第 1頁(yè)（共 23頁(yè)） 第四章 圖形的相似 一、選擇題： 1如圖，在平行四邊形 ， ， S 2 S ） A 12 24 36 48如圖， 2， 5， 取一點(diǎn) E，使以 A、 D、 于（ ） A B 10 C 或 10 D以上答案都不對(duì) 3（ 3分）在直角三角形中，兩直角邊分別為 3和 4，則這個(gè)三角形的斜邊與斜邊上的高的比為（ ） A B C D 4點(diǎn) B 邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 與直線 截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有（ ） A 2條 B 3條 C 4條 D 5條 5如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為 1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與 ） A B C D 6正方形 C、 ， ，若 2，則 ） A 8 B 6 C 4 D 3 第 2頁(yè)（共 23頁(yè)） 7已知正方形 C 邊上的一點(diǎn)，下列條件中不能推出 ） A 0 C D ： 3 8如圖， 矩形 ， D 的中點(diǎn)，下列式子成立的是（ ） A （ 3分）如圖，正方形 ， 接 圖中陰影部分的面積為（ ） A B C D 10在坐標(biāo)系中，已知 A（ 3， 0）， B（ 0， 4）， C（ 0， 1），過(guò)點(diǎn) 交 ，使得以點(diǎn) D， C， 樣的直線一共可以作出 （ ） A 6條 B 3條 C 4條 D 5條 二、填空題： 11如圖，把一個(gè)矩形紙片 F 對(duì)折，要使矩形 原矩形相似，則原矩形長(zhǎng)與寬的比為 第 3頁(yè)（共 23頁(yè)） 12已知： = = = ， 2b+3d 5f=9，則 2a+3c 5e= 13如圖，在 C=90 ， M， 5四邊形 14如圖，在正方形 ： 1， ，則 15如圖，已知梯形 已知點(diǎn) ， ，若 ，那么四邊形 16如圖，在平行四邊形 M、 B 的三等分點(diǎn)， 別交 P、 Q： 第 4頁(yè)（共 23頁(yè)） 三、解答題：（共 36分） 17已知：平行四邊形 A 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， D、 、 F 求證： F 18（ 8 分）已知：如圖 B=C，求證： 19以長(zhǎng)為 2的線段 中點(diǎn) P，連接 延長(zhǎng)線上取點(diǎn) F，使D，以 （ 1）求 （ 2）求證： D （ 3）根據(jù)（ 2）的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？ 20已知：如圖 ， t ，求證： B 21已知，如圖，在 0 ， 分 ，過(guò)點(diǎn) E 足為 E， ，過(guò)點(diǎn) G ， D=16， （ 1）求 （ 2）求 第 5頁(yè)（共 23頁(yè)） 第 6頁(yè)（共 23頁(yè)） 第四章 圖形的相似 參考答案與試題解析 一、選擇題： 1如圖，在平行四邊形 ， ， S 2 S ） A 12 24 36 48考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì) 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出 C=2B， 出 出 = = ， =（ ） 2= ， = = ，求出 面積是 48 面積是 24出 【解答】解： 四邊形 C=2B， = = = ， =（ ） 2=（ ） 2= ， = = ， S 2 8 4 面積是 72 B， S 726 第 7頁(yè)（共 23頁(yè)） 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出 2如圖， 2， 5， 取一點(diǎn) E，使以 A、 D、 于（ ） A B 10 C 或 10 D以上答案都不對(duì) 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì) 【專題】分類討論 【分析】 存在兩種情況，即 可能是 分類討論，求解 【解答】解：如圖 （ 1）當(dāng) 0 （ 2）當(dāng) ，即 綜合（ 1），（ 2），故選 C 第 8頁(yè)（共 23頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】會(huì)利用相似三角形求解一些簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題 3（ 3分）在直角三角形中，兩直角邊分別為 3和 4，則這個(gè)三角形的斜邊 與斜邊上的高的比為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】勾股定理 【分析】本題主要利用勾股定理和面積法求高即可 【解答】解： 在直角三角形中，兩直角邊分別為 3 和 4， 斜邊為 5， 斜邊上的高為 = （由直角三角形的面積可求得） 這個(gè)三角形的斜邊與斜邊上的高的比為 5： = 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理和利用面積法求高，此題考查了學(xué)生對(duì)直角三角形的掌握程度 4點(diǎn) B 邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 與直線 截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有（ ） A 2條 B 3條 C 4條 D 5條 【考點(diǎn)】相 似三角形的判定 【專題】常規(guī)題型；壓軸題 【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定作輔助線即可求得這樣的直線有幾條 【解答】解：（ 1）作 C A= A 2）作 3）作 C 第 9頁(yè)（共 23頁(yè)） B= B 4）作 以共 4 條 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定的運(yùn)用 5如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為 1，則下列圖中的三角形（陰 影部分）與 ） A B C D 【考點(diǎn)】相似三角形的判定 【專題】網(wǎng)格型 【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出 長(zhǎng)，求出三邊之比，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可 【解答】解：根據(jù) 題意得： = ， ， ， ： 2： =1： ： ， A、三邊之比為 1： ： 2 ，圖中的三角形（陰影部分）與 B、三邊之比為 ： ： 3，圖中的三角形（陰影部分）與 C、三邊之比為 1： ： ，圖中的三角形（陰影部分）與 D、三邊之比為 2： ： ，圖中的三角形（陰影部分）與 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵 第 10頁(yè)（共 23頁(yè)） 6正方形 C、 ， ，若 2，則 ） A 8 B 6 C 4 D 3 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì) 【專題】壓軸題；探究型 【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，因?yàn)樗倪呅?C 中點(diǎn)，所以 相似三角形的判定定理得出 根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出 = = ，再根據(jù)E 【解答】解：如圖所示： 四邊形 C 中點(diǎn)， = = ， = ，即 = ， 解得 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，先根據(jù)題意判斷出 根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵 7已知正方形 C 邊上的一點(diǎn)，下列條件中不能推出 ） 第 11頁(yè)（共 23頁(yè)） A 0 C D ： 3 【考點(diǎn)】相似三角形的判定；正方形的性質(zhì) 【專題】壓軸題 【分析】利用兩三角形相似的判定定理，做題即可 【解答】解：利用三角形相似的判定方法逐一進(jìn)行判斷 A、 可用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行判斷只有 是 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】考查相似三角形的判定定理： （ 1）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 （ 2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似 （ 3）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似 （ 4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一 個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似 8如圖，矩形 ， D 的中點(diǎn)，下列式子成立的是（ ） A 考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；射影定理 【分析】此題即是探求 用 【解答】解：根據(jù)射影定理可得 F E： ： 2 第 12頁(yè)（共 23頁(yè)） F 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了射影定理及三角形的相似的性質(zhì) 9（ 3分）如圖，正方形 積為 1， 接 圖中陰影部分的面積為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì) 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到 據(jù)相似三角形的邊對(duì)應(yīng)邊成比 例，求得 而即可求得陰影部分的面積 【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn) E 作 H： ： 2， D=1 ， 陰影部分的面積 =S 正 S S S = 故選 B 第 13頁(yè)（共 23頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，找出各線段之間的比例關(guān)系是本題解題的關(guān)鍵 10在坐標(biāo)系中，已知 A（ 3， 0）， B（ 0， 4）， C（ 0， 1），過(guò)點(diǎn) 交 ，使得以點(diǎn) D， C， 樣的直線一共可以作出（ ） A 6條 B 3條 C 4條 D 5條 【考點(diǎn)】相似三角形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì) 【專題】常規(guī)題型；分類討論 【分析】 作的以點(diǎn) D， C， 0 度， D 可能是對(duì)應(yīng)邊，這樣就可以求出 所求的長(zhǎng)度為半徑作圓，圓與 而這樣的直線就是兩條同理，當(dāng) 有兩條滿足條件的直線，共有四條 【解答】解：以點(diǎn) D， C， O 為頂點(diǎn)的三角形中 0 度， 當(dāng) 與 因而這樣的直線就是兩條 同理，當(dāng) 有兩條滿足條件的直線， 所以共有四條 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的相似，注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵 二、填空題： 11如圖，把一個(gè)矩形紙片 F 對(duì)折，要使矩形 原矩形相似，則原矩形長(zhǎng)與寬的比為 【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì) 【分析】根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等，設(shè)出原來(lái)矩形的長(zhǎng)與寬，就可得到一個(gè)方程，解方程即可求得 第 14頁(yè)（共 23頁(yè)） 【解答】解：根據(jù)條件可知：矩形 矩形 = 設(shè) AD=x， AB=y，則 x則 = ，即： x2= =2 x： y= ： 1 即原矩形長(zhǎng)與寬的比為 ： 1 故答案為： ： 1 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，正確分清對(duì)應(yīng)邊，以及正確解方程是解決本題的關(guān)鍵 12已知： = = = ， 2b+3d 5f=9，則 2a+3c 5e= 【考點(diǎn)】比例的性質(zhì) 【分析】根據(jù)等比性質(zhì)解答即可 【解答】解： = = = ， = ， 2b+3d 5f=9， 2a+3c 5e= 9=6 故答案為： 6 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟記并理解等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 13如圖，在 C=90 ， M， 5四邊形 第 15頁(yè)（共 23頁(yè)） 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】由 出 = = ，由 ： 5，設(shè) k， k，則 k，由 5，推出 k=5， 0， 5，根據(jù)四邊形 S S 【解答】解： C=90 ， A= A， = = ， ： 5，設(shè) k， k，則 k， 5， 3k=15， k=5， 0， 5， ， ， 四邊形 S S 20 15 8 6=126 故答案為 126 【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型 14如圖，在正方形 ： 1， ，則 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì) 第 16頁(yè)（共 23頁(yè)） 【專題】壓軸題 【分析】根據(jù)題意 ，先設(shè) CE=x， S a，再求出 S 用四部分的面積和等于正方形的面積，得到 x與 么兩部分的面積比就可以求出來(lái) 【解答】解：設(shè) CE=x， S a， CE=x， ： 1， x， C=D=3x； 又 S S = = ，那么 S a S S 四邊形 正方形 S S a=9 3x2x ， 化簡(jiǎn)可求出 ； S S 四邊形 ： = ： =9： 11，故答案為 9： 11 【點(diǎn)評(píng)】此題運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì)，還用到了相似三角形的面積比等于相似比的平方 15如圖，已知梯形 知點(diǎn) ， ，若 ，那么四邊形 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；梯形 【分析】先求出 后找出 S S ，再求出 S S = ， S ，最后用面積差即可 【解答】解： ， ， ， 第 17頁(yè)（共 23頁(yè)） ， D， D， = ， S S ， ， S S ， G， S S = ， S ， S S 3 = 【點(diǎn)評(píng)】此題是相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查了相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平分，等底的兩三角形面積的比等于高的比，解本題的關(guān)鍵是求出 第 18頁(yè)（共 23頁(yè)） 16如圖，在平行四邊形 M、 B 的三等分點(diǎn)， 別交 P、 Q： 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì) 【分析】根據(jù)題意，可得出 分別得到 而求出 【解答】解：由已知得： P： P：（ C） = ，即： 3Q+ Q： Q）： ，即 2（ Q）， 解 、 得： Q C ： 3： 12 【點(diǎn)評(píng)】主要考查了三角形相似的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，要熟練掌握靈活運(yùn)用 三、解答題：（共 36分） 17已知： 平行四邊形 A 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， D、 、 F 求證： F 【考點(diǎn)】平行線分線段成比例；平行四邊形的性質(zhì) 【專題】證明題 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得 根據(jù)平行線分線段成比例定理得 = ， = ，利用等量代換得到 = ，然后根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論 【解答】證明： 四邊形 第 19頁(yè)（共 23頁(yè)） = ， = ， = ， 即 F 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例也考查了平行四邊形的性質(zhì) 18（ 8 分）已知：如圖 B=C，求證： 【考點(diǎn)】相似三角形的判定 【專題】證明題 【分析】利用兩邊對(duì)應(yīng)比值相等，且?jiàn)A角相等的兩 三角形相似，進(jìn)而得出即可 【解答】證明： B=C， = ， 又 A= A， 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵 19以長(zhǎng)為 2的線段 中點(diǎn) P，連接 延長(zhǎng)線上取點(diǎn) F，使D，以 （ 1）求 （ 2）求證： D （ 3）根據(jù)（ 2）的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？ 第 20頁(yè)（共 23頁(yè)） 【考點(diǎn)】黃金分割；勾股定理；正方形的性質(zhì) 【分析】（ 1）由勾股定理求 據(jù) F=D D 解； （ 2）由（ 1）計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行證明； （ 3）根據(jù)（ 2）的結(jié)論得： = ，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn) 【解答】（ 1）解：在 ， ， = ， F=D 1， D （ 1） =3 ； （ 2）證明： 1） 2=6 2 ， M=2（ 3 ） =6 2 ， D （ 3）點(diǎn) 由如下： D = ， 點(diǎn) D 的黃金分割點(diǎn) 【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念先求得線段 后求得