1、實(shí)驗(yàn)一 一元函數(shù)微積分學(xué)實(shí)驗(yàn)5 拋射體的運(yùn)動(dòng)（綜合實(shí)驗(yàn)）引言 Mathematica可以被用來探索各種各樣的可能性,從而能在給定的假設(shè)條件下模擬出所求數(shù)學(xué)問題的解.下面討論的問題是關(guān)于拋射體的飛行的一個(gè)樣本實(shí)驗(yàn),具體在這里就是研究炮彈在沒有空氣阻力情況下的運(yùn)動(dòng). 我們意圖通過這樣一個(gè)范例,讓讀者了解如何利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法來探索一個(gè)數(shù)學(xué)問題的求解. 在你寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告時(shí),一定要清楚地解釋你做了什么以及為什么要這樣做,同時(shí)逐步熟悉科學(xué)報(bào)告的寫作方法.問題 根據(jù)偵察,發(fā)現(xiàn)離我軍大炮陣地水平距離10km的前方有一敵軍的坦克群正以每小時(shí)50km向我軍陣地駛來,現(xiàn)欲發(fā)射炮彈摧毀敵軍坦克群. 為在最短時(shí)間內(nèi)有效摧

2、毀敵軍坦克,要求每門大炮都能進(jìn)行精射擊,這樣問題就可簡化為單門大炮對(duì)移動(dòng)坦克的精確射擊問題. 假設(shè)炮彈發(fā)射速度可控制在0.2km/s至0.6km/s之間,問應(yīng)選擇怎樣的炮彈發(fā)射速度和怎樣的發(fā)射角度可以最有效摧毀敵軍坦克. 說明 假設(shè)不考慮空氣阻力,則炮彈的運(yùn)動(dòng)軌跡由參數(shù)方程 ,給出,其中是炮彈發(fā)射的初速度,是炮彈的發(fā)射角,是重力加速度（9.8m/）. 上面第一個(gè)方程描述炮彈在時(shí)刻的水平位置,而第二個(gè)方程描述炮彈在時(shí)刻的垂直位置. 我們假設(shè)大炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)（）,軸正向垂直向上,軸水平指向敵軍坦克. 下面先利用Mathematica繪圖命令顯示出炮彈運(yùn)行的典型軌跡. 輸入 horizv_,a_,t

3、_:=v Cosa Pi/180 tvertv_,a_,t_:=v Sina Pi/180 t-(1/2) g t2g=9.8假定炮彈發(fā)射的初速度為0.25km/s, 發(fā)射角為,輸入 ParametricPlothoriz250,65,t,vert250,65,t,t,0,50,PlotRange-0,5000,AxesLabel-x,y得到炮彈運(yùn)行軌跡的典型圖形（圖5-1）:圖5-1實(shí)驗(yàn)報(bào)告在上述假設(shè)下,進(jìn)一步研究下列問題: (1) 選擇一個(gè)初始速度和發(fā)射角,利用Mathematica畫出炮彈運(yùn)行的軌跡.(2) 假定坦克在大炮前方10km處靜止不動(dòng),炮彈發(fā)射的初速度為0.32km/s,應(yīng)選擇

4、什么樣的發(fā)射角才能擊中坦克？畫出炮彈運(yùn)行的幾個(gè)軌跡圖,通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和圖形來說明你的結(jié)論的合理性.(3) 假定坦克在大炮前方10km處靜止不動(dòng),探索降低或調(diào)高炮彈發(fā)射的初速度的情況下,應(yīng)如何選擇炮彈的發(fā)射角？從上述討論中總結(jié)出最合理有效的發(fā)射速度和發(fā)射角. (4) 在上題結(jié)論的基礎(chǔ)上,繼續(xù)探索,假定坦克在大炮前方10km處以每小時(shí)50km向大炮方向前進(jìn),此時(shí)應(yīng)如何制定迅速摧毀敵軍坦克的方案？實(shí)驗(yàn)6 一元函數(shù)積分學(xué)(基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)) 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握用Mathematica計(jì)算不定積分與定積分的方法. 通過作圖和觀察, 深入理解定積分的概念和思想方法. 初步了解定積分的近似計(jì)算方法. 理解變上限積分的概念

5、. 提高應(yīng)用定積分解決各種問題的能力. 實(shí)驗(yàn)舉例：1、用定義計(jì)算定積分當(dāng)在上連續(xù)時(shí), 有因此可將 與 作為的近似值. 為了下面計(jì)算的方便, 在例1.1中定義這兩個(gè)近似值為和n的函數(shù).例1.1 (教材 例1.1) 計(jì)算的近似值.輸入s1f_,a_,b_,n_:=N(b-a)/n*Sumfa+k*(b-a)/n,k,0,n-1;s2f_,a_,b_,n_:=N(b-a)/n*Sumfa+k*(b-a)/n,k,1,n;再輸入Clearf;fx_=x2;js1=Table2n,s1f,0,1,2n,s2f,0,1,2n,n,1,10;TableFormjs1,TableHeadings-None,

6、n, s1, s2則輸出n s1 s22 0.125 0.6254 0.218750.468758 0.0.16 0.0.32 0.0.64 0.0.128 0.0.33725256 0.0.512 0.0.1024 0.0.這是的一系列近似值. 且有例1.2 計(jì)算的近似值.輸入Clearg;gx_=Sinx/x;js2=Tablen,s2g,0,1,n,n,3,50則得到定積分的一系列近似值:3,0.91687,4,0.,5,0.,48,0.,49,0.,50,0.注：用這種方法(矩形法)得到的定積分的近似值隨n收斂很慢. 可以用梯形法或拋物線法改進(jìn)收斂速度(見教材中的有關(guān)章節(jié)). 如果用N

7、integrate命令可以得到本題的比較精確的近似值為0.例1.3 用定義求定積分的動(dòng)畫演示.輸入Clearf,x,a,b;fx_=x2;a=0;b=1.5;m=0;g1=Plotfx,x,a,b,PlotStyle-RGBColor1,0,0,DisplayFunction-Identity;Forj=3,j=50,j+=2,m=j;tt1= ;tt2= ;Fori=0,i$DisplayFunction,PlotLabel-m intervals 執(zhí)行以上命令, 可得到一系列圖形(共24幅), 如果觀察動(dòng)畫, 只要選中24幅圖形中的任一幅圖形, 雙擊以后即可以形成動(dòng)畫. 當(dāng)分割越來越細(xì)時(shí),

8、 觀察小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的關(guān)系, 有助于理解定積分的概念及其幾何意義。2、不定積分計(jì)算例1.4 求輸入Integratex2*(1-x3)5,x則輸出例1.5 求輸入IntegrateExp-2 x*Sin3 x,x則輸出例1.6 求輸入Integratex2*ArcTanx,x則輸出例1.7 求輸入IntegrateSinx/x,x則輸出SinIntegratex它已不是初等函數(shù).3、定積分計(jì)算例1.8 求輸入Integratex-x2,x,0,1則輸出例1.9求輸入IntegrateAbsx-2,x,0,4則輸出4例1.10 求輸入IntegrateSqrt4-x2,x,1,2則輸出例1.11 求輸入IntegrateExp-x2,x,0,1則輸出其中Erf是誤差函數(shù), 它不是初等函數(shù). 改為求數(shù)值積分, 輸入NIntegrateExp-x2,x,0,1則有結(jié)果0.3、求平面圖形的面積例1.12 設(shè)和計(jì)算區(qū)間上兩曲線所圍成的平面的面積。輸入命令Clearf,g;fx_=Exp-(x-2)2 CosPi x;gx_=4 Cosx-2;Plotfx,gx,x,0,4