1 2016 年福建省高中數(shù)學(xué)競賽 暨 2016 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建省賽區(qū)）預(yù)賽試卷參考答案 （考試時間： 2016 年 5 月 22 日上午 9： 00 11： 30，滿分 160 分） 一、填空題（共 10 小題，每小題 6 分，滿分 60 分。請直接將答案寫在題中的橫線上） 1若函數(shù) ( ) 3 c o s ( ) s i n ( )63f x x x （ 0 ）的最小正周期為 ，則 ()， 上的最大值為 。 【答案】 23 【解答】 ( ) 3 c o s ( ) s i n ( ) 3 c o s ( ) s i n ( )6 3 6 6 2f x x x x x 3 c o s ( ) c o s ( ) 4 c o s ( )6 6 6x x x ，且 () 。 2 ， ( ) 4 c o s ( 2 )6f x x 。 又 02x ，時， 726 6 6x ， 266x ，即 0x 時， ()2，上取最大值 23。 2已知集合 2 3 2 0A x x x ， 13B x ， 若 ，則實數(shù) a 的取值范圍為 。 【答案】 1()2 ，【解答】 12A x x 。由 13 ，得 3103ax 。 0a 時， 3B x x。滿足 。 0a 時， 由 3103ax ，得 1(3 ) 03x ， 133B x x x a 或。滿足 。 0a 時， 由 3103ax ，得 1(3 ) 03x ， 133B x 。由滿足 ，得 131a， 1 02 a 。 2 綜合得， 12a。 a 的取值范圍為 1()2 ，。 3 函數(shù) 22( ) l n 2f x x x x 零點的個數(shù)為 。 【答案】 1 【解答】 ( ) 2 l n 2 ( 2 l n 3 )f x x x x x x x 。 320 時， ( ) 0 ； 32 時， ( ) 0 。 ()2(0 )e， 上為減函數(shù)，在區(qū)間 32()e ， 上為增函數(shù)。 又 320 時， 31l n 1 1 022x ， 2( ) ( l n 1 ) 2 0f x x x ； 3 32 3( ) ( 1 ) 2 02f e e ， 2( ) 2 2 0f e e 。 函數(shù) ()。 或： 作圖考 察函數(shù) 與22 1y x圖像交點的個數(shù)。 4 如圖， 在正方體1 1 1 1A B C D A B C D中，二面角1B A C D的 大小 為 。 【答案】 120 【解答】 設(shè)正方體棱長為 1。作1C于 E ，連結(jié) 由正方體的性質(zhì)知，11A D C A B C 。 1C， 為二面角1B A C D的平面角，且 23B E D E， 2。 22 2133c o 。 二面角1B A C D的 大小為 120 。 或： 設(shè) 于點 O ， 由 60 ，得 120 。 C 1B 1D 1B 1D 1（第 4 題） 3 5 在 空 間 四 邊 形 ， 已知 2， 3， 4， 5，則D 。 【答案】 7 【解答】 以 基底向量。則 A D A B B C C D 2 2()A D A B B C C D u u ur u u u 即 2 2 2 2 2 2 2A D A B B C C D A B B C A B C D B C C D u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 2 5 4 9 1 6 2 ( )A B B C A B C D B C C D u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 2A B B C A B C D B C C D u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ( ) ( )A C B D A B B C B C C D u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 9 7A B B C A B C D B C C D B C B C u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 6已知直線 l 過橢圓 C ： 2 2 12x y的左焦點 F 且交橢圓 C 于 A 、 B 兩點。 O 為坐標(biāo)原點，若 B ，則點 O 到直線 距離為 。 【答案】 63【解答】 ( 1 0)F， 。顯然 x 軸不符合要求。設(shè)直線 程為 1x 。 由 22112x y ，得 22( 2 ) 2 1 0t y 的判別式大于 0。設(shè)11()A x y，22()B x y，則12 2 2 2t，12 2 12yy t 。 由 B ，得 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22( 1 ) 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 1 022x y y t y t y y y t y y t y y 。 2 2 2( 1 ) 2 2 0t t t ， 2 12t 。 點 O 到直線 距離為21 1 6311 12t 。 B 7 已知 ，若關(guān)于 x 的方程 2 3204x zx i （ i 為虛數(shù)單位） 有 實數(shù)根，則復(fù)數(shù) z 的模 z 的最小值為 。 【答案】 1 【解答】 設(shè) z a （ a ， ），0方程 2 3204x zx i 的一個實數(shù)根。 則 200 32 ( ) 04x a b i x i 。 200032042 1 0x a 。 由得，0 12x b，代入，得21 1 3204 2 4 ， 23 4 1 0b ， 2314ba b 。 22 2 2 2 2 223 1 2 5 1 3 5 3( ) 14 1 6 1 6 8 8 8bz a b b ，當(dāng)且僅當(dāng) 55b 時等號成立。 z 的最小值為 1。 （ 255a， 55b或 255a ， 55b，即 2 5 5()55 ）。 8將 16 本相同的書 全部 分給 4 個班級，每個班級至少有一本書，且各班所得書的數(shù)量互不相同，則不同的分配方法種數(shù)為 。（用數(shù)字作答） 【答案 】 216 【解答】 將 16 分解成 4 個互不相同的正整數(shù)的和有 9 種不同的方式 ： 1 6 1 2 3 1 0 ， 1 6 1 2 4 9 ， 1 6 1 2 5 8 ， 1 6 1 2 6 7 ， 1 6 1 3 4 8 ，1 6 1 3 5 7 ， 1 6 1 4 5 6 ， 1 6 2 3 4 7 ， 1 6 2 3 5 6 。 符合條件的不同分配方法有 449 216A 種。 5 9 () 的函數(shù)，若 (0) 1008f ，且對任意 ，滿足 ( 4 ) ( ) 2 ( 1 )f x f x x ，( 1 2 ) ( ) 6 ( 5 )f x f x x ，則 (2016)2016f 。 【答案】 504 【解答】 對任意 ， ( 4 ) ( ) 2 ( 1 )f x f x x ， ( 1 2 ) ( ) ( 1 2 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 4 ) ( 4 ) ( )f x f x f x f x f x f x f x f x 2 ( 8 ) 1 2 ( 4 ) 1 2 ( 1 ) 6 3 0 6 ( 5 )x x x x x 又 ( 1 2 ) ( ) 6 ( 5 )f x f x x ， ( 1 2 ) ( ) 6 ( 5 )f x f x x 。 ( 2 0 1 6 ) ( 2 0 1 6 ) ( 2 0 0 4 ) ( 2 0 0 4 ) ( 1 9 9 2 ) ( 1 2 ) ( 0 ) ( 0 )f f f f f f f f L ( 2 0 0 9 5 ) 1 6 86 2 0 0 9 6 1 9 9 7 6 5 1 0 0 8 6 1 0 0 8 1 0 0 8 1 0 0 82 L。 ( 2 0 1 6 ) 1 0 0 8 5042 0 1 6 2f 。 10當(dāng) x ， y ， z 為正數(shù)時，2 2 24xz y z的最大值為 。 【答案】 172【解答】 221 6 1 621 7 1 7x z x z，當(dāng)且僅當(dāng) 417等號成立， 221121 7 1 7y z y z ，當(dāng)且僅當(dāng) 117等號成立。 2 2 2 2 2 2 21 6 1 1 6 1 2( ) ( ) 2 2 ( 4 )1 7 1 6 1 7 1 7 17x y z x z y z x z y z x z y z 。 2 2 24 1 72x z y zx y z ，當(dāng)且僅當(dāng) 417 117即 4 1 1 7x y z ： ： ： ： 時等號成立。 2 2 24xz y z的最大值為 172 。 注： 本題利用待定系數(shù)法。將 2z 拆成兩項 2z 和 2(1 )z 。由 222x z ，22(1 ) 2 1y z y z ，以及 24121 ，得 1617。由此得到本題的解法。 6 二、解答題（共 5 小題，每小題 20 分，滿分 100 分。要求寫出解題過程） 11已知數(shù)列 n 項和 22（ *）。 （ 1）求 （ 2）設(shè) 11( 1 )n nb a n n ， n 項和， 求 正整數(shù) k ，使得對任 意 *均有 （ 3）設(shè) 11(1 )(1 ) ， 數(shù)列 前 n 項和 ， 若對 任意 *均有 成立，求 的最小值。 【解答】 （ 1）由 22，得1122。兩式相減，得1122n n na a a。 1 2，數(shù)列 比 2q 。 由又1122，得1122，1 2a。 2 5 分 （ 2） 1 1 1 ( 1 ) 12 ( 1 ) ( 1 ) 2n nn n n n n 。 由計算可知，1 0b，2 0b ，3 0b，4 0b 。 當(dāng) 5n 時，由11( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 02 2 2n n nn n n n n n ， 得當(dāng) 5n 時，數(shù)列 ( 1)2為遞減數(shù)列。于是， 5n 時，5( 1 ) 5 ( 5 1 ) 122 。 5n 時， 1 ( 1 ) 10( 1 ) 2n 。 因此，1 2 3 4T T T T ，4 5 6T T T L。 對任意 *均有4 故 4k 。 10 分 （ 3） 111112 1 12 ( )( 1 ) ( 1 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) 2 1 2 1n n n 15 分 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 2 22 ( ) ( ) ( ) 2 ( )3 5 5 9 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1n n n n L。 對 任意 *均有成立， 23。 的最小值為 23。 20 分 7 12已知 2( ) l n ( )f x a x b x （ 0a ）。 （ 1）若曲線 ()y f x 在點 (1 (1)f， 處的切線方程為 ，求 a ， b 的值； （ 2）若 2()f x x x恒成立，求 最大值。 【解答】 （ 1） ( ) 2af x xa x b 。 依題意，有 (1 ) 2 1(1 ) l n ( ) 1 1a b 。解得， 1a ， 2b 。 1a ， 2b 。 5 分 （ 2）設(shè) 2( ) ( ) ( )g x f x x x ，則 ( ) l n ( )g x a x b x ， ( ) 0。 0a 時， () ， 取0n ( ) 1ba x b a ，得 10b 。 則0 0 0 0( ) l n ( ) l n ( ) ( ) ( 1 ) 1 0b b bg x a x b x a x b a a a 與 ( ) 0矛盾。 0a 時， ( ) 0不恒成立，即 0a 不符合要求。 10 分 0a 時， ()( ) 1 x b a x b （ 0ax b ）。 當(dāng) b a 時， ( ) 0 ；當(dāng) 時， ( ) 0 。 ()b a ，上為增函數(shù)，在區(qū)間 ()，上為減函數(shù)。 ()，上有最大值，最大值為 () 由 ( ) 0，得 ( ) l n 0a b a 。 a a a 。 15 分 22a a a 。 設(shè) 22( ) l nh a a a a ，則 ( ) 2 ( 2 l n ) ( 1 2 l n )h a a a a a a a 。 0 時， ( ) 0 ； 時， ( ) 0 。 ()區(qū)間 (0 )e， 上為增函數(shù)，在區(qū)間 ()e ， 上為減函數(shù)。 8 () 最大值 為 ()22e e 。 當(dāng) ，2， 最大值為2e。 綜合，得， 最大值為2e。 20 分 9 13如圖， O 為 的外接圓， O 的切線，且 D ， E 是直線 的另一交點。點 F 在 O 上，且 C ， G 是 延長線與切線 交點。求證：D 。 【解答】 在 和 中，由 O 的切線知， C A 。又 D 。 A D B C A B 。 5 分 A 、 B 、 E 、 C 四點共圓， 180C A B C E B 。 180A D E D E C 。 A 。 10 分 又 C ， F 。 由 O 的兩條平行弦知 B 。 E ， B 。 15 分 又 2G A G F G C， 2D A D B D E。 22A ， D 。 20 分 13題） 10 14 如圖，1F、2 ： 2 2 14x y的 左、右焦點 ， 動點00()P x y，（0 1y ） 在 雙曲線 C 上 的 右支上 。 設(shè)12角平分線交 x 軸 于點 ( 0)，交 y 軸于點 N 。 （ 1） 求 m 的取值范圍； （ 2） 設(shè) 過1F， N 的直線 l 交雙曲線 C 于點 D ， 求2積的最 大 值。 【解答】 （ 1） 依題意 ，1( 5 0)F ，2( 5 0)F ，。 直線1 5 )5；直線2 5 )5。 即直線1 0( 5 ) 5 0y x x y y ； 直線2 0( 5 ) 5 0y x x y y 。 由點 ( 0)在12平分線上，得 0 0 0 02 2 2 20 0 0 055( 5 ) ( 5 )y m y y m yy x y x 。 由 55m ，0 1y ， 以及 22001 14， 得0 22x 。 2 2 2 20 0 0 0 055( 5 ) 2 5 4 ( 2 )42y x x x x ， 2 2 20 0 05( 5 ) ( 2 )2y x x 。 0055552222。04m x 。 5 分 結(jié)合0 22x ， 得0402x 。 m 的取值范圍為 02， 。 10 分 （ 2） 由（ 1）知，直線 程為00000 4()4。 令 0x ，得02004 14yy 。故，點 N 坐標(biāo)為01(0 )y， 。 0010 ( )15 0 5 。 （第 14題） 11 直線 l 方程為01 ( 5 )5 。 由 0221 ( 5 )514y ， 消 x 得 2200( 5 4 ) 1 0 1 0y y y y 的判別式 2 2 20 0 01 0 0 4 ( 5 4 ) 8 0 1 6 0y y y 。 設(shè)11()D x y，22()E x y，則012 201054y ，12 20154yy y 。 15 分 2022 01 2 1 2 1 2 22 200 04 5 110 1( ) 4 ( ) 45 4 5 4 54y y y y y 。 由0 1y ，得012 2010 054y ，12 201 054yy y 。 1 0y，2 0y ， 2201 2 1 2 204 5 111 252 2 5 4F D F y 。 設(shè) 2054，則 1t ， 2225 5 1 1 1 14 5 4 5 4 5 5 ( )1 0 2 0F D E tS t t t t 。 1t ，即點 P 為 (2 2 1)P ， 時，2積取最大值 4 30 。 2積 的 最大值為 4 30 。 20 分 12 15 求滿足下列條件的最小正整數(shù) n ：若將集合 1 2 3L， ， ， ，任意 劃分為 63 個兩兩不相交的子集（它們 非空且 并集為集合