1、第十二章第十二章 重積分重積分12.1 二重積分的概念二重積分的概念1 二重積分的概念與背景二重積分的概念與背景問題一：問題一：曲頂柱體體積的計算曲頂柱體體積的計算zyx設設 z = f (x , y) 在在 D 上連續(xù)上連續(xù) , 為頂?shù)臑轫數(shù)?“ 曲頂柱體曲頂柱體 ” V 的體積的體積計算以計算以 D 為底為底 , 以曲面以曲面 z = f (x , y) ),(yxfz Dzyx),(yxfz i (1) 劃分劃分: 將曲頂柱體劃分成將曲頂柱體劃分成n 個小曲頂柱體個小曲頂柱體:n i Vi,21 則有則有 niiVV1若記若記 在在 xoy 平面上的投影區(qū)域為平面上的投影區(qū)域為 Vi i

2、 則有則有niiD1 (2) 近似近似:當當 充分小時充分小時 ( 此時此時 也充分小也充分小) i Vi z = f (x , y) 在在 i 上近似于不變上近似于不變 ( 即近似于常數(shù)即近似于常數(shù) ) n i V fiiii,),(21 fVV niiiinii 11 ),(3) 精確化精確化:當當 時時 01 )(maxinid fV niiii 10 ),(lim任取任取n i iii,),(21 問題二：問題二：變密度平面薄片的質量計算變密度平面薄片的質量計算設平面薄片設平面薄片 D 置于置于 xoy 平面上平面上 , 形成一有界形成一有界閉區(qū)域閉區(qū)域 , 在點在點 (x , y)

3、D 處的密度函數(shù)為處的密度函數(shù)為= (x , y) ,計算計算 D 的質量的質量y0 xDi (1) 劃分劃分:將將 D 劃分成劃分成 n 個子區(qū)域個子區(qū)域: n i i,21 若記若記 的質量為的質量為 mi i 則有則有 niimm1(2) 近似近似:當當 充分小時充分小時 i = (x , y) 在在 i 上近似于不變上近似于不變 ( 即近似于常數(shù)即近似于常數(shù) ) n i m iiii,),(21 mm niiiinii 11 ),(任取任取n i iii,),(21 (3) 精確化精確化:當當 時時 01 )(maxinid m niiii 10 ),(lim定義定義: 設設 z =

4、f (x , y) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上有定義上有定義 , 將將 D 任意劃分成任意劃分成 n 個除邊界外沒有公共部分的個除邊界外沒有公共部分的子區(qū)域子區(qū)域 i ( 其面積也記其面積也記 i ) ,niiD1 任取任取 , 作和式作和式n i iii,),(21 fniiii 1 ),( 積分和積分和 )記記 d (i ) 為子區(qū)域為子區(qū)域 i 的直徑的直徑 , )(maxinid 1若極限若極限 A fniiii 10 ),(lim( 其值其值 A 與劃分無關與劃分無關 , 與與 (i ,i ) i 的選取無關的選取無關 )則稱則稱 f (x , y) 在在 D 上上可積可積 ;

5、 極限值極限值 A 稱為稱為 f (x , y)在在 D 上的二重積分上的二重積分 , 記為記為 , 即即 Ddyx,f )( niiiiD fdyxf10 ),(lim),( f (x , y) 稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù) ; f (x , y) d 稱為稱為被積表達式被積表達式 ; x , y 稱為稱為積分變量積分變量 ; D 稱為稱為積分區(qū)域積分區(qū)域 ; d 稱為稱為 面積元素面積元素說明說明: (1) 若若 f (x , y) 在在 D 上可積上可積 , 則積分和的極限則積分和的極限 與劃分無關與劃分無關 現(xiàn)如果用一組平行與坐標軸的直線劃分現(xiàn)如果用一組平行與坐標軸的直線劃分 D , 則則

6、iiiyx 即即 d = dxdy niiiiD fdyxf10 ),(lim),( Ddxdyyxf),(2) DdyxfV ),( Ddyxm ),(3) 二重積分值與積分變量名稱無關二重積分值與積分變量名稱無關 DDdsdttsfdxdyyxf),(),(4) 二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義: (a) 若若 f (x , y) 0 , (x , y) D , 則則 Ddxdyyxf),(表示以表示以 D 為底為底 , 曲面曲面 z = f (x , y) 為頂?shù)那敒轫數(shù)那?柱體的體積柱體的體積(b) 若若 f (x , y) 0 , (x , y) D , 則則 f (x ,

7、y) 0 , (x , y) D niiiiD fdyxfV10 ),(lim),( Dniiiidyxf f ),(),(lim10Vdyxf D ),( Ddxdyyxf),(即即 表示由表示由 D 與與 z = f (x , y) 所成所成曲頂柱體體積的負值曲頂柱體體積的負值(c) 對于一般的函數(shù)對于一般的函數(shù) f (x , y) , 表示這表示這 Ddyxf ),(些部分區(qū)域上的曲頂柱體體積的代數(shù)和些部分區(qū)域上的曲頂柱體體積的代數(shù)和 ( xoy平面上方的取正值平面上方的取正值 , xoy 平面下方的取負值平面下方的取負值 ) 2 二重積分的存在性與基本性質二重積分的存在性與基本性質定理

8、定理 ( 二重積分的存在性二重積分的存在性 )若若 z = f (x , y) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)上連續(xù) , 則則 f (x , y) 在在 D 上可積上可積二重積分的基本性質二重積分的基本性質(1) 線性運算性質線性運算性質設設 f , g 在在 D 上可積上可積 , 則對任意實數(shù)則對任意實數(shù) k1 , k2 ,k1 f + k2 g 在在 D 上也可積上也可積 , 且且 DDDd gkd fkdgkfk 2121)( 設設 f 在在 D1 , D2 上可積上可積 ( D1 , D2 除邊界外無除邊界外無公共部分公共部分 ) , 則則 f 在在 D = D1 D2 上可積上

9、可積 , 且且 21DDDd fd fd f (2) 區(qū)域可加性區(qū)域可加性 (3) 保序性保序性 設設 f 在在 D 上可積上可積 , 且且 f (x , y) g (x , y) , (x , y) D , 則則 DDd yxgd yxf ),(),(特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(Dyxfd),(4) 估值定理估值定理 設設 f 在在 D 上可積上可積 , 且且 m f (x , y) M , (x , y) D , 則則DMd f DmD (5) 中值定理中值定理 設設 f 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)上連續(xù) , 則存在則存在( , ) D 使使D

10、fd yxfD),(),( 證明證明 由由 f 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)上連續(xù) , 根據(jù)最值定理根據(jù)最值定理存在存在 ( 1 , 1 ) D , ( 2 , 2 ) D 使使myxffDyx ),(min),(),(11 MyxffDyx ),(max),(),(22 Dyx Myxfm ),(,),(DMd f Dm D Md fDm D 1存在存在 ( , ) D 使使 Dd yxfDf ),(),(1Dfd yxf D),(),( 例例估計積分估計積分 的值的值 , 其中其中 Dd yx )(9422422 yx D:解解先求先求 在在 D 上的最值上的最值9422 yxyx

11、f),(02 xyxfx),(04 yyxfy),( 穩(wěn)定點穩(wěn)定點 : (0 , 0) , 且且 f (0 , 0) = 9在在 上上 , 422 yx D:23132 y , yyxf),(2513 ),(yxf 9 ),(min),(yxfmDyx25 ),(max),(yxfM Dyx又又 , 所以所以 4 D 100943622 Dd yx)(解解0 Dd f 例例 設設 f 在區(qū)域在區(qū)域 D 上連續(xù)上連續(xù) , 且在且在 D 的任一子區(qū)域的任一子區(qū)域 D* 上有上有 , 證明證明: 在在 D 上上 f 0 反證法反證法 假設在假設在D 上上 f 0 , 則存在則存在 P0 = (x0

12、, y0) D 使使 000 ),(yxf( 不妨設不妨設 )000 ),(yxf由于由于 f 在在 P0 處連續(xù)處連續(xù) , 200),(yxf 對于對于 , 20000),(),(),(yxfyxfyxf 存在存在 , 使當使當 , 有有 DPN ),( 0),(),( 0PNyx 0200 ),(),(yxfyxf ),(),( 0PNyx 取取 , 則有則有 ),( 0PND 0 Dd f 矛盾矛盾所以結論成立所以結論成立例例. 比較下列積分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 積分域 D 的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2

13、(22yx它與 x 軸交于點 (1,0) ,.1相切與直線 yx而域 D 位, 1 yx從而d)(d)(32DDyxyx于直線的上方, 故在 D 上 1y2xo1D例例. 判斷積分yxyxyxdd1432222的正負號.解解: 分積分域為,321DDD則原式 =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3猜想結果為負 但不好估計 .舍去此項220yx 0)ln(22 yx例例. 判斷的正負.)0(dd)ln(122yxyxyx解：解：1yx當時，故0)ln(22 yx又當時，1 yx于是2)(yx 10dd)ln(122yxyxyx1111xyoD例例. 估計下列積分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解