-專業(yè)文檔，值得下載!-專業(yè)文檔，值得珍藏！-壓電層合圓板駐波振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)分析王蘊(yùn)（白城師范學(xué)院機(jī)械電子工程系，吉林白城137000）摘要：考慮壓電材料二次非線性本構(gòu)關(guān)系，應(yīng)用廣義Hamilton原理和Rayleigh-Ritz假設(shè)模態(tài)方法建立了表面粘帖壓電陶瓷片薄圓板的非線性動(dòng)力學(xué)模型，使用多尺度法計(jì)算壓電層合板駐波振動(dòng)的二階主共振響應(yīng)，給出解的特性與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系。結(jié)果表明，駐波振動(dòng)的二次近似解包含二次超諧成分和由于二次非線性引起的直流分量；當(dāng)激勵(lì)頻率變化時(shí)，二階主共振響應(yīng)存在多解和跳躍現(xiàn)象，主共振解的真正實(shí)現(xiàn)取決于其初始條件。數(shù)值積分的結(jié)果驗(yàn)證了解析解的正確性。關(guān)鍵詞：壓電材料，非線性，二次非線性本構(gòu)關(guān)系，主共振，穩(wěn)定性中圖分類號(hào)：O322TM331文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ANonlinearDynamicAnalysisofPiezoelectricLaminatedDiskforStandingWaveVibrationWANGYun（DepartmentofMechanical&ElectricalEngineering,BaiChengNormalCollege,BaiCheng,JiLin137000China）Abstract:Consideringthequadraticstiffnessinnonlinearconstitutiverelationsofpiezoelectricmaterials,anonlineardynamicmodeloflaminateddiskaffixedwithpiezoelectricmaterialsisestablishedusingHamiltonsprincipleandtheRayleigh-Ritzmethod.Applyingthemethodofmultiplescales,thesecond-orderapproximationoftheprimaryresonanceforstandingwavevibrationofthelaminateddiskisinvestigated.Theresultsshowthatthesecond-orderprimaryresonanceincludesnotonlythequadraticharmonicbutalsothedirectcurrentcomponents.Thesecond-orderapproximationcanbesingleormultiplewhentheexcitationfrequencychanges,therealizationofprimaryresonanceliesonthestabilityconditionsandinitialconditions.Theresultsgivetherelationbetweentheresponsesandsystemparameters.Numericalanalysisverifiesthefeasibilityoftheanalyticalanalysis.Keywords:piezoelectricmaterials；nonlinear；quadraticnonlinearconstitutiverelation；primaryresonance；stability引言大量實(shí)驗(yàn)證明，壓電材料在強(qiáng)電場(chǎng)作用或高應(yīng)變狀態(tài)下表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性特性，這些非線性特性對(duì)作動(dòng)器或傳感器的輸出特性、定位和控制具有不可忽略的影響。一些學(xué)者在壓電材料非線性本構(gòu)關(guān)系及非線性特性的研究方面取得一定進(jìn)展。GuyomaD考慮電致伸縮和電致彈性效應(yīng)，通過理論分析和實(shí)驗(yàn)觀察，研究了Langevin振子中的滯后、共振頻率漂移及飽和現(xiàn)象1；JiangW應(yīng)用諧波平衡法和實(shí)驗(yàn)方法研究了壓電共振器中的二次諧波響應(yīng)2；HomCL應(yīng)用提出的電致伸縮模型3，研究了PMN-PT桿的高次諧波響應(yīng)4；YaoLQ5應(yīng)用漸近理論研究了雙晶片和單晶片層合懸臂梁的共振頻率漂移和機(jī)械品質(zhì)系數(shù)損失特性，但共振線-專業(yè)文檔，值得下載!-專業(yè)文檔，值得珍藏！-中未表現(xiàn)出明顯的振幅跳躍。近年來，已有學(xué)者在考慮壓電材料非線性本構(gòu)關(guān)系的壓電層合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模和機(jī)理分析方面進(jìn)行了有益的探索。WoodRJ6建立的變截面壓電懸臂梁的等效集中質(zhì)量模型，應(yīng)用數(shù)值模擬的方法研究了共振響應(yīng)和機(jī)械品質(zhì)系數(shù)的變化規(guī)律；LiXH7應(yīng)用多尺度法研究了矩形壓電薄板的主共振及參數(shù)共振響應(yīng)，響應(yīng)中存在基頻和倍頻成分，但未給出多解、振幅跳躍和滯后等現(xiàn)象；姚林泉8考慮電致彈性和電致伸縮效應(yīng)，研究了矩形壓電層合板的靜態(tài)問題。上述研究成果更多基于實(shí)驗(yàn)分析得出的結(jié)論，尚缺乏基于壓電材料非線性本構(gòu)關(guān)系系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模和機(jī)理分析方法。本文考慮壓電材料二次非線性本構(gòu)關(guān)系，應(yīng)用廣義Hamilton原理和Rayleigh-Ritz假設(shè)模態(tài)方法建立了表面粘帖壓電陶瓷片薄圓板的非線性動(dòng)力學(xué)模型，使用多尺度法9計(jì)算壓電層合板駐波振動(dòng)的二階主共振響應(yīng)，給出解的特性與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系，揭示壓電材料非線性對(duì)層合圓板主共振響應(yīng)的影響，數(shù)值積分驗(yàn)證解析解的正確性。本文結(jié)果為大功率條件下壓電智能結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。1非線性動(dòng)力學(xué)建模圖1給出壓電層合圓板結(jié)構(gòu)示意圖。圖中選取具有4個(gè)波長(zhǎng)的模態(tài)為工作模態(tài)。（a）壓電層合板示意圖（b）壓電陶瓷片的布局和極化方向圖1壓電層合板結(jié)構(gòu)和壓電陶瓷片極化方向Fig.1StructureandpolingdirectionofLaminateddisk1.1材料的本構(gòu)關(guān)系在彈性體內(nèi)，應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系如下：ScTs(1)其中，T是應(yīng)力向量，S是應(yīng)變向量。考慮板只受面內(nèi)應(yīng)力，柱坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變向量T、S都只有三個(gè)元素：rrSSS621S，rrTTT621T(2)cs為彈性剛度矩陣，表示為s66s22s12s12s11s0000cccccc(3)考慮壓電材料的非線性性質(zhì)，壓電陶瓷片的本構(gòu)關(guān)系由壓電矩陣、介電矩陣與機(jī)械剛度矩陣共同構(gòu)成10：2EE2TTT2121ESESCSeEScTvESESSSeEDS(4)其中，上標(biāo)T代表轉(zhuǎn)置，電場(chǎng)E與電位移D都只有一個(gè)元素：3EE，3DD(5)其中，S為93的矩陣，表示為TdiagSS(6)Ec為平面剛度系數(shù)矩陣，e為壓電系數(shù)向量，S為介電系數(shù)向量，為電致彈性系數(shù)矩陣，為電致伸縮系數(shù)矩陣：E66E22E12E12E11E0000cccccc，03131Teee，32166221212110000，SS33，333vv(7)EC為39的二次剛度系數(shù)矩陣，令E66E11E12E12E11E0000iiiiiiCCCCCC（i=1,2,3），則TE3E2E1ECCCC(8)設(shè)壓電層合圓板中面的位移向量為：/4/23/4rz壓電陶瓷片彈性體-專業(yè)文檔，值得下載!-3tPrwvuw),(000000u(9)其中，位移模態(tài)坐標(biāo)tP為時(shí)間的函數(shù)，rw,為層合圓板的彎曲振型。應(yīng)變向量同樣可以以位移模態(tài)坐標(biāo)表示：tPrw),(00mechLS(10)式中，mechL是算子矩陣rzrrzrrrrzrrzrrrzr2222222mech2211110L(11)激勵(lì)信號(hào)為單相時(shí)，壓電陶瓷片內(nèi)的電勢(shì)形態(tài)為：tVzv),(12)式中，tV是電壓向量，),(zv為電勢(shì)分布函數(shù)，由陶瓷片的布局和電場(chǎng)施加方式?jīng)Q定。將電場(chǎng)向量按對(duì)應(yīng)得電場(chǎng)模態(tài)Nelec展開：tVzLtVNv),(elecelecE(13)elecL是在壓電陶瓷內(nèi)把每相電極上施加的電壓轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)的算子：pelec/1tL(14)式中，pt是壓電陶瓷片的厚度。1.2圓板的振動(dòng)方程壓電層合圓板非線性動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)必須使用適于機(jī)電耦合系統(tǒng)修正后的廣義Hamilton變分原理11，即0dd)(2121EtWtWUTtttt(15)在薄板假設(shè)下，電場(chǎng)只存在于垂直于板平面的方向，同時(shí)板只受面內(nèi)應(yīng)力。式（15）中并沒有包含阻尼耗散掉的能量，阻尼的影響將在以后補(bǔ)充進(jìn)去。系統(tǒng)的動(dòng)能T定義為psp0T0ps0T0sd21d21VVVVTuuuu(16)其中，是材料密度，V代表材料體積。0u是包含了r、z三個(gè)方向的三維速度向量，下標(biāo)“s”和“p”分別對(duì)應(yīng)彈性體和壓電陶瓷片。系統(tǒng)的勢(shì)能U定義為pspTsTd21d21VVVVUTSTS(17)壓電振子的電能WE定義為ppTEd21VVWDE(18)在不考慮摩擦界面力的情況下，作用在壓電陶瓷片上的電場(chǎng)力做功即是對(duì)應(yīng)內(nèi)部電荷所做功的負(fù)值12，其變分為)()(tVtqWWq，得到ttVtqtWttttqd)()(d2121(19)其中，SStqd)(，為壓電陶瓷表面的電荷密度向量，S為壓電陶瓷表面面積?？紤]式（9）、（10）、（12）和（13），將T、U、WE、W的變分表達(dá)式代入方程（15），對(duì)P(t)和V(t)進(jìn)行模態(tài)分離，并引入模態(tài)阻尼，得到如下兩個(gè)方程)()()()()(21tPFtVDtPDtPCtPMkkkkk0)()()(221tVFtVtPFkk(20)tVNtVtPFtPFtPDkkkk212211)()(2)(2)()()(tqtVNk(21)方程中各系數(shù)以附錄形式給出。2主共振響應(yīng)2.1主共振的二階近似解設(shè)外加激勵(lì)電壓tVtVcos)(0(22)將式（22）代入方程（20），有)(cos)()()(2tPFtEtPDtPCtPMkkkkk0coscos)(221tEttPEkk(23)其中01VDEkk，011VFEkk，022VFEkk(24)kC為模態(tài)阻尼系數(shù)，kE和2kE為外部激勵(lì)項(xiàng)系數(shù)，1kE為參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)系數(shù)，與壓電層合結(jié)構(gòu)和激勵(lì)有關(guān)。在進(jìn)行壓電層合圓板動(dòng)力學(xué)方程的主共振分析之前，定義無量綱時(shí)間13-專業(yè)文檔，值得下載!-4tMDkk(25)引入無量綱小量，考慮非線性剛度項(xiàng)為一階小量，阻尼項(xiàng)和激勵(lì)項(xiàng)為二階小量，則動(dòng)力學(xué)方程（23）表示為PPPffPPcoscos21222224cosf(26)其中，kkkDMC22，kkDF2，kkDEf2kkDEf211，kkDEf422，kkDM(27)且滿足如下條件：1O,1O,1O1O,1O,12122fff(28)其中為激勵(lì)頻率調(diào)諧參數(shù)。研究解的二次近似時(shí)要用三個(gè)時(shí)間尺度，故設(shè)2102221012100,；TTTPTTTPTTTPP(29)其中2,1,0rTrr。將式（29）代入式（26），考慮21，利用導(dǎo)算子表達(dá)式，比較同次冪后得到一組線性偏微分方程0D0020PP(30)2020101120DD2DPPPP(31)0210201102220DDD2DD2DPPPPP102002D2PPP200120coscosTTPfTTf(32)這里，221100D,D,DTTT。方程（30）的解為210212100,cos,TTTTTaTTTPccTTAT0j21e,(33)其中cc表示表達(dá)式前面各項(xiàng)的復(fù)共軛。將式（33）代入式（31）得ccAAAAPPTT00j222j11120eejD2D(34)由此得消除1P中永年項(xiàng)的條件0jD21A(35)得出0D1A或2TAA，因而（34）的解為00j22j2222101e31e312,TTAAAATTTP(36)將2100,TTTP和2101,TTTP代入（32），可得2220DPP02jj2222ee2310j2TTfAAAADNSTcc(37)其中，NST代表比例于0j3eT的那些項(xiàng)。由此得消除2P中永年項(xiàng)的條件0e2310j22j2222TfAAAAD(38)設(shè)2j22e21TTaTA(39)將式（39）代入（38），并引入2T，分離其實(shí)部和虛部得到cos2125Dsin2D32222faaafaa(40)相應(yīng)的二次近似解成為cos；aP222O22cos31121a(41)分析式（41）可以看出，式中包含二次超諧成分和由于二次非線性引起