2、6、廣義相對(duì)論初步狹義相對(duì)論在慣性系里研究物理規(guī)律，不能處理引力問題。1915年，愛因斯坦在數(shù)學(xué)家的協(xié)助下，把相對(duì)性原理從慣性系推廣到任意參照系，發(fā)表了廣義相對(duì)論。由于這個(gè)理論過于抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算過于復(fù)雜，這里只做個(gè)大概描述。261、非慣性系與慣性力牛頓運(yùn)動(dòng)定律在慣性系里才成立，在相對(duì)慣性系做加速運(yùn)動(dòng)的參照系（稱非慣性系）里，會(huì)出現(xiàn)什么情況呢例如，在一列以加速度1A做直線運(yùn)動(dòng)的車廂里，有一個(gè)質(zhì)量為M的小球，小球保持靜止?fàn)顟B(tài)，小球所受合外力為零，符合牛頓運(yùn)動(dòng)定律。相對(duì)于非慣性系的車廂來觀測(cè)，小球以加速度1A向后運(yùn)動(dòng)，而小球沒有受到其他物體力的作用，牛頓運(yùn)動(dòng)定律不再成立。不過，車廂里的人可以認(rèn)為小球受到一向后的力，把牛頓運(yùn)動(dòng)定律寫為1MAF慣。這樣的力不是其他物體的作用，而是由參照系是非慣性系所引起的，稱為慣性力。如果一非慣性系以加速度1A相對(duì)慣性系而運(yùn)動(dòng)，則在此非慣性里，任一質(zhì)量為M的物體受到一慣性力1M，把慣性力1計(jì)入在內(nèi)，在非慣性里也可以應(yīng)用牛頓定律。當(dāng)汽車拐彎做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于地面出現(xiàn)向心加速度1A，相對(duì)于車廂人感覺向外傾倒，常說受到了離心力，正確地說應(yīng)是慣性離心力，這就是非慣性系中出現(xiàn)的慣性力。262、慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，力一定時(shí)，物體的加速度與質(zhì)量成反比，牛頓定律中的質(zhì)量度量了物體的慣性，稱為慣性質(zhì)量，以慣M為符號(hào)，有AMF慣根據(jù)萬有引力定律，兩物體（質(zhì)點(diǎn)）間的引力和它們的質(zhì)量乘積成正比。萬有引力定律中的質(zhì)量，類似于庫侖定律中的電荷，稱為引力質(zhì)量，以引為符號(hào)。慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量是兩個(gè)不同的概念，沒有必然相等的邏輯關(guān)系，它們是否相等，應(yīng)由實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)。本世紀(jì)初，匈牙利物理學(xué)家厄缶應(yīng)用扭秤證明，只要單位選擇恰當(dāng)，慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等，實(shí)驗(yàn)精度達(dá)810。后來，人們又把兩者相等的實(shí)驗(yàn)精度提高到120。設(shè)一物體在地面上做自由落體運(yùn)動(dòng)，此物體的慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量分別為慣M和引，以引M代表地球的引力質(zhì)量，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有GMRMG慣引引2,式中G為萬有引力常量，R為地球半徑，G為物體下落的加速度。因?yàn)閼T引M，所以2/MG引，與物體的質(zhì)量無關(guān)。這就是伽利略自由落體實(shí)驗(yàn)的結(jié)論。既然慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等，就可以簡(jiǎn)單地應(yīng)用質(zhì)量一詞，并應(yīng)用相同的單位。質(zhì)量也度量了物質(zhì)的多少。263、廣義相對(duì)論的基本原理愛因斯坦提出廣義相對(duì)論，主要依據(jù)就是引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等的實(shí)驗(yàn)事實(shí)。既然引力質(zhì)量和慣性相等，就無法把加速坐標(biāo)系中的慣性力和引力區(qū)分開來。比如，在地面上，物體以289秒米G的加速度向下運(yùn)動(dòng)。這是地球引力作用的結(jié)果。設(shè)想在沒有引力的太空，一個(gè)飛船以2秒米A做直線運(yùn)動(dòng)（現(xiàn)在可以做到），宇航員感受到慣性力，力的方向與A的方向相反，這時(shí)他完全可以認(rèn)為是受到引力的作用。勻加速的參照系與均勻引力場(chǎng)等效，這是愛因斯坦提出的等效原理的特殊形式。因?yàn)橐|(zhì)量和慣性質(zhì)量相等，所以，在均勻引力場(chǎng)中，不同的物體以相同的加速度運(yùn)動(dòng)。這也是伽利略自由落體實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。它可一般敘述為在引力場(chǎng)中，如無其他力作用，任何質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律都相同。這是等效原理的另一種表述。由于等效原理，相對(duì)于做加速運(yùn)動(dòng)的參照系來觀測(cè)，任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律都是引力作用的結(jié)果，具有相同的規(guī)律形式。愛因斯坦進(jìn)一步假設(shè)，相對(duì)任何一種坐標(biāo)系，物理學(xué)的基本規(guī)律都具有相同的形式。這個(gè)原理表明，一切參照系都是平等的，所以又稱為廣義協(xié)變性原理。等效性原理和廣義協(xié)變性原理是廣義相對(duì)論的基本原理。264、廣義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證在廣義相對(duì)論的基本原理下，應(yīng)建立新的引力理論和運(yùn)動(dòng)定律，愛因斯坦完成了這個(gè)任務(wù)。這樣，牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律成為一定條件下廣義相對(duì)論的近似規(guī)律。根據(jù)廣義相對(duì)論得出的許多重要結(jié)論，有一些已得到實(shí)驗(yàn)證實(shí)。下面介紹幾例。1、日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)按照牛頓引力理論，水星繞日作橢圓運(yùn)動(dòng)，軌道不是嚴(yán)格封閉的，軌道離太陽最近的點(diǎn)（近日點(diǎn)）也在做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，稱為水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)，如圖261所示。理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的水星軌道長(zhǎng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速率有差異。牛頓的引力理論不能正確地給予解釋，而廣義相對(duì)論的計(jì)算結(jié)果與觀測(cè)值符合。愛因斯坦當(dāng)年給朋友寫信說“方程給出了進(jìn)動(dòng)的正確數(shù)字，你可以想象我有多高興，有好些天，我高興得不知怎樣才好?！眻D261水星2、光線的引力偏折在沒有引力存在的空間，光沿直線行進(jìn)。在引力作用下，光線不再沿直線傳播。比如，星光經(jīng)過太陽附近時(shí)，光線向太陽一側(cè)偏折，如圖262所示。這已在幾次日蝕測(cè)量中得到了證實(shí)，證明廣義相對(duì)論的計(jì)算偏折角與觀測(cè)值相符合。3、光譜線的引力紅移按照廣義相對(duì)論，在引力場(chǎng)強(qiáng)的地方，鐘走得慢，在引力場(chǎng)弱的地方，鐘走得快。原子發(fā)光的頻率或波長(zhǎng)。可視為鐘的節(jié)奏。引力場(chǎng)存在的地方，原子譜線的波長(zhǎng)加大，引力場(chǎng)越強(qiáng)，波長(zhǎng)增加的量越大，稱這個(gè)效應(yīng)為引力紅移。引力紅移早已為恒星的光譜測(cè)量所證實(shí)。20世紀(jì)60年代，由于大大提高了時(shí)間測(cè)量的精度，即使在地面上幾十米高的地方由引力場(chǎng)強(qiáng)的差別所造成的微小引力紅移，也已經(jīng)精確地測(cè)量出來。這再一次肯定了廣義相對(duì)論的正確性。4、引力波的存在廣義相對(duì)論預(yù)言，與電磁波相似，引力場(chǎng)的傳播形成引力波。星體作激烈的加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，發(fā)射引力波。引力波也以光的速度傳播。雖然還沒有直接的實(shí)驗(yàn)證據(jù)，但后來對(duì)雙星系統(tǒng)的觀測(cè)，給出了引力波存在的間接證據(jù)。廣義相對(duì)論建立的初期并未引起人們的足夠重視，后來在天體物理中發(fā)現(xiàn)了許多廣義相對(duì)論對(duì)天體物理的預(yù)言，如脈沖星、致密X射線源、類星體等新奇天象的發(fā)現(xiàn)以及微波背景輻射的發(fā)現(xiàn)等。這些發(fā)現(xiàn)一方面證實(shí)了廣義相對(duì)論的正確性，另一方面也大大促進(jìn)了相對(duì)論的進(jìn)一步發(fā)展。本章典型例題例1、放射性物質(zhì)的原子放射出兩個(gè)沿相反方向運(yùn)動(dòng)的電子。在實(shí)驗(yàn)室中測(cè)出每個(gè)電子的速率為06C，C是光速。今以一個(gè)電子為參照物，另一個(gè)電子的速率是多大（1）用星球太陽圖262伽利略變換進(jìn)行計(jì)算；（2）用洛侖茲變換進(jìn)行計(jì)算。并指出哪個(gè)不合理。解（1）設(shè)向右運(yùn)動(dòng)的電子為S系，則按伽利略變換，在S系中看另一電子的速度是V06C06C12C，這與光速不變的實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾，所以是不合理的。（2）設(shè)實(shí)驗(yàn)室為參照系S，一個(gè)電子參照系為S，則相對(duì)于S系的速度是06C，另一個(gè)電子相對(duì)于S系的速度為06C，按洛侖茲變換，另一個(gè)電子相對(duì)于S系的速度是XU，則XXVC2112VC2VC80這就是說，以一個(gè)電子為參照物看另一個(gè)電子的速度是088CC，即小于光速，與實(shí)驗(yàn)相符合，是合理的。例2、有一條河寬為L(zhǎng)，其河水流速是V，船相對(duì)河水的速度為U，且V。今有船A和B分別沿圖264（A）中所示路徑往返一次，求各需要時(shí)間多少哪條船需時(shí)長(zhǎng)些XYXY圖263解本題是經(jīng)典力學(xué)問題，用力伽利略變換處和即可。設(shè)岸的坐標(biāo)系為S，河水的坐標(biāo)系為S，如圖264（B）所示，若船相對(duì)岸的速度為U，則對(duì)于A船JUIYX，0X由伽利略變換知VUX,則而212XYVU21所以A船往返一次所需時(shí)間為212UVLULTYA對(duì)于B船，相對(duì)于岸的往返速度X分別為V和U，所以其往反一次所需要的時(shí)間為12UVLULVLTB因?yàn)閁，所以按2X和1X展為冪級(jí)數(shù)的公式有圖264LLABVASYVXXUOSYB212UVLTA8342VL1ULTB242VL所以085142UVULTAB,故ABT，即B往返一次的時(shí)間比A船往返一次的時(shí)間要長(zhǎng)。例3、一個(gè)中微子在慣性系S中沿Y方向以光速C運(yùn)動(dòng)，求對(duì)S系以速度V沿X方向運(yùn)動(dòng)的觀察者所觀測(cè)到的中微子的速度和方向怎樣解設(shè)運(yùn)動(dòng)觀察者為S系，他所看到的中微子的速度分量為XU，Y，Z，則按洛侖茲變換XUXUCV12,0XYYUCVU122（令CV）2YYSCUYOXSYVOX圖265圖25,0122ZXZZUCVUU因此，12ZYX,22CCV即運(yùn)動(dòng)中的觀測(cè)者測(cè)得中微子的速度仍是C，中微子的運(yùn)動(dòng)方向是,121VTGUTAYX即中微子運(yùn)動(dòng)方向與O軸的夾角。例4、試證明物體的相對(duì)論能量E與相對(duì)論動(dòng)量P的量值之間有如下關(guān)系證明E2PCMC2MVC2M2CCV2201CCV2240CV2M0C4E2EPCE0讀者可試為之，從E2E入手證明它等于P2C。例5、一個(gè)靜止質(zhì)量為M0的粒子以速率V54運(yùn)動(dòng)，它和一個(gè)同類的靜止粒子進(jìn)行完全非彈性碰撞。求（1）復(fù)合粒子的速率。（2）復(fù)合粒子的靜止質(zhì)量。解在微觀領(lǐng)域相對(duì)論動(dòng)量守恒、相對(duì)論能量守恒。故有VM0202CMC3541/1/22CCV將代入得02028,35MM與代入得34,1/2,3854002000CVCVMC故可得而即復(fù)合粒子的速率為C，靜止質(zhì)量為M34。例6、求證在伽利略變換下，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理具有不變性。證明在S系中，,VDTFDTVTAF兩邊同時(shí)作定積分得21,12TMMDT即這就是S系中質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的數(shù)學(xué)公式。在S系中,VDTFTDVFA兩邊同時(shí)作定積分可得2121,12TVTMMD這就是S系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的數(shù)學(xué)公式。為回避高等數(shù)學(xué)，可設(shè)一質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)沿X軸正方向，在平行于X軸的恒定的合外力F作用下作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過時(shí)間T，速度從1V增大到2，根據(jù)牛頓第二定律在S系中有TVMAF12整理得12VT這就是S系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理。在S系中，TVUVVF,121212即MT此即S系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理。例7、一個(gè)靜止質(zhì)量為M的物體靜止在實(shí)驗(yàn)室中，裂變?yōu)殪o止質(zhì)量為1M和2的兩部分，試求裂變產(chǎn)物的相對(duì)論動(dòng)能1KE和2。解根據(jù)相對(duì)論能量守恒有221CMC化簡(jiǎn)得21根據(jù)相對(duì)論動(dòng)量守恒有2VO但,1,1/22CV將211CV和22代入式化簡(jiǎn)得1221M由、兩式可解得12121/MR,2122/MMR,/2MCMEK12222例8、愛因斯坦的“等效原理”指出，在不十分大的空間范圍和時(shí)間間隔內(nèi)，慣性系中引力作用下的物理規(guī)律與沒有引力但有適當(dāng)加速度的非慣性系中的物理規(guī)律是相同的?，F(xiàn)在研究以下問題。（1）試從光量子的觀點(diǎn)出發(fā)，討論在地面附近的重力場(chǎng)中，由地面向離地面的距離為L(zhǎng)處的接收器發(fā)射頻率為0V的激光與接收器接收到的頻率V之間的關(guān)系。（2）假設(shè)地球物體沒有引力作用，現(xiàn)在一以加速度A沿直線做勻加速運(yùn)動(dòng)的箱子中做一假想實(shí)驗(yàn)。在箱尾和箱頭處分別安裝一適當(dāng)?shù)募す獍l(fā)射器和激光接收器，兩者間的距離為L(zhǎng)，現(xiàn)從發(fā)射器向接收器發(fā)射周期為0T的激光。試從地面參考系的觀點(diǎn)出發(fā)，求出位于箱頭處的接收器所到的激光周期T。（3）要使上述兩個(gè)問題所得到的結(jié)論是完全等價(jià)的。則問題（2）中的箱子的加速度的大小和方向應(yīng)如何解（1）對(duì)于能量為0HV的光子，其質(zhì)量20CHVM，在重力場(chǎng)中，當(dāng)該光子從地面到達(dá)接收器時(shí)，增加的重力勢(shì)能為MGH。由能量守恒得LCVLVH200得120CGV（2）設(shè)T0時(shí)刻，箱子從靜止開始加速，同時(shí)，激光光波的某一振動(dòng)狀態(tài)從發(fā)射器發(fā)出，任何時(shí)刻T，發(fā)射器和接收器的位置分別為21ATXL所考察的振動(dòng)狀態(tài)的位置和比該振動(dòng)狀態(tài)晚一個(gè)周期0T的振動(dòng)狀態(tài)的位置分別為XCT2100TTA設(shè)所考察的振動(dòng)狀態(tài)在1時(shí)刻到達(dá)接收器，則有21ATLCT解得211CALT比所考察的振動(dòng)狀態(tài)晚一個(gè)周期0T發(fā)出的振動(dòng)狀態(tài)到達(dá)接收器的時(shí)刻為2T，則有2201ATLTCA解得12022CTT接收器接收到的激光的周期為TT2T1AC2202CTACL21102CALC21102CALTCAL202CA30230300CTLALTC3020CA120LT（3）CG比較上述兩式得AG，即“箱子”的加速度AG方向豎直向上。例9、考慮不用發(fā)射到繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道上辦法，要在太陽系建立一個(gè)質(zhì)量為M的靜止空間站。這個(gè)空間站有一個(gè)面向太陽的大反射面（反射系數(shù)為1），來自太陽的輻射功率L產(chǎn)生的輻射壓力使空間站受到一個(gè)背離太陽的力，此力與質(zhì)量為SM的太陽對(duì)空間站的萬有引力方向相反，大小相等，因而空間站處于平衡狀態(tài)。忽略行星對(duì)該站的作用力，求（1）此空間站反射面的面積A。（2）平衡條件和太陽與空間站之間的距離是否有關(guān)（3）設(shè)反射面是邊長(zhǎng)為D的正方形，空間站的質(zhì)量為610千克，確定D之值。已知太陽的輻射功率是26107瓦。太陽質(zhì)量為391千克。解（1）設(shè)空間站與太陽的距離為R，則太陽輻射在空間