1、數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)技巧總結(jié)圓錐曲線1.圓錐曲線的兩個(gè)定義：（1）第一定義中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，軌跡是線段，當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，無(wú)軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于，定義中的“絕對(duì)值”與不可忽視。若，則軌跡是以為端點(diǎn)的兩條射線，若，則軌跡不存在。若=0，則軌跡是線段的中垂線；若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支。比如：已知定點(diǎn)，在滿足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是 （ ）A B  C     

2、0;  D（答：C）； 方程表示的曲線是_（答：雙曲線的左支） （2）第二定義中要注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運(yùn)用第二定義對(duì)它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。如已知點(diǎn)及拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_（答：2） 2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：（1）橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(shí)（）（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點(diǎn)在軸上時(shí)1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（

3、ABC0，且A，B，C同號(hào)，AB）。比如： 已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_（答：）；若，且，則的最大值是_，的最小值是_（答：）（2）雙曲線：焦點(diǎn)在軸上： =1，焦點(diǎn)在軸上：1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號(hào)）。比如： 雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程_（答：）；設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線C過(guò)點(diǎn)，則C的方程為_（答：） （3）拋物線：開口向右時(shí)，開口向左時(shí)，開口向上時(shí)，開口向下時(shí)。3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）： （1）橢圓：由,分母的大小決定，焦

4、點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。 如已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 _ （答：（2）雙曲線：由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開口方向。焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于一次項(xiàng)系數(shù)的四分之一； 特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個(gè)參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：

5、0;（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。比如：若橢圓的離心率，則的值是_（答：3或）； 以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為_（答：） （2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為2，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，雙曲線，等軸雙

6、曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。比如：雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于_（答：或）；雙曲線的離心率為，則=                （答：4或）；設(shè)雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e,2,則兩條漸近線夾角的取值范圍是_（答：）； （3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)，其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸，沒有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線； 離心率：

7、，拋物線。 如設(shè)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_（答：）； 5、點(diǎn)和橢圓（）的關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上1；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi) 6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（代數(shù)法）聯(lián)立 消元得（或）當(dāng)，直線與曲線相交（2個(gè)交點(diǎn)）；直線與曲線相切（1個(gè)交點(diǎn)）；直線與曲線相離（0個(gè)交點(diǎn)）；當(dāng)，曲線定不是橢圓； 若曲線是雙曲線，則直線l與漸近線平行（1個(gè)交點(diǎn)）或重合（0個(gè)交點(diǎn)）；若曲線是拋物線。則直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合（1個(gè)交點(diǎn)）；比如： 直線ykx1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_（答：1，5）（5，+）；對(duì)于拋物線C：，我們稱滿足的點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部

8、，若點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋物線C的位置關(guān)系是_（答：相離）； 特別提醒：  直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。 1，雙曲線過(guò)雙曲線內(nèi)一點(diǎn)的直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有2條（2與漸近線平行）過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條（1切線+2與漸近線平行）過(guò)雙曲線外一點(diǎn)（除漸近線上點(diǎn)）的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有4條（2切線+2與漸近線平行）若點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；若在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的

9、直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；注意：點(diǎn)在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條（1切線+2與另一漸近線平行）；P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線； 2，拋物線過(guò)拋物線內(nèi)一點(diǎn)的直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有1條（與對(duì)稱軸平行）過(guò)拋物線上一點(diǎn)的直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有1條（1切線+1與對(duì)稱軸平行）過(guò)拋物線外一點(diǎn)（除漸近線上點(diǎn)）的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條（2切線+1與對(duì)稱軸平行）比如： 過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有_（答：2）；求橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離（答：）； 直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)。當(dāng)為何值時(shí)，、分別在雙曲線的兩支上？當(dāng)為何值時(shí)，以AB為直徑的

10、圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？（答：；）； 過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若4，則滿足條件的直線有_條（答：3）； 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是、，則_（答：1）； 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，設(shè)某直線交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于，則和的大小關(guān)系為_(填大于、小于或等于) （答：等于）； 7、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。比如：已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為_（答：）；

11、 已知拋物線方程為，若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于_；（答：7） 若該拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_（答：）； 點(diǎn)P在橢圓上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_（答：）； 拋物線上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離和是5，則線段AB的中點(diǎn)到軸的距離為_（答：2）；  #8、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦點(diǎn)的面積為，則在橢圓中，對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形有：。比如：短軸長(zhǎng)為，離心率

12、的橢圓的兩焦點(diǎn)為、，過(guò)作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_（答：6）；設(shè)P是等軸雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為           （答：）； 雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率e，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點(diǎn)，若過(guò)F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，且是與等差中項(xiàng)，則_（答：）； 已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（答：）； 9、弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、

13、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。特別地，焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。比如：過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2=6，那么|AB|等于_（答：8）；10、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=。比如： 如果橢圓弦被點(diǎn)A（4，2）

14、平分，那么這條弦所在的直線方程是        （答：）； 已知直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x2y=0上，則此橢圓的離心率為_（答：）； 特別提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！12你了解下列結(jié)論嗎？（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，0）。 如與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程為_（答：）（3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓；雙曲線方程可設(shè)

15、為（）；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為； （5）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）中最短的弦； （6）若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB，則；（7）若OA、OB是過(guò)拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)13動(dòng)點(diǎn)軌跡方程： （1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍； （2）求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系； 如已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程（答：或）；待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲

16、線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。 如線段AB過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過(guò)A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為                                （答：）；定義法：先根

17、據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；如(1)由動(dòng)點(diǎn)P向圓作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，APB=600，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為                    （答：）；（2）點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_ （答：）；(3) 一動(dòng)圓與兩圓M：和N：都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為    

18、0;   （答：雙曲線的一支）； 代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；如動(dòng)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為,點(diǎn)M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_（答：）；參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。 如（1）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是_（答：）；（2）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的軌跡方程是_（答：）； 注意：如果問(wèn)題中涉及到平面向量知識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化。如已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足（1）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；（2）求點(diǎn)T的軌跡