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第四節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)一、泰勒級數(shù)若函數(shù)在的一個(gè)鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰XF01N域內(nèi)有20000000NNFXFXFXFFXRXRPNN其中，在與之間。101NXFXX0定理1設(shè)函數(shù)在的鄰域內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰F00UXF域內(nèi)能展成泰勒級數(shù)的充要條件是的泰勒公式中的余項(xiàng)XF當(dāng)時(shí)極限為零，即N00LIMXXRN證明1）必要性，如果，設(shè)為其部分和00NNFFXSN函數(shù)列，則XSFXRXSRXPFNNNNN110LIMLIFFN2）充分性，若，設(shè)為級數(shù)的部分0LIXNXSN00NNXF和函數(shù)列，則XRFXPSNNN1FLIMLI注1當(dāng)時(shí)，我們稱級數(shù)0XNXFXFF020為麥克勞林級數(shù)。注2如果函數(shù)在的某鄰域內(nèi)能展成冪級數(shù)，此冪XF00NXA級數(shù)就是函數(shù)的麥克勞林級數(shù)。FNXAXAF210132N124NXAXXF,0,20,01NNAFAFFAF二、函數(shù)展開成冪級數(shù)例19將函數(shù)展成冪級數(shù)。XEF解函數(shù)得泰勒展開式為X234111XNNEEXX，因?yàn)榧墧?shù)對任意111NNNNEFR01NN的都收斂，所以，即。,XLIM1NNXLIMXRN因此2341XNEX例20將函數(shù)展成冪級數(shù)。FCOS解函數(shù)得泰勒展開式為XFCOS124221SIN11COSNXXX因?yàn)榧墧?shù)對任意的都收斂，所以210SINNX,，即。21SILMNN0LIMRN因此2421COSNXXX例21將函數(shù)展成冪級數(shù)，其中為常數(shù)。MF1M解XF21M1MNNFXNX考慮冪級數(shù)2000NFFFFXX即2111NMMXXXN不難算出，其收斂區(qū)間為。求其和函數(shù),S111NSXXXN11NMM211NMXSXXX1XSMX解微分方程得CXLNSL1MX又因?yàn)?，所?0S1XXM例22將函數(shù)展成的冪級數(shù)。FLNX解110XXFN000NNNXXXDTDTLN1X例23將函數(shù)展成的冪級數(shù)。FCOS3解32213XSINXXCSO112021NN例24將展成的冪

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