1、造橋選址問題 最短路徑問題第二課時設計案例 南寧市新民中學 甘曉云一、內容與內容解析（一）內容本題選自人教版八年級上冊第13章軸對稱13.4課題學習第86頁問題2.利用平移研究某些最短路徑問題.（二）內容解析本課題學習是利用圖形變換來研究某些實際問題中的最短路徑問題.問題2以造橋選址這樣一個實際問題為載體展開研究，讓學生經歷將實際問題抽象成數(shù)學的線段和最小問題,再利用平移變化將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題所以，基于以上分析，確定本節(jié)課的重點：利用平移將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題二、目標與目標解析（一）目標能利用平移解決某些最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最

2、值問題中的作用，感悟轉化和化歸的思想.（二）目標解析本節(jié)課所要達成的目標，一是能將實際問題中的“地點”、“河”抽象為數(shù)學中的“點”、“線,把實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題；二是能利用平移將和最小問題轉化為“兩點之間，線段最段”問題；三是能通過邏輯推理證明所求距離最短；四是在探索最短路徑的過程中，體會平移的“橋梁”作用，感悟數(shù)學轉化思想.三、教學問題診斷分析最短路徑問題從本質上說是最值問題，作為初中生，此前很少在幾何中接觸最值問題，解決此類問題的數(shù)學經驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手。解答在兩條直線異側兩點的最短路徑問題時，如何利用圖形變化將其轉化為“在一

3、條直線異側兩點與直線上點的線段和最小問題”，為什么需要這樣轉化、怎樣通過圖形變化實現(xiàn)轉化的，一些學生在理解和操作上存在困難。 在證明作法的合理性時，需要在直線上任取點(與所求作的點不重合)。證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路、方法，因為之前很少遇到，不過有了問題1的鋪墊，部分同學會想到，但還會有一些學生無從下手。要克服這個難點，關鍵是要加強對問題分析的教學，幫助學生分析證明問題的思路本節(jié)課的教學難點在于如何利用平移將最短路徑問題轉化為線段和最小問題.針對學生可能出現(xiàn)的問題，我的教學策略是這樣的：通過創(chuàng)設具有啟發(fā)性、學生感興趣的、有助自主學習和探索的問題情境，使學生在活動豐富、思維積極的

4、狀態(tài)中進行探究學習，在教學過程中，將學生以6個人為一個小組，通過小組討論交流學案的形式，相互配合，提出問題，并積極的解決問題，通過討論、交流得到解決方法，培養(yǎng)學生的合作學習能力.并結合幾何畫板演示加深學生的理解。在教學模式上，以學生為主體，將課堂還給學生，給學生一個充分展示自己的舞臺，在小組合作探究后，讓學生代表在白板上演示自己小組的成果展示，使學生在這個過程中獲得成功的體驗，從而激發(fā)對數(shù)學的激情。在這節(jié)課堂教學中，充分利用白板、幾何畫板等現(xiàn)代多媒體工具，使學生對抽象、復雜的關系有了更直接、明了具體的感觀，激發(fā)學生對數(shù)學的興趣. 四、教學過程設計（一）問題鋪墊1.回顧復習下列問題（1）如圖1，

5、A,B兩點在路l的兩側,在l上找一點C，使到兩地的路徑最短.（2）如圖2，A,B兩點在路l的同側,在l上找一點C，使到兩地的路徑最短.圖1圖2設計意圖：幫助學生回顧已掌握的兩種最短路徑的模型，并體會最終的依據(jù)都是利用了“兩點之間，線段最短”.2.鋪墊問題：如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短.設計意圖:幫助學生從現(xiàn)實出發(fā),總結造橋選址的兩要素:路徑最短、材料最省.（二）將實際問題抽象為數(shù)學問題問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直

6、線，橋要與河垂直.）我們把河岸看成兩條平行線a和b，A、B分別是河岸兩側的兩點,要修一條橋MN，MNa，MNb,引導學生體會把N可以看成直線b上的一個動點，把問題就轉化為當點N在b的什么位置，有AM+MN+NB最小.在由河寬固定,進一步把問題轉化為AM+BN最小.(三)嘗試解決數(shù)學問題讓學生分組討論，在學案上嘗試畫出最短路徑.學生由前面的解題經驗，容易出現(xiàn)下面的錯誤：第一類：錯誤歸因：直接認為兩點之間，線段最短，沒有考慮河寬.第二類：錯誤歸因：直觀感覺垂線段最短，沒有考慮垂線段最短的應用背景.第三類：錯誤歸因：受問題1影響，錯套方法.對于學生出現(xiàn)的錯誤方法，通過幾何畫板演示一一驗證，讓學生直觀

7、感受所作的路徑均不是最短路徑.并讓學生體會體會在b上會有一個點N,使AM+MN+NB.引導學生：這與前面回顧復習中的問題是否有類似的地方呢？都是兩條線段和最小的問題，但前面的問題都只有一條直線，這里有兩條直線，而且AM、NB是斷開的兩條線段，能否把它們放在一起呢？ 再讓學生進行小組討論交流，可以讓作出正確作法的學生進行展示和說明.我再借助幾何畫板的演示幫助學生加深理解和感受.幫助學生總結具體的作圖操作步驟是，過點A作ACb于點C， 在線段AC上截取AA等于河寬，然后連接AB交b于點N，最后過點N作MNa于點M.則MN即為所求的架設橋的地點. 如果改為平移B點呢?讓學生在學案上完成作圖.學生還有

8、作法2，利用折疊的方法把河岸a、b重合在一起.（四）證明最短為了更為清楚的理解這種方法，為什么這樣做是最短路徑,能否進行證明呢?引導學生回顧問題1的證明過程, 發(fā)現(xiàn)需要在直線上任取點(與所求作的點不重合)。證明所連線段和大于所求作的線段和. 五、鞏固練習拓展1：如圖4，如果A、B兩地之間有兩條平行的河，我們要建的橋都是與河岸垂直的.我們如何找到這個最短的距離呢？方法1：仿照上例，可以將點A沿與河垂直的方向平移兩個河寬分別到到A1、A2，路徑中兩座橋的長度是固定的.為了使路徑最短，只要A2B最短.連接A2B，交河流2河岸于N，在此處造橋MN；連接A1M，交河流1河岸于P，在此處造橋PQ,所得路徑

9、AQPMNB最短.方法2：如圖6，將點A沿與第一條河流垂直的方向平移一個河寬到A1，將B沿與第二條河垂直的方向平移一個河寬到B1，連接A1B1與兩條河分別相交于N、P，在N、P兩處，分別建橋MN、PQ，所得路徑AQPMNB最短.設計意圖：拓展1是直接對問題2所總結方法的直接應用，加深對問題2的理解.拓展2：如圖9，如果在上述條件不變的情況下，兩條河不平行，又該如何建橋？方法1：如圖10，先將點A沿與河流1河岸垂直的方向平移一個河寬到A1，再沿與河流2河岸垂直的方向平移一河寬到A2，連接A2B，交河流2河岸于N，此處建橋MN；連接A1M，交河流1于P，在此處建橋PQ.所得路徑AQPMNB最短.方

10、法2：也可以將A沿與河流1垂直的方向平移1個河寬，得到A1，再將B沿與河流2河岸垂直的方向平移1個河寬得到B1，連接A1B1與河流1、河流2分別相交于P、M，分別作橋MN、PQ.所得路徑AQPNMB最短.設計意圖：拓展2是對問題2所總結方法的靈活應用，發(fā)展學生的思維能力.六、小結提升（一）要使所得到的路徑最短，就是要通過平移，使除河寬不變外，其他路徑經平移后能在一條直線上.最后還是應用“兩點之間，線段最短”解決問題.（二）綜合問題1、2，在解決最短路徑問題時,我們通?？梢岳幂S對稱、平移等變化把已知問題轉化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.七、布置作業(yè)如圖，甲、乙兩個單位分別位于一條封

11、閉式街道的兩旁，現(xiàn)準備合作修建一座過街天橋問： （1）橋建在何處才能使由甲到乙的路線最短？（注：橋必須與街道垂直） （2）橋建在何處才能使甲、乙到橋的距離相等？八、目標檢測設計作圖題（1）如圖1，一個牧童從點出發(fā)，趕著羊群去河邊喝水，則應當怎樣選擇飲水路線才能使羊群走的路程最短？請在圖中畫出最短路線（2）如圖2，在一條河的兩岸有，兩個村莊，現(xiàn)在要在河上建一座小橋，橋的方河岸方向垂直，橋在圖中用一條線段表示試問：橋建在何處，才能使的路程最短呢？請在圖中畫出橋的位置教學后記：這個問題有著非好的實際背景，情境貼近生活實際從上面的求解方法來看，平移只是問題實現(xiàn)轉化中的一個重要策略，怎么聯(lián)想到平移的？其

12、本質還是對“兩點之間，線段最短”公理的深刻理解從這點上說，同學們是值得認真體會和積累的最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經常遇到，初中階段，注意以“兩點之間，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究。所以在教學過程中，堅持“以學生為主體，以教師為主導”的原則，采用學生參與程度高的學導式教學法，讓學生獨立思考，嘗試畫圖，然后小組交流,展示結果,教師進行引導提問，采用師生交談法、問答法、課堂討論法.義務教育數(shù)學課程標準對于義務教育階段數(shù)學教學中培養(yǎng)學生良好情感態(tài)度方面提出了新的更高的要求，這就是要了解數(shù)學的價值，提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，具有初步的創(chuàng)新意識和實事求是的科學態(tài)度。應該重視在教學中把這些要求真正落到實處。現(xiàn)代信息技術為數(shù)學教學提供了強大的工具，使數(shù)學教學更加生動、形象、高效。在本章的教學中要加強信息技術的應用，幫助學生對于數(shù)學知識有更好地理解，提高教學質量。教材的編排上，造橋選址問題在上一版人教版教材中是在七年級下冊平