域特性，其目的之一是掌握信號(hào)頻域特性的分析，二是為系統(tǒng)的頻域分析方法作準(zhǔn)備。從本章開(kāi)始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。,67,2.1信號(hào)的正交分解,由上一章的討論可知，連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以表示為基本信號(hào)的線性組合，其基本信號(hào)為階躍信號(hào)或沖激信號(hào)。這種分解不僅是信號(hào)分析所需要的，同時(shí)，也對(duì)求解連續(xù)信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)帶來(lái)方便。信號(hào)分解的方法并不是唯一的，本章將介紹信號(hào)的另一種分解形式，即將連續(xù)信號(hào)分解為一系列的正交函數(shù)，各正交函數(shù)屬于一完備的正交函數(shù)集。,68,2.1.1正交函數(shù)集,圖2-1(a)平面矢量分解,如令為各相應(yīng)方向的正交單位矢量?？蓪?xiě)為：,信號(hào)分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量的概念相似。譬如，在平面上的矢量在直角坐標(biāo)中可以分解為x方向分量和y方向分量。,69,對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量可以用一個(gè)三維正交矢量集的分量組合表示，可寫(xiě)為：,圖2-1(b)空間矢量分解,正交函數(shù)集,70,正交函數(shù)集,空間矢量正交分解的概念可以推廣到信號(hào)空間，要信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)可表示成它們的線性組合。,定義在,區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù),和,若滿足:,則稱和在區(qū)間內(nèi)正交。,71,正交函數(shù)集,為一常數(shù)。,對(duì)于實(shí)變函數(shù)，上式可簡(jiǎn)化為：,若個(gè)函數(shù)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足：,72,正交函數(shù)集,則稱此函數(shù)集為在區(qū)間上的正交函數(shù)集。在區(qū)間內(nèi)相互正交的n個(gè)函數(shù)構(gòu)成正交信號(hào)空間。,如果在正交函數(shù)集之外，不存在任何函數(shù)滿足：,則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。,73,正交函數(shù)集,即與函數(shù)集的每一個(gè)函數(shù)都正交，那么它本身就應(yīng)屬于此函數(shù)集。顯然不包含的集是不完備的。,例如：三角函數(shù)集和虛指數(shù)函數(shù)集是兩組典型的在區(qū)間上的完備正交函數(shù)集。,74,正交函數(shù)集,因?yàn)?75,正交函數(shù)集,對(duì)于所有的,和,76,2.1.2信號(hào)的正交分解,設(shè)有個(gè)函數(shù)在區(qū)間上構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)集，將任一函數(shù)用這個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似，可以表示為：,顯然，應(yīng)選取系數(shù)使得實(shí)際函數(shù)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間內(nèi)最小。,77,信號(hào)的正交分解,這里“誤差最小”不是指平均誤差最小，因?yàn)槠骄`差很小甚至等于零時(shí)，也可能出現(xiàn)較大的正誤差與較大的負(fù)誤差在平均過(guò)程中相互抵消，以致不能正確反映兩函數(shù)的近似程度。通常選擇誤差的均方值最小。,誤差的均方值也稱為均方誤差，用符號(hào)表示：,78,信號(hào)的正交分解,即,展開(kāi)上式的被積函數(shù)，因?yàn)椴煌恼缓瘮?shù)相乘的各項(xiàng)其積分均為零，且所有不包含的各項(xiàng)對(duì)求導(dǎo)也等于零。上式可化簡(jiǎn)為：,79,信號(hào)的正交分解,交換微分與積分次序，得,于是可求得,80,信號(hào)的正交分解,若為復(fù)函數(shù)集,則為,81,2.2周期信號(hào)的頻譜分析傅里葉級(jí)數(shù),早在18世紀(jì)中葉，丹尼爾.伯努利在解決弦振動(dòng)問(wèn)題時(shí)就提出了這樣的見(jiàn)解：任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以分解成一系列諧振動(dòng)之和。,這一事實(shí)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述即為：在一定的條件下，任何周期為的函數(shù)，都可用一系列以為周期的正弦函數(shù)所組成的級(jí)數(shù)來(lái)表示，即：,82,2.2.1三角形式的傅里葉級(jí)數(shù),十九世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉曾大膽地?cái)嘌裕喝我夂瘮?shù)都可以展成三角級(jí)數(shù)。,周期信號(hào)，周期為，基波角頻率為，滿足狄里赫利條件時(shí)，可展成：,稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)。,83,傅里葉級(jí)數(shù),由正、余弦正交條件，可得傅里葉系數(shù)：,直流分量：,余弦分量的幅度：,正弦分量的幅度：,84,傅里葉級(jí)數(shù),可見(jiàn)，傅里葉系數(shù)和都是(或)的函數(shù)。其中是(或)的偶函數(shù)，即有：=。是(或)的奇函數(shù)，即有：=-。在確定上述積分時(shí)，只要積分區(qū)間是一個(gè)周期即可，對(duì)積分區(qū)間的起止并無(wú)特別要求。,根據(jù)三角函數(shù)的運(yùn)算法則，上式可寫(xiě)成如下形式：,85,傅里葉級(jí)數(shù),其中,86,傅里葉級(jí)數(shù),上式表明，任何滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦(或正弦)分量。,其中第一項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，它是周期信號(hào)中所包含的直流分量；,第二項(xiàng)為基波或一次諧波，它的角頻率與原信號(hào)相同，是基波振幅，是基波初相角；,稱為次諧波，是次諧波振幅，是次諧波初相角。,87,傅里葉級(jí)數(shù),周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的物理意義在于：周期信號(hào)可以分解為一個(gè)直流分量與許多諧波分量之加權(quán)和。,是對(duì)信號(hào)中的每一個(gè)諧波分量的大小作出的度量，稱為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)或頻譜系數(shù)(或稱為加權(quán)系數(shù))。針對(duì)不同的信號(hào)，其不一樣，則頻譜圖不同。,頻譜圖繪出了信號(hào)的頻譜特性，如信號(hào)由那些諧波分量構(gòu)成；分量的大小，分布等信息。它與信號(hào)的時(shí)域波形表示是等價(jià)的。,88,傅里葉級(jí)數(shù),例2-1試將圖2-2所示的方波信號(hào)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。,解：,89,傅里葉級(jí)數(shù),90,傅里葉級(jí)數(shù),91,傅里葉級(jí)數(shù),最高諧波次數(shù)=3,最高諧波次數(shù)=9,最高諧波次數(shù)=35,92,傅里葉級(jí)數(shù),可以看到，合成波形所包含的諧波分量愈多時(shí)，除間斷點(diǎn)附近外，它愈接近于原方波信號(hào)。在間斷點(diǎn)附近，隨著所含諧波次數(shù)的增高，合成波形的尖峰愈靠近間斷點(diǎn)，但尖峰幅度并未明顯減小。可以證明(見(jiàn)理想低通濾波器的響應(yīng))，既使合成波形所含諧波次數(shù)，在間斷點(diǎn)處仍有約9%的偏差，這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象。,93,2.2.2指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù),利用歐拉公式,式,可表示為：,94,傅里葉級(jí)數(shù),將上式第三項(xiàng)中的用代換，并考慮是(或)的偶函數(shù)，=，是(或)的奇函數(shù)，=-。則上式可寫(xiě)成：,95,傅里葉級(jí)數(shù),將寫(xiě)成，則上式可寫(xiě)成,96,傅里葉級(jí)數(shù),令復(fù)向量，稱為復(fù)傅里葉系數(shù)。則得到傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式,意義：任意周期信號(hào)可分解為許多不同頻率的復(fù)指數(shù)之加權(quán)和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度或相量(或稱為復(fù)加權(quán)系數(shù))為。,97,傅里葉級(jí)數(shù),下面綜合一下三角函數(shù)型和指數(shù)型傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系,98,傅里葉級(jí)數(shù),99,傅里葉級(jí)數(shù),由于,100,傅里葉級(jí)數(shù),從而有,上式表明，只要給定周期信號(hào)，則復(fù)系數(shù)可以在一個(gè)周期內(nèi)積分確定，繼而可寫(xiě)出復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。,101,傅里葉級(jí)數(shù),上兩式是表示周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的一對(duì)重要關(guān)系。,102,傅里葉級(jí)數(shù),可以看出周期信號(hào)的三角函數(shù)型和指數(shù)型傅里葉形式只是同一信號(hào)的兩種不同表示方法。前者為實(shí)數(shù)形式，后者為復(fù)數(shù)形式，都是把周期信號(hào)表示為不同頻率的各分量之和。,103,2.2.3信號(hào)的性質(zhì)與傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系,若給定的信號(hào)具有某種特點(diǎn)，那么，其傅里葉系數(shù)的有些值將等于零，從而使傅里葉系數(shù)的計(jì)算較為方便。,1.為偶對(duì)稱信號(hào),此時(shí)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的，稱為偶對(duì)稱信號(hào)。,=,104,傅里葉系數(shù),由于是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。有,偶對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)中不包含正弦項(xiàng)，只可能有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。,其傅里葉復(fù)系數(shù)為,105,傅里葉系數(shù),2.為奇對(duì)稱信號(hào),此時(shí)波形相對(duì)于原點(diǎn)是對(duì)稱的，稱為奇對(duì)稱信號(hào)。,=,106,傅里葉系數(shù),由于是奇函數(shù)，是偶函數(shù)。,偶對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)中不包含直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)，只可能有正弦項(xiàng)。,其傅里葉復(fù)系數(shù)為,107,傅里葉系數(shù),3.為奇諧信號(hào),信號(hào)的前半周期波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后，與后半周期波形對(duì)稱于橫軸。,=,稱此信號(hào)為奇諧信號(hào)，或半周鏡像對(duì)稱信號(hào)，或半波信號(hào)。,108,傅里葉系數(shù),只有當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，才存在。即半波對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)中，只有奇次諧波項(xiàng)，不存在偶次諧波項(xiàng)。,當(dāng)時(shí):,當(dāng)時(shí):,109,傅里葉系數(shù),4.為偶諧信號(hào),信號(hào)的前半周期波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后，與后半周期波形重合。,=,稱此信號(hào)為偶諧信號(hào)，或半周重疊對(duì)稱信號(hào)號(hào)。,110,傅里葉系數(shù),偶諧信號(hào)的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量。,當(dāng)時(shí):,當(dāng)時(shí):,111,2.2.4周期信號(hào)的頻譜,1頻譜的概念,如前所述，周期信號(hào)可以分解成一系列余弦或虛指數(shù)信號(hào)的加權(quán)和，為了直觀地表示信號(hào)所含各分量的振幅，以頻率(或角頻率)為橫坐標(biāo)，以各諧波的振幅或虛指數(shù)信號(hào)的幅度|為縱坐標(biāo)，畫(huà)出的圖形，稱之為幅度(或振幅)頻譜，簡(jiǎn)稱幅度譜。,112,頻譜的概念,(a)單邊幅度譜,(b)雙邊幅度譜,(c)單邊相位譜,(d)雙邊相位譜,113,頻譜的概念,信號(hào)分解為各余弦分量，圖中每一條譜線表示該次諧波的振幅，是曲線譜。只有正頻率出現(xiàn)，稱之為單邊幅度譜。,信號(hào)分解為各虛指數(shù)信號(hào)分量，圖中每一條譜線表示各分量的幅度，是曲線譜。正負(fù)頻率均出現(xiàn)，稱之為雙邊幅度譜。,114,2周期矩形信號(hào)的頻譜,1）周期矩形信號(hào),例2-2設(shè)有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為，求其傅里葉系數(shù)。,115,周期矩形信號(hào)的頻譜,，上式可寫(xiě)為,116,周期矩形信號(hào)的頻譜,如令：,稱之為取樣函數(shù)。它是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，。,則,117,周期矩形信號(hào)的頻譜,該周期矩形脈沖的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為,118,周期矩形信號(hào)的頻譜,2）頻譜圖,(a)周期矩形脈沖信號(hào)的三角形式頻譜圖,(b)周期矩形脈沖信號(hào)的指數(shù)形式頻譜圖,119,周期矩形信號(hào)的頻譜,(c)周期矩形脈沖信號(hào)的三角形式幅頻,(d)周期矩形脈沖信號(hào)的指數(shù)形式幅頻,(e)周期矩形脈沖信號(hào)的三角形式相頻,(f)周期矩形脈沖信號(hào)的指數(shù)形式相頻,120,3）周期矩形脈沖頻譜的特點(diǎn)：,（1）其頻譜是離散的，譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率(即各次諧波頻率)上。,譜線的間隔為()，譜線間隔與脈沖重復(fù)周期成反比，愈大，譜線愈密集。,（2）直流分量、基波及各次諧波分量的大小正比于脈沖幅度和脈沖寬度，反比于周期。,各譜線的幅度包絡(luò)線按取樣函數(shù)的規(guī)律變化。,121,周期矩形脈沖頻譜的特點(diǎn),過(guò)零點(diǎn)的坐標(biāo)有,即,122,周期矩形脈沖頻譜的特點(diǎn),（3）頻率從0到第一個(gè)零值點(diǎn)之間，或任意兩個(gè)相鄰的零值點(diǎn)之間的譜線條數(shù)是與信號(hào)的脈寬和周期的比值有關(guān)。,規(guī)律如下：若，則頻率從0到第一個(gè)零值點(diǎn)之間或任意兩個(gè)相鄰的零值點(diǎn)之間就有條譜線。,123,周期矩形脈沖頻譜的特點(diǎn),（4）周期矩形脈沖信號(hào)包含無(wú)窮多條譜線。也就是說(shuō)，它可以分解成無(wú)窮多個(gè)頻率分量。隨著頻率的增高，譜線幅度變化的總趨勢(shì)收斂于零。但主要能量集中在第一個(gè)零值點(diǎn)之內(nèi)。,頻帶寬度,把這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號(hào)的頻帶寬度，記作(或)和(或)。,124,頻帶寬度,和,顯然，頻帶寬度只與脈沖寬度(信號(hào)的持續(xù)時(shí)間)有關(guān)，而且成反比關(guān)系。信號(hào)的持續(xù)時(shí)間愈長(zhǎng)，其頻帶寬度愈窄，反之，信號(hào)脈沖愈窄，其頻帶寬度愈寬。這種信號(hào)的頻寬與時(shí)寬成反比的性質(zhì)是信號(hào)分析中最基本的特性，它將貫穿于信號(hào)與系統(tǒng)分析的全過(guò)程。,125,周期信號(hào)頻譜特點(diǎn),（1）諧波性。譜線只在基波頻率的整數(shù)倍頻率上出現(xiàn)。在處有值，稱為譜線。,（2）離散性。頻譜圖由頻率離散的譜線組成，每根譜線代表一個(gè)諧波分量。這樣的頻譜稱為不連續(xù)頻譜或離散頻譜。,（3）收斂性。頻譜中各分量的高度，隨著諧波次數(shù)的增高而逐漸減小。當(dāng)諧波次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，諧波分量的振幅趨于無(wú)窮小。,126,3）頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)之間的關(guān)系,為了說(shuō)明在不同的脈寬和不同的周期的情況下周期矩形脈沖信號(hào)頻譜的變化規(guī)律，下面分兩種情況來(lái)討論。,（1）當(dāng)保持不變，而三種情況時(shí)的頻譜。,不變，譜線間隔不變；,127,頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)之間的關(guān)系,減小，第一個(gè)零值點(diǎn)增大，頻帶寬度增大，頻帶寬度內(nèi)譜線增多，頻譜幅度減小。,128,頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)之間的關(guān)系,129,頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)之間的關(guān)系,（2）當(dāng)保持不變，而三種情況時(shí)的頻譜。,增大，頻譜幅度隨之減??；,頻譜包絡(luò)線過(guò)零點(diǎn)不變；,譜線間隔變小，譜線變密，周期愈大，譜線愈密,當(dāng)時(shí)，就變成了與包絡(luò)線形狀相同的連續(xù)譜，對(duì)此將在下一節(jié)專門(mén)討論。,130,頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)之間的關(guān)系,131,頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)之間的關(guān)系,2.3非周期信號(hào)的頻譜分析傅里葉變換,133,2.3.1傅里葉變換的定義,周期信號(hào)的周期增大時(shí)，譜線的間隔變小，若周期趨于無(wú)限大，則譜線的間隔趨于無(wú)限小，這樣周期信號(hào)的離散頻譜就變成了非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。,同時(shí)由于周期趨于無(wú)限大，譜線的長(zhǎng)度趨于零。這樣，就不能用來(lái)表示非周期信號(hào)的頻譜。,這時(shí)，信號(hào)中各頻率分量的振幅雖然都是無(wú)窮小量，但是，這些無(wú)窮小量之間仍然保持一定的比例關(guān)系。為了表達(dá)非周期信號(hào)的頻譜特性，有必要引用一個(gè)新的量。,134,傅里葉變換的定義,等式兩邊都乘以，則當(dāng)趨于無(wú)限大時(shí)，這個(gè)量可以不趨于零。,這個(gè)極限量用符號(hào)來(lái)表示，當(dāng)周期趨于無(wú)限大時(shí)，離散頻率變成連續(xù)頻率。,135,傅里葉變換的定義,令,136,傅里葉變換的定義,考慮到時(shí)，無(wú)窮小，記為；,(由離散量變?yōu)檫B續(xù)量)，有,137,傅里葉變換的定義,又由,而時(shí)，同時(shí)，求和變成積分，于是有,138,傅里葉變換的定義,稱為的原函數(shù)或傅里葉反變換。,稱為的頻譜密度函數(shù)(簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù))或傅里葉變換。,這就是非周期信號(hào)的傅里葉積分表示式，它與周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)。,139,傅里葉變換的定義,前者是由信號(hào)的時(shí)間函數(shù)變換為頻率函數(shù)，稱為傅里葉正變換式；后者是由信號(hào)的頻率函數(shù)變換為時(shí)間函數(shù)，稱為傅里葉反變換式?？珊?jiǎn)記為,或,140,傅里葉變換的定義,非周期信號(hào)的傅里葉變換也應(yīng)該滿足一定的條件才能存在。,定義：函數(shù)的傅里葉變換存在的充分條件(并非必要條件)是在無(wú)限區(qū)間內(nèi)絕對(duì)可積，即。,證明：,要使存在，必須滿足,141,傅里葉變換的定義,而,又,142,傅里葉變換的定義,如果，則必然存在。,143,2.3.2傅里葉變換的物理意義頻譜和頻譜密度函數(shù),因?yàn)?可以看出，具有單位頻帶復(fù)振幅的量綱，因此這個(gè)新的量稱為原函數(shù)的頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)。,如同單位體積內(nèi)的質(zhì)量為物體的密度一樣。,144,頻譜和頻譜密度函數(shù),頻譜函數(shù)是一個(gè)復(fù)函數(shù)，可以寫(xiě)成,稱為幅度頻譜，它是頻率的函數(shù)，它代表信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大小，而各頻率分量的實(shí)際幅度是，它是一無(wú)窮小量。,稱為相位頻譜，它也是頻率的函數(shù)，它代表有關(guān)頻率分量的相位。,145,頻譜和頻譜密度函數(shù),把函數(shù)f(t)寫(xiě)成三角函數(shù)的形式,意義：任意非周期信號(hào)可分解為無(wú)窮多不同余弦(或正弦)分量之加權(quán)和，其各分量的加權(quán)系數(shù)為無(wú)窮小量。,146,頻譜和頻譜密度函數(shù),可見(jiàn)，非周期信號(hào)也和周期信號(hào)一樣，可以分解為許多不同頻率的正弦分量。所不同的是，由于非周期信號(hào)的周期趨于無(wú)限大，基波頻率就趨于無(wú)限小，因此組成信號(hào)的分量的頻率包含了從零到無(wú)窮大之間的一切頻率。同時(shí)隨著周期的無(wú)限增大，組成信號(hào)的分量的振幅則無(wú)限減小，所以頻譜不能直接用振幅作出，而必須用它的密度函數(shù)來(lái)作出。,147,2.3.3常用信號(hào)的傅里葉變換,1單邊指數(shù)信號(hào),傅里葉變換為,148,常用信號(hào)的傅里葉變換,單邊指數(shù)信號(hào)的波形和頻譜,149,常用信號(hào)的傅里葉變換,2偶雙邊指數(shù)信號(hào),利用公式，可求得此信號(hào)的傅里葉變換為：,150,常用信號(hào)的傅里葉變換,圖2-14偶雙邊指數(shù)信號(hào)的波形及其頻譜,151,常用信號(hào)的傅里葉變換,3奇雙邊指數(shù)信號(hào),利用公式，可求得此信號(hào)的傅里葉變換為,152,常用信號(hào)的傅里葉變換,153,常用信號(hào)的傅里葉變換,4對(duì)稱矩形脈沖信號(hào),對(duì)稱矩形脈沖信號(hào)（又稱門(mén)函數(shù)）(symmetryrectangularpulsesignal)的表示式為：,傅里葉變換為：,154,常用信號(hào)的傅里葉變換,155,常用信號(hào)的傅里葉變換,156,常用信號(hào)的傅里葉變換,可以看出，非周期矩形單脈沖的頻譜函數(shù)曲線與周期矩形脈沖離散頻譜的包絡(luò)線形狀完全相同，都具有取樣函數(shù)的形狀。,和周期脈沖的頻譜一樣，單脈沖頻譜也具有收斂性，信號(hào)的絕大部分能量集中在頻率范圍內(nèi)。,157,常用信號(hào)的傅里葉變換,這種信號(hào)占有的頻率范圍(即頻帶寬度(bandwidth)近似為，即,158,常用信號(hào)的傅里葉變換,5符號(hào)函數(shù),顯然，符號(hào)函數(shù)不滿足絕對(duì)可積的條件，但它存在傅里葉變換，可以借助于符號(hào)函數(shù)與奇雙邊指數(shù)信號(hào)相乘，先求出此乘積信號(hào)的頻譜，然后取極限，從而得出符號(hào)函數(shù)的頻譜。,159,常用信號(hào)的傅里葉變換,定義乘積信號(hào),其傅里葉變換為：,160,常用信號(hào)的傅里葉變換,符號(hào)函數(shù)可看作是當(dāng)時(shí)的極限,161,常用信號(hào)的傅里葉變換,因此，它的頻譜函數(shù)也是的頻譜函數(shù)在的極限。,162,常用信號(hào)的傅里葉變換,163,常用信號(hào)的傅里葉變換,6.單位直流信號(hào),可見(jiàn)該信號(hào)也不滿足絕對(duì)可積條件，但可利用上述偶雙邊指數(shù)信號(hào)取極限，求得其傅里葉變換，即,164,常用信號(hào)的傅里葉變換,故,由上式可見(jiàn)，它是一個(gè)以為自變量的沖激信號(hào)。根據(jù)沖激信號(hào)的定義，該沖激信號(hào)的強(qiáng)度為,165,常用信號(hào)的傅里葉變換,所以有,166,常用信號(hào)的傅里葉變換,7.單位沖激信號(hào),根據(jù)傅里葉變換的定義以及沖激信號(hào)的取樣性質(zhì)，可求出單位沖激信號(hào)的傅里葉變換為：,167,常用信號(hào)的傅里葉變換,直流信號(hào)的頻譜是沖激信號(hào)，沖激信號(hào)的傅里葉變換是直流信號(hào)，直流信號(hào)與沖激信號(hào)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。,直流信號(hào)的時(shí)域持續(xù)時(shí)間無(wú)限，而其頻譜在頻域?yàn)闆_激信號(hào)，頻寬有限；單位沖激信號(hào)時(shí)域持續(xù)時(shí)間有限，而其頻譜的頻寬在頻域無(wú)限。,168,常用信號(hào)的傅里葉變換,8沖激偶函數(shù),因?yàn)?1，所以,將上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，,169,常用信號(hào)的傅里葉變換,所以,同理可得,170,常用信號(hào)的傅里葉變換,9階躍信號(hào),單位階躍信號(hào)雖然不滿足絕對(duì)可積條件，但它仍存在傅里葉變換。,上式兩邊進(jìn)行傅里葉變換可得,171,常用信號(hào)的傅里葉變換,可得的傅里葉變換為：,172,常用信號(hào)的傅里葉變換,歸納以上分析，可以得到如下重要結(jié)論：,(1)非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)譜。,(2)信號(hào)在時(shí)域中的持續(xù)時(shí)間與其頻譜在頻域的帶寬成反比。信號(hào)的持續(xù)時(shí)間愈長(zhǎng)，其頻帶寬度愈窄，反之，信號(hào)脈沖愈窄，其頻帶寬度愈寬。,173,2.4傅里葉變換的基本性質(zhì),174,2.4.1線性(linearity),傅里葉變換是一種線性運(yùn)算，若,則,175,線性,線性性質(zhì)包含兩個(gè)含義：,1)齊次性。表明若信號(hào)乘以常數(shù)(即信號(hào)增大倍)，則頻譜函數(shù)也乘以常數(shù)(即頻譜函數(shù)號(hào)也增大倍)。,2)可加性。表明幾個(gè)信號(hào)之和的頻譜等于各個(gè)信號(hào)頻譜函數(shù)之和。,176,線性,證明：,1)證明可加性。設(shè),，,有,177,線性,則,+,又,178,線性,所以,+=,滿足可加性。,2)證明齊次性。設(shè),則,179,線性,=a=,滿足齊次性。,也可以同時(shí)證明可加性和齊次性。,180,線性,例2-3利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號(hào)的傅里葉變換。,解：,181,2.4.2奇偶性,根據(jù)傅里葉變換的定義，信號(hào)的傅里葉變換,表示成模(即幅度頻譜)和相位(即相位頻譜)的函數(shù)，即寫(xiě)成,182,奇偶性,亦可以表示成實(shí)部和虛部的形式，即有,且有,183,奇偶性,(1)若是實(shí)函數(shù)，則其頻譜函數(shù)是共軛對(duì)稱函數(shù)，即其實(shí)部是偶函數(shù)、虛部是奇函數(shù)。,其實(shí)部,是偶函數(shù)，其虛部,是奇函數(shù)，從而有,184,奇偶性,當(dāng)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)，有,表明，實(shí)偶函數(shù)的頻譜函數(shù)亦是實(shí)偶函數(shù)。,185,奇偶性,當(dāng)是實(shí)奇函數(shù)時(shí)，有,表明，實(shí)奇函數(shù)的頻譜函數(shù)是虛奇函數(shù)。,186,奇偶性,(2)若是虛函數(shù)，則其頻譜函數(shù)是共軛反對(duì)稱函數(shù)，即其實(shí)部是奇函數(shù)、虛部是偶函數(shù)。,令，這里，則的傅里葉變換可寫(xiě)成,187,奇偶性,其實(shí)部：,是奇函數(shù)，其虛部：,是偶函數(shù)，且有：,188,奇偶性,189,2.4.3對(duì)稱性(symmetry),若,則,對(duì)稱性表明，與信號(hào)的頻譜函數(shù)形式相同的時(shí)間函數(shù)的傅里葉變換為。這里的與原信號(hào)有相同的形式。,190,對(duì)稱性,證明：,將上式中的自變量t換為t，得,191,對(duì)稱性,將上式中的變量換為，積分結(jié)果不變，即,再將用代之，上述關(guān)系依然成立，即,192,對(duì)稱性,最后再將用代替，則得,即,193,對(duì)稱性,例如，,有,當(dāng)是實(shí)奇函數(shù)時(shí)，它的頻譜函數(shù)是虛奇函數(shù)，此時(shí)對(duì)稱性可寫(xiě)成,194,對(duì)稱性,或,例如，,有,195,對(duì)稱性,利用對(duì)稱性，可以將求傅里葉反變換的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求傅里葉變換來(lái)進(jìn)行。,例2-4若信號(hào)的傅里葉變換為,試求其反變換。,196,對(duì)稱性,解：將中的換成，有,根據(jù)對(duì)稱性，它的傅里葉變換為,197,對(duì)稱性,由于,故,所以,198,對(duì)稱性,信號(hào)的傅里葉變換其它的對(duì)稱特性表現(xiàn)在下列各式：,199,2.4.4時(shí)移特性(time-shiftingproperty),若,則,證明：,根據(jù)傅里葉變換定義，有：,200,時(shí)移特性,令，則有,201,時(shí)移特性,同理，有,時(shí)移特性表明，信號(hào)在時(shí)域中沿時(shí)間軸右移，等效于在頻域中乘以相位因子?；蛘哒f(shuō)，信號(hào)在時(shí)域中沿時(shí)間軸右移后，其幅度頻譜不變，而相位頻譜產(chǎn)生的附加變化。,202,2.4.5頻移特性(或稱調(diào)制定理modulationtheorem),若,則,證明：,根據(jù)傅里葉變換定義，有,203,頻移特性,同理可證,204,頻移特性,頻移特性表明，信號(hào)在時(shí)域中乘以，等效于的頻譜在頻域中沿頻率軸右移。,也就是說(shuō)，如果的頻譜原來(lái)在=0附近(基帶信號(hào))。若將乘以，就可以使其頻譜搬移到附近，在通信中，這樣的過(guò)程叫做調(diào)制。,205,頻移特性,反之，如果的頻譜原來(lái)在附近(高頻信號(hào))，若將乘以，就可以使其頻譜搬移到=0附近。在通信中，這樣的過(guò)程叫做解調(diào)(demodulation)。,而如果的頻譜原來(lái)在附近，若將f(t)乘以后，其頻譜將搬移到附近，這樣的過(guò)程就是變頻(frequencyconversion)。,206,頻移特性,由于實(shí)際中不可能獲得復(fù)指數(shù)信號(hào)，因此頻譜搬移的實(shí)現(xiàn)原理是將信號(hào)乘以載波信號(hào)或，下面來(lái)分析這種相乘作用引起的頻譜搬移。,根據(jù)歐拉公式，有：,207,頻移特性,可得：,式(1),式(2),式(1)表明，若時(shí)間信號(hào)乘以等效的頻譜一分為二，沿頻率軸向左、向右各平移。,式(2)亦類似。,208,頻移特性,例2-7求圖所示的矩形脈沖調(diào)幅信號(hào)的頻譜。,解：該矩形脈沖調(diào)幅信號(hào)可記為,其中,209,頻移特性,因?yàn)榈念l譜為：,所以，根據(jù)頻移特性可求出的頻譜,210,頻移特性,可見(jiàn)，矩形調(diào)幅信號(hào)的頻譜等于將包絡(luò)線的頻譜一分為二，沿頻率軸向左和向右各移動(dòng)載頻,。,211,2.4.6尺度變換特性(scalingproperty),若,則,式中，為大于零的常數(shù)。,212,尺度變換,證明：因?yàn)?令，則當(dāng)時(shí)，有,213,尺度變換,而當(dāng)時(shí)，有,綜合上述兩種情況，得到,214,尺度變換,尺度變換特性表明，信號(hào)在時(shí)域中壓縮()等效于在頻域中擴(kuò)展；,反之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展()則等效于在頻域中壓縮。,這與前面分析周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜時(shí)的情況是一致的。如要壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，就不得不以展寬頻帶為代價(jià)，而如要壓縮信號(hào)的頻帶寬度，則又不得不以增加信號(hào)的持續(xù)時(shí)間為代價(jià)。這也是通信中時(shí)長(zhǎng)與帶寬的矛盾，或者通信速度與信道容量的矛盾。,215,2.4.7時(shí)域微分(differentiationintimedomain),若,則,證明：因?yàn)?216,時(shí)域微分,得,應(yīng)用分部積分，可得,217,時(shí)域微分,如果當(dāng)時(shí)，得,同理可推導(dǎo)出,利用時(shí)域微分特性就容易求出一些由定義式不容易求得的函數(shù)的傅里葉變換。,218,時(shí)域微分,例2-8求圖所示的三角脈沖信號(hào),的頻譜函數(shù)。,219,時(shí)域微分,解：首先求出的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，得到它們的波形分別如圖所示。,可得,220,時(shí)域微分,利用微分特性，對(duì)上式兩邊取傅氏變換，由于時(shí)，便有,221,時(shí)域微分,得,222,2.4.8時(shí)域積分(integrationintimedomain),若,則,式中，,223,時(shí)域積分,證明：由傅里葉變換的定義式可知,交換上式中的積分次序，可變?yōu)?224,時(shí)域積分,上式中方括號(hào)內(nèi)是階躍信號(hào)的傅里葉變換。根據(jù)時(shí)移特性，的頻譜函數(shù)為,代入前式則得,225,時(shí)域積分,如果，則上式變成,時(shí)域積分特性表明，可以利用原函數(shù)的傅里葉變換直接求取積分后函數(shù)的傅里葉變換。,226,時(shí)域積分,利用積分特性求取信號(hào)的頻譜函數(shù)時(shí)，往往先將信號(hào)微分，即作,并求其傅里葉變換,=,然后再利用積分特性導(dǎo)出原信號(hào)的傅里葉變換。,227,時(shí)域積分,應(yīng)當(dāng)注意，原信號(hào)經(jīng)微分之后去掉其直流分量，再積分就不一定恢復(fù)原來(lái)信號(hào)，存在著一個(gè)積分常數(shù)問(wèn)題。,用求導(dǎo)法計(jì)算其頻譜時(shí)時(shí)域積分特性應(yīng)修正：,式中,228,時(shí)域積分,例2-10求下圖所示截平斜變信號(hào)的傅里葉變換。,解：對(duì)求一次微分，得,229,時(shí)域積分,根據(jù)時(shí)域積分性，,得：,又,故有,230,2.4.9頻域微分(differentiationinfrequencydomain),若,則,231,頻域微分,證明：對(duì)傅里葉變換式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得,所以,同理可證,232,頻域微分,例如：由，由頻域微分可得,233,2.4.10頻域積分(integrationinfrequencydomain),若,則,證明：因?yàn)?234,頻域積分,根據(jù)卷積的微分與積分性質(zhì)，上式為,利用將要介紹的頻域卷積定理，可得,=,由于,235,頻域積分,利用對(duì)稱性可得,將上式代入式，即得,236,頻域積分,若f(0)=0，則,237,2.4.11時(shí)域卷積定理(convolutiontheoreminthetimedomain),若,則,證明：根據(jù)卷積的定義，可得,238,時(shí)域卷積,因此,交換積分次序，并利用時(shí)移特性，得,239,時(shí)域卷積,時(shí)域卷積定理表明，兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積，即在時(shí)域中兩函數(shù)的卷積對(duì)應(yīng)于頻域中兩函數(shù)頻譜的乘積。,240,2.4.12頻域卷積定理(convolutiontheoreminthefrequencydomain),若,則,證明：,又,241,頻域卷積,有,交換積分次序，得,242,頻域卷積,頻域卷積定理表明，兩時(shí)間函數(shù)乘積的頻譜等于各個(gè)函數(shù)頻譜的卷積乘以。即在時(shí)域中兩函數(shù)的乘積對(duì)應(yīng)于頻域中兩函數(shù)頻譜的卷積。,243,2.4.13帕斯維爾定理(TheParsevaltheorem),若,則,證明：,244,帕斯維爾定理,245,帕斯維爾定理,上式是非周期信號(hào)的能量等式。是帕斯維爾定理在非周期信號(hào)時(shí)的表示形式。所以信號(hào)的能量可以在時(shí)域中求得，也可在頻域中求得。因此：,稱為信號(hào)的能量譜。,246,25周期信號(hào)的傅里葉變換,247,周期信號(hào)的傅里葉變換,周期信號(hào)的頻譜可用傅里葉級(jí)數(shù)表示，而非周期信號(hào)的頻譜則用傅里葉變換表示?，F(xiàn)在，再來(lái)研究周期信號(hào)的頻譜可否使用傅里葉變換表示的問(wèn)題。其目的是力圖把周期信號(hào)與非周期信號(hào)的分析方法統(tǒng)一起來(lái)。使傅里葉變換這一工具得到更廣泛的應(yīng)用。,248,2.5.1正、余弦信號(hào)的傅里葉變換,在上節(jié)中，已經(jīng)求出了指數(shù)、正弦和余弦信號(hào)的傅里葉變換。即,249,正、余弦信號(hào)的傅里葉變換,由以上三式看出，指數(shù)、正弦和余弦信號(hào)的頻譜只包括位于處的沖激信號(hào)，它們的頻譜如圖,250,2.5.2一般周期信號(hào)的傅里葉變換,設(shè)周期信號(hào)的周期為，則角頻率，可以將展開(kāi)成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)：,將上式兩邊取傅里葉變換,251,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,將其代入上式，可求出周期信號(hào)的傅里葉變換,其中，是的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，它等于,252,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,上式表明周期信號(hào)的傅里葉變換是由一系列的沖激信號(hào)所組成。這些沖激位于信號(hào)的各次諧波頻率處(，每個(gè)沖激的強(qiáng)度等于的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的倍。,例2-11求圖所示的周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換。,253,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,解：由圖可看出的周期為，它的表示式為：,254,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,因?yàn)槭侵芷谛盘?hào)，所以可以把它展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù),其中,255,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,這樣，得到的傅里葉級(jí)數(shù)為,可見(jiàn)，在周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含位于的頻率分量。每個(gè)頻率分量的大小是相等的，均等于。,256,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,可求出的傅里葉變換,可見(jiàn)，在周期單位沖激序列的傅里葉變換中，同樣也只包含位于頻率處的沖激信號(hào)，其沖激強(qiáng)度是相等的，均等于。,257,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,258,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,同時(shí)可以看出，周期單位沖激序列的時(shí)域波形與頻譜有同樣的形狀。表明了周期信號(hào)的傅里葉變換與傅里葉級(jí)數(shù)(傅里葉系數(shù))之間的關(guān)系。,可以看出，周期單位沖激序列的時(shí)域波形與頻譜有同樣的形狀。,259,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,還可以推導(dǎo)出周期信號(hào)的傅里葉變換與對(duì)應(yīng)的單脈沖信號(hào)(即周期信號(hào)在原點(diǎn)附近的個(gè)主周期)的傅里葉變換之間的關(guān)系，現(xiàn)推導(dǎo)如下：,一般周期信號(hào)可以用周期單位沖激序列來(lái)表示，即,260,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,根據(jù)時(shí)域卷積定理可得,將其代入上式，即得周期信號(hào)的傅里葉變換,261,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,由此可見(jiàn)，將波形進(jìn)行以為周期的周期延拓，等效于在頻域?qū)ζ溥M(jìn)行為周期的等距離沖激采樣。,即時(shí)域的周期性對(duì)應(yīng)于頻域的采樣性，或者說(shuō)，時(shí)域的周期性對(duì)應(yīng)于頻域的離散性。,比較式(2.6-5)與式(2.6-10)應(yīng)有,262,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,上式表明:周期信號(hào)的傅里葉系數(shù)等于對(duì)應(yīng)的單脈沖的傅里葉變換在頻率點(diǎn)的值乘以。,263,一般周期信號(hào)的傅里葉變換,264,2.6時(shí)域采樣定理,265,2.6.1信號(hào)的采樣,前面研究的都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)。但在許多實(shí)際問(wèn)題中，常常需要將連續(xù)時(shí)間信號(hào)變成離散時(shí)間信號(hào)，這就要對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣(或稱采樣、采樣)。,離散信號(hào)可以通過(guò)對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣得到，從而可以用離散時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行處理。但是，這牽涉到兩個(gè)問(wèn)題