1、數(shù)據(jù)的集中趨勢及其描述青島大學(xué)師范學(xué)院楊慧娟 青島市統(tǒng)計(jì)局5月25日發(fā)布2015年在崗職工年平均工資水平。2015年，全市在崗職工年平均工資53715元，比2014年增加5262元，名義增長10.9%；扣除物價因素，實(shí)際增長9.5%。非私營單位在崗職工非私營單位在崗職工69465元元 其中，城鎮(zhèn)非私營單位在崗職工年平均工資69465元，比2014年增加7361元，名義增長11.9%，扣除物價因素實(shí)際增長10.5%。城鎮(zhèn)私營單位在崗職工年平均工資41737元，比2014年增加3667元，名義增長9.6%，扣除物價因素實(shí)際增長8.3%。1 眾數(shù)和中數(shù)一、眾數(shù)什么是眾數(shù)？眾數(shù)又稱范數(shù)、密集數(shù)、通常數(shù)

2、等，常用M0來表示。它表示的是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)值。（一）眾數(shù)的計(jì)算方法1. 直接觀察法不能用觀察法看出眾數(shù)時，這時有下面的方法：組別組別組中值組中值次數(shù)次數(shù)8084825757977470747213656967106064621155595735054522合計(jì)482. 用公式求眾數(shù)金氏插補(bǔ)法：ifffLMbaab0組距次數(shù)；距的那一分組區(qū)間內(nèi)的低于眾數(shù)所在組一個組次數(shù)；距的那一分組區(qū)間內(nèi)的高于眾數(shù)所在組一個組；眾數(shù)所在區(qū)間的實(shí)下限iffLbab1、眾數(shù)的值與相鄰兩組頻數(shù)的分布有關(guān)；2、相鄰兩組的頻數(shù)相等時，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)；3、相鄰兩組的頻數(shù)不相等時，眾數(shù)采用金氏插補(bǔ)法

3、近似公式計(jì)算；4、該公式假定眾數(shù)組的頻數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)均勻分布。眾數(shù)(眾數(shù)的不唯一性)無眾數(shù)無眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8一個眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 6 5 9 8 5 5多于一個眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 25 28 28 36 42 42小結(jié)：關(guān)于眾數(shù)1.集中趨勢的測度值之一2.出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值3.不受極端值的影響，但是易受分組的影響4.可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)5.主要用于定類數(shù)據(jù)，也可用于定序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù) 所以，在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中，當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況，或分布中出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)時，一般可用眾數(shù)作為集中量的粗略估計(jì)。二、中位數(shù) 中位數(shù)（Md）又稱中數(shù)、中點(diǎn)數(shù)、中值，它是指位于一組數(shù)據(jù)大小序列中間

4、位置的那個數(shù)值。 中位數(shù)是一種按其在數(shù)列中的特殊位置而決定的平均數(shù)。把總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，處在中點(diǎn)位次的標(biāo)志值就是中位數(shù)，它將全部標(biāo)志值分成兩個部分，一半標(biāo)志值比它大，一半標(biāo)志值比它小，而且比它大的標(biāo)志值個數(shù)和比它小的標(biāo)志值個數(shù)相等。（一）中位數(shù)的求法1. 未分組數(shù)據(jù)中中位數(shù)的求法當(dāng)總體位數(shù)N為奇數(shù)時，中位數(shù)就是中位數(shù)位次上的那個數(shù)據(jù)；當(dāng) N為偶數(shù)時，中位數(shù)是中位數(shù)位次上2項(xiàng)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。21N2. 分組數(shù)據(jù)中中位數(shù)的求法ifFnLMbbd2ifFnLMaad2組距。中位數(shù)所在組的次數(shù)；的累計(jì)次數(shù)；中位數(shù)所在組下限以下的累計(jì)次數(shù)；中位數(shù)所在組上限以上樣本容量；值；中位數(shù)所在組

5、的實(shí)上限值；中位數(shù)所在組的實(shí)下限ifFFnLLbaab例，課本46頁 中位數(shù)最大的特點(diǎn)是：它是序列中間1項(xiàng)或2項(xiàng)的平均數(shù)，不受極端值的影響，所以在當(dāng)一個變量數(shù)列中含有特大值與特小值的情況下，采用中位數(shù)較為適宜。正式由于中位數(shù)的這一特點(diǎn)，在統(tǒng)計(jì)研究中，當(dāng)遇到掌握統(tǒng)計(jì)資料不多而且各標(biāo)志值之間差異程度較大或頻數(shù)分布有偏態(tài)時，為避免計(jì)算標(biāo)志值所得的算術(shù)平均數(shù)偏大或偏小，就可利用中位數(shù)來表示現(xiàn)象的一般水平。1.集中趨勢的測度值之一；2.排序后處于中間位置上的值；3. 不受極端值的影響；4. 主要用于定序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于定類數(shù)據(jù)；5. 各變量值與中位數(shù)的離差絕對值之和最小，即min1ni

6、diMX2 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)，一般簡稱為平均數(shù)，或均數(shù)，均值，有時也被稱為數(shù)學(xué)期望。一、總體平均數(shù)總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)樣本平均數(shù)1. 總體平均數(shù)NxNii12. 樣本平均數(shù)nxXnii1原始樣本數(shù)據(jù):10，5，9，13，6，85 . 868613951066543211xxxxxxnxXnii（一）算術(shù)平均數(shù)的基本性質(zhì)：（一）算術(shù)平均數(shù)的基本性質(zhì)：（1）每個觀測值都加上一個相同的值d,最后的平均數(shù)也加上一個d.（2）每個觀測值都乘上一個相同的值c,最后的平均數(shù)也乘上一個c.（3）每個觀測值都乘上一個相同的值c,再加上一個相同的值d，最后的平均數(shù)等于原平均數(shù)乘上一個c，再加上一個d.算術(shù)平

7、均數(shù)可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。這是眾數(shù)，中位數(shù)不具有的性質(zhì)。（4）觀測值與平均數(shù)的差的總和為零，即（差的總和等于總和的差）（5）觀測值與任意常數(shù)c的離差平方和，不小于觀測值與平均數(shù)的離差平方和，即niiXX10)(niiXX12min)(（二）算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)（二）算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)1. 集中趨勢的測度值之一；（反應(yīng)靈敏、簡明易解、計(jì)算簡便）2. 最常用的測度值；3. 一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在；4. 易受極端值的影響；5. 用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于定類數(shù)據(jù)和定序數(shù)據(jù)。眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)三者之間的關(guān)系：（1）也是眾數(shù)皮爾遜經(jīng)驗(yàn)法：XMMd230例：若已知一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75.3，中位數(shù)為75.9，求

8、其平均數(shù)。（2）他們之間的大小關(guān)系與總體分布的特征有關(guān)，可以分為以下三種表現(xiàn)形式第一、分布呈對稱狀態(tài)， 三者合而為一。0MMXd第二、總體分布呈右偏時， 則XMMd0XMMd0第三、總體分布呈右偏時， 則0MMXd0MMXd以上是三種考查數(shù)據(jù)集中程度的三種量，要考查數(shù)據(jù)的集中程度，還有其他的均值，在學(xué)習(xí)新的均值前，我們先看一個問題例：3名同學(xué)完成某項(xiàng)規(guī)定動作的速率如下表，試求他們完成這項(xiàng)規(guī)定動作的平均速率。學(xué)生學(xué)生次次/分鐘分鐘1202253303 其他集中量數(shù)一、幾何平均數(shù) 幾何平均數(shù)是計(jì)算平均比率和平均速度最適用的一種方法。幾何平均數(shù)有簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)之分。其計(jì)算公式為：為什

9、么稱為幾何平均數(shù)？為什么稱為幾何平均數(shù)？Nn簡單幾何平均數(shù)是次方根。個標(biāo)志值連乘積的nniinngxxxxxX 1321在用幾何平均數(shù)法計(jì)算平均數(shù)時，如果n大于2，可以用對數(shù)計(jì)算，因此幾何平均數(shù)又叫對數(shù)平均數(shù)。)lg1(lglg1lg)lglg(lg1lg11121niiniinxnXxnXxxxnX哪些情況系適宜用幾何平均數(shù)（1）一組數(shù)據(jù)中任何兩個相鄰數(shù)據(jù)之比接近于一個常數(shù)，即數(shù)據(jù)按一定的比例關(guān)系變化。一般求平均增長率時適宜用幾何平均數(shù)。（2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中存在極端數(shù)據(jù)，分布呈現(xiàn)出偏正態(tài)時，此時算術(shù)平均數(shù)不能很好的反映該組數(shù)據(jù)的典型情況，應(yīng)使用幾何平均數(shù)或其他集中量，如眾數(shù)、中位數(shù)等。1. 集

10、中趨勢的測度值之一2. N 個變量值乘積的 N 次方根3. 適用于特殊的數(shù)據(jù)4. 主要用于計(jì)算平均發(fā)展速度5. 計(jì)算公式為nniinngxxxxxX 1321)lglg(lg1lg21nxxxnX 一位投資者持有一種股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分別為4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。計(jì)算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率。%84.103%4 .105%5 .103%0 .102%5 .104421gnnxxxX平均收益率103.84%-1=3.84%例：某市近幾年高中畢業(yè)生人數(shù)如下表所示，試求其平均增長率，估計(jì)照此下去，到2018年將有多少畢業(yè)生？年度年度學(xué)生人

11、數(shù)學(xué)生人數(shù)變化率變化率20104000201142001.0500201243801.0429201345001.0274201445601.0133二、調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)又稱“倒數(shù)平均數(shù)”，它是根據(jù)各標(biāo)志值的倒數(shù)來計(jì)算的平均數(shù)，即各個標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。 調(diào)和平均數(shù)也分簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。簡單調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算公式為：nxxxxMnH11111321 inHxnxxxxnM11111321即即 調(diào)和平均數(shù)作為一種集中量數(shù)，在描述速度方面的集中趨勢時，優(yōu)于其他集中量，因此可以用調(diào)和平均數(shù)來描述速度方面的問題。例：3名同學(xué)完成某項(xiàng)規(guī)定動作的速率如下表，試求他們完成這項(xiàng)規(guī)定動

12、作的平均速率。學(xué)生學(xué)生次次/分鐘分鐘120225330加權(quán)調(diào)和平均數(shù)設(shè)mi為權(quán)數(shù)，則加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算公式為：nnnHmmmmXmXmXmXmX 3213322111 niiiniinnnHXmmXmXmXmXmmmmmX11332211321則1. 集中趨勢的測度值之一，均值的另一種表現(xiàn)形式；2. 易受極端值的影響，且受極小值的影響比受極大值的影響更大；3. 用于定比數(shù)據(jù)；4. 不能用于定類數(shù)據(jù)和定序數(shù)據(jù)；5.只要有一個標(biāo)志值為0，就不能計(jì)算調(diào)和平均數(shù)；6.當(dāng)組距數(shù)列有開口組時，其組中值即使按相鄰組距計(jì)算，假定性也很大，這時的調(diào)和平均數(shù)的代表性很不可靠。算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)的大小關(guān)系： 由于計(jì)算公式的表現(xiàn)形式不同，因而適用的場合也不同，算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)適用于對靜態(tài)的總量指標(biāo)、相對指標(biāo)和平均指標(biāo)來計(jì)算平均數(shù)，幾何平均數(shù)則主要用于計(jì)算時間上相互銜接的比率或速度的平均數(shù)。我們經(jīng)常用“呈幾何級數(shù)增長”形容增長速度快。XXXgH四分位數(shù)四分位數(shù)（Quartile），即