1、1引例引例導數的定義導數的定義導數的幾何意義與物理意義導數的幾何意義與物理意義可導與連續(xù)的關系可導與連續(xù)的關系求導舉例求導舉例小結小結 作業(yè)作業(yè)第一節(jié)第一節(jié) 導數的概念導數的概念(derivative)第二章第二章 導數與微分導數與微分2例例1 1直線運動的瞬時速度問題直線運動的瞬時速度問題設變速直線運動的路程函數為設變速直線運動的路程函數為試確定試確定t0時的時的瞬時速度瞬時速度v(t0).導數的概念導數的概念一、一、引例引例).(tss ,0tt 的時刻的時刻取一鄰近于取一鄰近于tsv 平均速度平均速度00)()(tttsts ,0時時當當tt 取極限得取極限得00( )limttv t

2、瞬時速度瞬時速度00)()(tttsts 0tt t解：解：3例例2 2割線的極限位置割線的極限位置對于一般曲線如何定義其切線呢對于一般曲線如何定義其切線呢?導數的概念導數的概念曲線的切線斜率問題曲線的切線斜率問題若已知平面曲線若已知平面曲線),(xfy )(,(000 xfxM如何作過如何作過的切線呢的切線呢.切線位置切線位置.曲線上點曲線上點法國法國數學家費馬在數學家費馬在1629年提出了如下的定義和求年提出了如下的定義和求法法,從而圓滿地解決了這個問題從而圓滿地解決了這個問題.40 x處切線的斜率處切線的斜率.),(000yxM導數的概念導數的概念已知曲線的方程已知曲線的方程確定點確定點

3、 如果割線如果割線MN繞點繞點M旋轉而趨向極限位置旋轉而趨向極限位置MT,極限位置即極限位置即, 0MNC在點在點M處的處的切線切線.如圖如圖,. 0 NMT),(xfy x TxyO)(xfy CN M5),(00yxM設設00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf N tan k導數的概念導數的概念00)()(xxxfxf ).,(yxN割線割線MN的斜率為的斜率為,0 xx 切線切線MT的斜率為的斜率為C沿曲線沿曲線,M0 xx TxyO)(xfy CN M0limxx6當變化是非均勻的時當變化是非均勻的時,需作平均變化率的需作平均變化率的xyx 0lim 在現實生活中在現實生活中

4、,凡涉及變化率的問凡涉及變化率的問題題,其精確描述和計算都離不開此式所其精確描述和計算都離不開此式所規(guī)定的這一運算規(guī)定的這一運算.導數的概念導數的概念xxfxxfx )()(lim000極限運算極限運算:7定義定義的某個鄰域內的某個鄰域內在點在點設函數設函數0)(xxfy xxfxxfxy )()(00的的稱為稱為)(xf導數的概念導數的概念,00時時變到變到當自變量從當自變量從xxx )()()(00 xfxxfyxfy 的增量的增量函數函數之比之比變量的增量變量的增量 x 與自與自平均變化率平均變化率. .二、導數的定義二、導數的定義,有定義有定義8處可導處可導在在并說并說0)(xxf,0

5、 xxy )(0 xf 中的任何一個表示中的任何一個表示, )(0 xf導數的概念導數的概念xy 存在存在,如如如果極限如果極限)1()()(lim000 xxfxxfx 0lim x.)(0處的導數處的導數在在xxf或或,dd0 xxxy 0d)(dxxxxf xxfxxfx )()(lim000 或有導數或有導數. 可用下列記號可用下列記號則稱此極限值為則稱此極限值為9處不可導或導數不存在處不可導或導數不存在.特別當特別當(1)式的極限為式的極限為有時也說在有時也說在x0處導數是正處導數是正(負負)無無注注要注意要注意導數定義可以寫成多種形式導數定義可以寫成多種形式:,)()(lim)(0

6、000 xfxfxf .)()(lim)(0000 xfxfxf 導數的概念導數的概念當極限當極限(1)式不存在時式不存在時, 就說函數就說函數 f (x)在在x0在利用導數的定義證題或計算時在利用導數的定義證題或計算時,正正(負負)無窮時無窮時,窮大窮大,但這時但這時導數不存在導數不存在.)1()()(lim)(0000 xxfxxfxfx x x x hhhh h h 10如果如果 x0= 0,可以寫成可以寫成)0(f 導數的概念導數的概念特別特別是是,.)0()(lim0 xfxfx 0(1cos )(0)lim.1cosxfxfAx 令令1( )(0)lim.1nffnBn 0()()

7、lim.2tf atf atCt (0)(0),(0).fAfBf(1)(1)若若已已知知存存在在，則則(0)1-cos0,.AfxA (2)(2)若若已已知知 存存在在，則則未未必必存存在在（充充其其量量只只能能說說明明右右導導數數存存在在）11(1/ )(0)lim.1/nfnfBn (0).Bf (3)(3)若若已已知知 存存在在，則則未未必必存存在在sin,0( ),0,0 xf xxx 例例如如，令令1( )sinsin01fnnn 則則1( )(0)00limlim0.11nnffnBnn 從從而而00lim( )limsin( )0 xxf xf xxx 但但不不存存在在，即即在

8、在不不連連續(xù)續(xù)( )0f xx 從從而而在在不不可可導導. .12(0)( ).fCfa (4)(4)若若已已知知存存在在，則則0()()lim.2tf atf atCt 00()()()2 ()limlim( ).22ttf atf atfattf atCfatt 01()( )()( )lim( ).2tf atf af atf aCfatt 正正確確：( ).Cfa (5)C(5)C的的逆逆不不真真： 存存在在，未未必必存存在在( )f a 是是否否有有意意義義？13關于導數的說明關于導數的說明導數的概念導數的概念(1) 點導數是因變量在點點導數是因變量在點x0處的變化率處的變化率,它反

9、映了它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.(2) 如果函數如果函數y = f (x)在開區(qū)間在開區(qū)間 I 內的每點處都可內的每點處都可導導,就稱函數就稱函數 f (x)在開區(qū)間在開區(qū)間 I 內可導內可導.14xxfxxfyx )()(lim0.)()(lim)(0hxfhxfxfh 注注 )(0 xf導數的概念導數的概念,y 記作記作),(xf xydd.d)(dxxf或或即即或或)(xf 0 xx (3) 對于任一對于任一都對應著都對應著 f (x)的一個確定的的一個確定的, Ix 導數值導數值.這個函數叫做原來函數這個函數叫做原來函數f (x)的

10、的導函數導函數.1553 導數的概念導數的概念例例 用導數表示下列極限用導數表示下列極限.5)()3(lim,)()1(0 xafxafaxxfx 求求可導可導在在設設解解xafxafx5)()3(lim)1(0 )()3(lim0afxafx xafxafx3)()3(lim530 x3).(53af .2)()(lim, 2)()2(0hafhafafh 求求已知已知解解hafhafh2)()(lim)2(0 )()(lim0afhafh )(21af 211 h 16右導數右導數4. 單側導數單側導數 左導數左導數 )(0 xf )(0 xf導數的概念導數的概念000()()lim;xf

11、 xxf xx 000()()lim.xf xxf xx 000( )()limxxf xf xxx 000( )()limxxf xf xxx (left derivative)(right derivative)17導數的概念導數的概念處的可導性處的可導性.)(af 且且)(bf 和和.,)(上可導上可導在閉區(qū)間在閉區(qū)間就說就說baxf處可導處可導在在0)(xxf,)()(00都存在都存在和右導數和右導數左導數左導數xfxf 且相等且相等此性質常用于判定此性質常用于判定分段函數分段函數在在分段點分段點如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導內可導,都存在都存在,18.0|)(處處的

12、的可可導導性性在在討討論論函函數數 xxxf解解,|)0()0(hhhfhf hfhfh)0()0(lim0 , 1 hfhfh)0()0(lim0 . 1 ),0()0( ff.0)(點不可導點不可導在在函數函數 xxfy導數的概念導數的概念即即hhh 0limhhh 0limxy xyOP71 P71 例例1 119求增量求增量)1(算比值算比值)2(求極限求極限)3(P72P72例例3 3.)()(的導數的導數為常數為常數求函數求函數CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 0lim h. 0 0)( C三、求導舉例三、求導舉例( (幾個基本初等函數的導數幾個基本初等函數的導

13、數) ) 導數的概念導數的概念 步步 驟驟 );()(xfxxfy ;)()(xxfxxfxy .lim0 xyyx 即即CC h 導數的定義不僅給出了導數的概念導數的定義不僅給出了導數的概念,也提供了計算方法也提供了計算方法.0)( C20P72P72例例4 4,sin)(xxf 設函數設函數解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 02lim2cos()2hhhxh.cos x .cos)(sinxx 4)(sin xx.22 導數的概念導數的概念.)(sin)(sin4 xxx 及及求求4cos xx即即同理可得同理可得.sin)(cosxx 02cos() sin22limh

14、hhxh 21P73P73例例5 5.)(的導數的導數為正整數為正整數求函數求函數nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx1)( nnnxx更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x如如12121 xx21 )(1 x11)1( x21x 導數的概念導數的概念即即22P73 P73 例例6 6.)1, 0()(的導數的導數求函數求函數 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax aaaxxln)( .)(xxee 導數的概念導數的概念即即23.)1, 0(log的的導導數數求求函函

15、數數 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 1(log)lnaxxa .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 11log.lnaexxa導數的概念導數的概念即即P73 P73 例例7 7241.幾何意義幾何意義表示表示)(0 xf 導數的概念導數的概念)( ,tan)(0為傾角為傾角 xf)(xfy 曲線曲線,)(,(00切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點xfxM即即四、導數的幾何意義與物理意義四、導數的幾何意義與物理意義0 xxyO)(xfy CT M25).)(000 xxxfyy .0)()()(10000 xfx

16、xxfyy:)(,()(00處的切線方程為處的切線方程為在點在點曲線曲線xfxxfy :)(,()(00的法線方程為的法線方程為在點在點曲線曲線xfxxfy 導數的概念導數的概念26例例,)2 ,21(1斜率斜率處的切線的處的切線的在點在點求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy 解解得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx. 01582 yx導數的概念導數的概念.方方程程和和法法線線方方程程并并寫寫出出在在該該點點處處的的切切線線由由導數的幾何意義導數的幾何意義,即

17、即即即)(000 xxxfyy )()(1000 xxxfyy 272.物理意義物理意義 非均勻變化量的瞬時變化率非均勻變化量的瞬時變化率.路程對時間的導數為物體的瞬時速度路程對時間的導數為物體的瞬時速度;.ddlim)(0tststvt 電量對時間的導數為電流強度電量對時間的導數為電流強度;.ddlim)(0tqtqtit 為物體的線為物體的線(面面,體體)密度密度.導數的概念導數的概念變速直線運動變速直線運動交流電路交流電路非均勻的物體非均勻的物體 質量對長度質量對長度(面積面積,體積體積)的導數的導數28該點必連續(xù)該點必連續(xù). .證證,)(可導可導在點在點設函數設函數xxf)(lim0

18、xfxyx )(xfxyxxxfy )(0lim x0 .)(連續(xù)連續(xù)在點在點函數函數xxf)0(0 x 導數的概念導數的概念定理定理如果函數如果函數則函數在則函數在五、可導與連續(xù)的關系五、可導與連續(xù)的關系在點在點x處可導處可導, ,)(xf即即函數極限與無窮小的關系函數極限與無窮小的關系所以所以, ,lim0 x29如如, ,0處不可導處不可導但在但在 x該定理的逆定理不一定成立該定理的逆定理不一定成立.注注導數的概念導數的概念,0)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxxf.)(0的角點的角點為為xfx 連續(xù)是可導的必要條件連續(xù)是可導的必要條件, ,不是可導的充分條件不是可導的充分條件. .xy xyO

19、30例例.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導性處的連續(xù)性與可導性在在討論函數討論函數 xxxxxxf解解,1sin是有界函數是有界函數x01sinlim0 xxx.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxf,0處處在在 x xy,1sinx ,0時時當當 x.0)(處不可導處不可導在在 xxf0)(lim)0(0 xffx導數的概念導數的概念.11之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在 xy xx01sin)0(x 031 .,)(002xxbaxxxxxf當當當當設設為了使為了使 f(x) 在在x0處可導處可導, 導數的概念導數的概念解解 首先函數必須在首先函數必須在x0處連續(xù)處連續(xù)

20、.由于由于 )(lim0 xfxx )(lim0 xfxx )(0 xf故應有故應有.200 xbax 又因又因,20 x,0bax .20 x )(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx 02020limxxxxxx02x應如何選取應如何選取a,b ?32導數的概念導數的概念 )(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx 020)(lim0 xxxbaxxx 00)()(lim0 xxbaxbaxxx 200 xbax 000limxxaxaxxxa從而從而,當當)(0 xf 02x ,20 xa f(x) 在在x0處可導處可導.,20 xb .,)(002xxbaxxxxxf

21、當當當當設設應如何選取應如何選取a,b?為了使為了使 f(x) 在在x0處可導處可導, 33六、經濟學中的變化率問題六、經濟學中的變化率問題1 1、經濟學中的邊際概念、經濟學中的邊際概念在經濟問題中經常把一個函數的導函數稱為該函數在經濟問題中經常把一個函數的導函數稱為該函數的邊際函數。相應地，把導數值稱為邊際值。的邊際函數。相應地，把導數值稱為邊際值。例如，在某產品的生產中，它的成本函數是例如，在某產品的生產中，它的成本函數是 ，)(xcc 當產品數量從當產品數量從 增到增到 時，成本相應的增量為時，成本相應的增量為xxx)()(xcxxccxxcxxcxc)()(而比值而比值表示每增加一個單

22、位產品，平均需要增加的成本表示每增加一個單位產品，平均需要增加的成本34令令 ，平均單位成本的極限，平均單位成本的極限0 x)()()(limlim00 xcxxcxxcxcxxx稱稱為為邊邊際際成成本本，它它表表示示在在生生產產了了 單單位位產產品品后后，再再多多生生產產一一個個單單位位產產品品，所所需需成成本本的的近近似似值值. .( )( )yf xfxx 當當函函數數代代表表收收入入時時，它它的的導導數數就就是是邊邊際際收收入入，它它可可以以估估計計商商人人在在銷銷售售了了 單單位位商商品品后后，再再多多銷銷售售一一單單位位商商品品所所得得收收入入的的近近似似值值. .邊邊際際利利潤潤

23、352( )( )2505P xxP xxx例例 某某企企業(yè)業(yè)生生產產一一種種產產品品，每每天天的的總總利利潤潤（元元）與與產產量量（噸噸）之之間間的的函函數數關關系系為為： 10(10)150.10 xP 在在時時，（元元） 表表示示，在在每每天天生生產產噸噸的的基基 礎礎上上，再再多多生生產產1 1噸噸，總總利利潤潤將將增增加加150150元元. .( )25010P xx 邊邊際際利利潤潤25(25)0.xP 在在時時，（元元） 表表示示，在在每每天天生生產產2525噸噸的的基基 礎礎上上，再再多多生生產產1 1噸噸，總總利利潤潤幾幾乎乎沒沒有有變變化化. .30(30)50.xP 在在時時，（元元） 表表示示，在在每每天天生生產產3030噸噸的的基基 礎礎上上，再再多多生生產產1 1噸噸，總總利利潤潤就就要要減減少少5050元元. .362 2、經濟學