高二數(shù)學(xué)橢圓知識(shí)小節(jié)一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 橢圓知識(shí)小節(jié)知識(shí)點(diǎn) 3. 標(biāo)準(zhǔn)方程： 4. 幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、焦半徑、長半軸、短半軸 5. 直線與橢圓的關(guān)系（判斷及相關(guān)問題（點(diǎn)差法） 6. 有關(guān)存在性及對(duì)稱性問題【典型例題】 例1. 的最大值和最小值。 解： 小結(jié)：利用橢圓的參數(shù)方程，把z4x5y6轉(zhuǎn)化成的三角函數(shù)是解決本例的關(guān)鍵。 例2. 已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為兩焦點(diǎn)，且PF1PF2，若P點(diǎn)到兩準(zhǔn)線的距離分別為6和12，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解：如圖所示 小結(jié)： 例3. （1）求橢圓的方程； 解： 又橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上 小結(jié)： 例4. 解： 小結(jié)：利用橢圓的第二定義可把橢圓上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）為自變量的一次函數(shù)的函數(shù)值。本例的解法把的余弦表示為x的函數(shù)，根據(jù)x的范圍求得了的最大值。例題的結(jié)論說明了橢圓的短軸端點(diǎn)對(duì)兩焦點(diǎn)的張角最大。 例5. 大值。 解法1： 解法2：域相當(dāng)于可行域。 例6. （1993年全國（理）高考試題） 以M、N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程。 分析： 解：建立直角坐標(biāo)系如圖所示，以MN所在的直線為x軸，線段MN的垂直平分線為 小結(jié)：此題全面考查了解析幾何的基本思想，從坐標(biāo)系的建立，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，直線的斜率到兩點(diǎn)間的距離公式，到橢圓定義的應(yīng)用，抓住了雙基，難度適中，是一道具有代表性的圓錐曲線題。 例7. 解： 代入橢圓方程，整理得： 小結(jié)： 例8. 解： 【模擬試題】 1. 1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國）發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星。衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，若近地點(diǎn)m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)n千米，地球的半徑為R千米，則通信衛(wèi)星運(yùn)行軌道的短軸長等于（ ） A. B. C. 2mnD. mn 2. 若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為，則其離心率為（ ） A. B. C. D. （20017全國高考題） 3. 已知橢圓上一點(diǎn)P，該橢圓兩焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ） A. B. C. D. 4. 橢圓的兩焦點(diǎn)為，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為（ ） A. B.C. D. 5. 橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_。（20007全國高考試題） 6. P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，Q、R分別在兩圓：和上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_，最小值為_。 7. 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x上的橢圓與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，是左焦點(diǎn)且到直線AB的距離，求此橢圓的離心率。 8. M為橢圓上任意一點(diǎn)（非短軸端點(diǎn)），若M與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)B、B的連線分別交x軸于P、Q。求證：為定值。 9. 過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，如果A，B兩點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離的和為7，求直線的方程。 10. 已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程。參考答案 1. A 2. A 3. B 4. D 5. 6. 6；2 7. 解：設(shè)橢圓方程為，則 直線 由此得 8. 證明：由題意， 設(shè) 直線BM方程為 令，得 同理可得： （定值） 9. 解：顯然垂直于x軸時(shí)，不符合題意。 故設(shè)： 由得： ，即 又因右準(zhǔn)線方程為 解得： 故： 10. 解：設(shè) 橢圓： 右焦點(diǎn)為F（2，0），A（0，4）或A（0，-4） （1）A（0，4）時(shí)，由