1、1 / 13 第第 2 課時課時 正弦定理正弦定理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系并掌握正弦定理.2.能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題. 知識點一 正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等. 即asin absin bcsin c. 知識點二 正弦定理的變形公式 1.a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c. 2.sin aa2r，sin bb2r，sin cc2r(其中 r是abc 外接圓的半徑). 思考 在正弦定理中，三角形的各邊與其所對角的正弦的比都相等，那么這個比值等于多少？與該三角形外接圓的直徑有什么關(guān)系？

2、答案 等于 2r(r為該三角形外接圓的半徑)，與該三角形外接圓的直徑相等. 1.正弦定理對任意的三角形都成立.( ) 2.在abc中，等式 bsin ccsin b 總能成立.( ) 3.在abc中，已知 a，b，a，則能求出唯一的角 b.( ) 4.任意給出三角形的三個元素，都能求出其余元素.( ) 一、已知兩角及任意一邊解三角形 2 / 13 例 1 在abc中，已知 a30 ，b60 ，a10，解三角形. 解 根據(jù)正弦定理，得 basin bsin a10sin 60sin 3010 3. 又 c180 (30 60 )90 ， c a2b220. 反思感悟 (1)正弦定理實際上是三個等

3、式：asin absin b，bsin bcsin c，asin acsin c，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個. (2)因為三角形的內(nèi)角和為 180 ，所以已知兩角一定可以求出第三個角. 跟蹤訓(xùn)練 1 在abc 中，已知 b30 ，c105 ，b4，解三角形. 解 因為 b30 ，c105 ， 所以 a180 (bc)180 (30 105 )45 . 由正弦定理，得asin 454sin 30csin 105， 解得 a4sin 45sin 304 2，c4sin 105sin 302( 6 2). 二、已知兩邊及其中一邊的對角解三角形 例 2 在abc中，已

4、知 c 6，a45 ，a2，解三角形. 解 asin acsin c，sin ccsin aa6sin 45232， 0 c2a，ca. a為小于 45 的銳角，且正弦值為33，這樣的角 a 只有一個. 反思感悟 這一類型題目的解題步驟為 用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值； 用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角； 根據(jù)正弦定理求出第三條邊. 其中進行時要注意討論該角是否可能有兩個值. 跟蹤訓(xùn)練 2 在abc 中，ab2，ac3，b60 ，則 cos c 等于( ) a.33 b.63 c.32 d.62 答案 b 解析 由正弦定理，得absin cacsin b， 即2sin c3sin 60，解

5、得 sin c33， abac，cb，cos c 1sin2c63. 三、三角形形狀的判斷 例 3 在abc 中，已知absin bsin a，且 sin2asin2bsin2c.求證：abc 為等腰直角三角形. 證明 asin absin b， 4 / 13 sin bsin aba， 又absin bsin a， abba， a2b2即 ab， 設(shè)asin absin bcsin ck(k0)， 則 sin aak，sin bbk，sin cck， 又sin2asin2bsin2c， a2k2b2k2c2k2，即 a2b2c2， abc為等腰直角三角形. 反思感悟 判斷三角形的形狀，就是根

6、據(jù)題目條件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等.利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下： (1)化邊為角，走三角變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有： a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c(r為abc外接圓的半徑)； absin asin b，acsin asin c，bcsin bsin c； (2)化角為邊，走代數(shù)變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有： sin aa2r，sin bb2r，sin cc2r(r為abc外接圓的半徑)； sin asin bab，sin asin cac，sin bsin cbc. 跟蹤訓(xùn)練 3 在abc 中，已

7、知 2sin acos bsin c，那么abc一定是( ) a.直角三角形 b.等腰三角形 5 / 13 c.等腰直角三角形 d.正三角形 答案 b 解析 方法一 (利用邊的關(guān)系進行判斷) 由正弦定理和余弦定理， 2sin acos bsin c可化為 2aa2c2b22acc，即 a2c2b2c2，即 a2b2，故 ab.所以abc 是等腰三角形. 方法二 (利用角的關(guān)系進行判斷) 因為在abc中，abc， 即 c(ab)，所以 sin csin(ab). 由 2sin acos bsin csin(ab)， 得 2sin acos bsin acos bcos asin b， 即 sin

8、 acos bcos asin b0，所以 sin(ab)0. 因為abb，得 ab，b0，3，b6. 故 c2，由勾股定理得 c2. 4.在abc中，a15，b10，a60 ，則 cos b 等于( ) a.2 23 b.2 23 c.63 d.63 答案 d 解析 由正弦定理，得15sin 6010sin b， sin b10sin 601510321533. ab，ab， 又a60 ，b為銳角. cos b 1sin2b133263. 5.在abc中，若 sin asin b，則 a與 b 的大小關(guān)系為( ) a.ab b.asin b， 2rsin a2rsin b(r 為abc 外接

9、圓的半徑)， 即 ab，故 ab. 9 / 13 6.在abc中，若 a 3，b 2，b4，則 a . 答案 3或23 解析 由正弦定理，得 sin aasin bb322232， 又 a(0，)，ab，ab，a3或23. 7.在abc中，已知 a 5，sin c2sin a，則 c . 答案 2 5 解析 由正弦定理，得 casin csin a2a2 5. 8.在abc中，已知 a2，a60 ，則abc 的外接圓的直徑為 . 答案 4 33 解析 abc外接圓直徑 2rasin a2sin 604 33. 9.已知在abc 中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，c10，a45 ，c

10、30 ，求 a，b 和 b. 解 asin acsin c， acsin asin c10sin 45sin 3010 2. b180 (ac)180 (45 30 )105 . 又bsin bcsin c， bcsin bsin c10sin 105sin 3020sin 75 206 245( 6 2). 10 / 13 10.在abc 中，已知 acos2a bcos2b ，試判斷abc 的形狀. 解 方法一 acos2a bcos2b ， asin absin b. 由正弦定理，可得 aa2rbb2r，a2b2，ab， abc為等腰三角形. 方法二 acos2a bcos2b ， as

11、in absin b. 由正弦定理，可得 2rsin2a2rsin2b， 又a，b(0，)，sin asin b， ab(ab不合題意，舍去). 故abc為等腰三角形. 11.在abc 中，若sin aacos cc，則 c的值為( ) a.30 b.45 c.60 d.90 答案 b 解析 由正弦定理知sin aasin cc， sin cccos cc，cos csin c，tan c1， 又0 ccos 45 ，所以 b45 ，c2bbcsin b，即 3b2. 14.在abc 中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，且 3bsin aacos b. (1)求 b； (2)若 b3

12、，sin c 3sin a，求 a，c. 解 (1)由 3bsin aacos b及正弦定理， 得 3sin bsin asin acos b. 在abc中，sin a0， 3sin bcos b， tan b33. 12 / 13 0bb.則下列三個不等式中成立的是 . sin asin b； cos acos acos b. 答案 解析 ababsin asin b，故成立. 函數(shù) ycos x 在區(qū)間0，上是減函數(shù)， ab，cos a2， 02basin2b ，即 sin acos b， 同理 sin bcos a，故成立. 13 / 13 16.已知下列各三角形中的兩邊及其中一邊的對角，判斷三角形是否有解，有解的作出解答. (1)a10，b20，a80 ； (2)a2 3，b6，a30 . 解 (1)a10，b20，ab，a80 20sin 60 10 3，a