1、1 / 14 期末檢測試卷期末檢測試卷(一一) (時間：120 分鐘 滿分：150 分) 一、選擇題(本大題共 13 小題，每小題 4 分，共 52 分. 在每小題給出的四個選項中，第 110 題只有一項符合題目要求；第 1113 題，有多項符合題目要求，全部選對的得 4 分，選對但不全的得 2 分，有選錯的不得分) 1.若|z1|z1|，則復(fù)數(shù) z 對應(yīng)的點在( ) a.實軸上 b.虛軸上 c.第一象限 d.第二象限 答案 b 解析 |z1|z1|，點 z 到(1,0)和(1,0)的距離相等，即點 z 在以(1,0)和(1,0)為端點的線段的中垂線上. 2.某學(xué)校有高中學(xué)生 1 000 人，

2、其中高一年級、高二年級、高三年級的人數(shù)分別為320,300,380.為調(diào)查學(xué)生參加“社區(qū)志愿服務(wù)”的意向，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為 100的樣本，那么應(yīng)抽取高二年級學(xué)生的人數(shù)為( ) a.68 b.38 c.32 d.30 答案 d 解析 根據(jù)題意得，用分層隨機抽樣在各層中的抽樣比為1001 000110， 則高二年級抽取的人數(shù)是 30011030(人). 3.在一個圓柱內(nèi)挖去一個圓錐，圓錐的底面與圓柱的上底面重合，頂點是圓柱下底面中心.若圓柱的軸截面是邊長為 2的正方形，則圓錐的側(cè)面展開圖面積為( ) a. 5 b. 6 c.3 d.4 答案 a 解析 圓錐的側(cè)面展開圖是半

3、徑為 5，弧長為 2 的扇形，其面積 s12l r12(21) 5 5，所以圓錐的側(cè)面展開圖面積為 5. 2 / 14 4.某校高一年級 15個班參加朗誦比賽的得分如下： 91 89 90 92 94 87 93 96 91 85 89 93 88 98 93 則這組數(shù)據(jù)的 60%分位數(shù)、90%分位數(shù)分別為( ) a.92,96 b.93,96 c.92.5,95 d.92.5,96 答案 d 解析 將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列得 85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98 則 1560%9,1590%13.5， 所以 60%分位數(shù)為9293292.5

4、,90%分位數(shù)為 96. 5.已知底面邊長為 1，側(cè)棱長為 2的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為( ) a.323 b.4 c.2 d.43 答案 d 解析 正四棱柱的底面邊長為 1，側(cè)棱長為 2，正四棱柱體對角線的長為 1122.又正四棱柱的頂點在同一球面上，正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑，得球的半徑r1，根據(jù)球的體積公式，得此球的體積 v43r343，故選 d. 6.如圖，在abc 中，an12ac，p 是 bn 的中點，若apmab14ac，則實數(shù) m 的值是( ) a.14 b.1 3 / 14 c.12 d.32 答案 c 解析 p，n分別是 bn，ac的中點， a

5、pabbpab12bnab12(anab)12ab12an12ab14ac. 又apmab14ac， m12. 7.在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c.若abc 的面積為 s，且 a1,4sb2c21，則abc 外接圓的面積為( ) a.4 b.2 c. d.2 答案 d 解析 由余弦定理得，b2c2a22bccos a，a1， 所以 b2c212bccos a， 又 s12bcsin a,4sb2c21， 所以有 412bcsin a2bccos a， 即 sin acos a， 又 0a，所以 a4， 由正弦定理得，1sin 42r(r 為abc 外接圓的半徑)， 得

6、 r22， 所以abc 外接圓的面積為2. 4 / 14 8.在邊長為 2的菱形 abcd 中，bad60 ，e是 bc 的中點，則ac ae等于( ) a.3 33 b.92 c. 3 d.9 答案 d 解析 由題意abc120 ，ba bc22cos 120 2， ac ae(bcba) (beba) (bcba) (12bcba) 12bc232ba bcba2122232(2)229. 9.某高校在 2019年新增設(shè)的“人工智能”專業(yè)，共招收了兩個班，其中甲班 30 人，乙班 40人，在 2019 屆高考中，甲班學(xué)生的平均分為 665 分，方差為 131，乙班學(xué)生平均分為 658分，方

7、差為 208. 則該專業(yè)所有學(xué)生在 2019年高考中的平均分和方差分別為( ) a.661.5,169.5 b.661,187 c.661,175 d.660,180 答案 b 解析 依題意 x甲665，s2甲131， x乙658，s2乙208， 則 x 30665704065870661， s23070131(665661)24070208(658661)2187. 5 / 14 10.袋子中有四個小球，分別寫有“和、平、世、界”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“和”“平”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生 0 到 3 之間取整數(shù)值的隨機數(shù)

8、，分別用 0,1,2,3 代表“和、平、世、界”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下 24個隨機數(shù)組： 232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100 231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132 由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為( ) a.18 b.14 c.16 d.524 答案 a 解析 由題意可知，滿足條件的隨機數(shù)組中，前兩次抽取的數(shù)中必須包含 0 或 1，且 0 與 1不能同時出現(xiàn)，出現(xiàn) 0 就不能出現(xiàn) 1，反之亦然，第三次必須出現(xiàn)前面兩個數(shù)字中

9、沒有出現(xiàn)的 1或 0，可得符合條件的數(shù)組只有 3組：021,130,031，故所求概率為 p32418. 11.對于兩個平面 ，和兩條直線 m，n，下列命題中假命題是( ) a.若 m，mn，則 n b.若 m，則 m c.若 m，n，則 mn d.若 m，n，則 mn 答案 abc 解析 a 中 n 可能在 內(nèi)，a 是假命題；b 中 m 也可能在 內(nèi)，b 是假命題；m 與 n 可能平行，c 是假命題；m，則 m 或 m，若 m，則由 n 得 nm，若m，則 內(nèi)有直線 cm，而易知 cn，從而 mn，d 是真命題. 12.下面四個命題中的真命題為( ) a.若復(fù)數(shù) z 滿足1zr，則 zr 6

10、 / 14 b.若復(fù)數(shù) z 滿足 z2r，則 zr c.若復(fù)數(shù) z1，z2滿足 z1z2r，則 z1 z2 d.若復(fù)數(shù) zr，則 z r 答案 ad 解析 若復(fù)數(shù) z滿足1zr，則 zr，a為真命題； 復(fù)數(shù) zi滿足 z21r，而 zr，故 b為假命題； 若復(fù)數(shù) z1i，z22i滿足 z1z2r，但 z1 z2，故 c為假命題； 若復(fù)數(shù) zr，則 z zr，故 d 為真命題. 13.為比較甲，乙兩地某月 14 時的氣溫，隨機選取該月中的 5 天，將這 5 天中 14 時的氣溫數(shù)據(jù)制成統(tǒng)計表如下， 編號 溫度() 地區(qū) 1 2 3 4 5 甲 26 29 28 31 31 乙 28 30 31

11、29 32 從表中能得到的結(jié)論有( ) a.甲地該月 14 時的平均氣溫低于乙地該月 14 時的平均氣溫 b.甲地該月 14 時的平均氣溫高于乙地該月 14 時的平均氣溫 c.甲地該月 14 時氣溫的標準差小于乙地該月 14時氣溫的標準差 d.甲地該月 14 時氣溫的標準差大于乙地該月 14時氣溫的標準差 答案 ad 7 / 14 解析 甲地該月 5天 14 時的平均氣溫為15(2628293131)29， 乙地該月 5 天 14時的平均氣溫為15(2829303132)30， 故可得甲地該月 14 時的平均氣溫低于乙地該月 14 時的平均氣溫； 甲地該月 5 天 14 時溫度的方差為 s2甲

12、15(2629)2(2829)2(2929)2(3129)2(3129)23.6； 乙地該月 5 天 14 時溫度的方差為 s2乙15(2830)2(2930)2(3030)2(3130)2(3230)22， 故可得甲地該月 14 時氣溫的方差大于乙地該月 14 時氣溫的方差， 所以甲地該月 14時氣溫的標準差大于乙地該月 14 時氣溫的標準差. 二、填空題(本大題共 4小題，每小題 4分，共 16 分) 14.已知向量 a(x,2)，b(2,1)，c(3，x)，若 ab，則|bc|_. 答案 5 2 解析 因為 ab， 所以 x220，解得 x4， 則 bc(2,1)(3,4)(5,5)，

13、所以|bc|5 2. 15.已知三棱錐 pabc，若 pa平面 abc，paabacbc，則異面直線 pb與 ac所成角的余弦值為_. 答案 24 解析 過 b作 bdac，且 bdac，連接 ad， 則四邊形 adbc為菱形，如圖所示， 8 / 14 pbd(或其補角)即為異面直線 pb與 ac所成角. 設(shè) paabacbca. ada，bda， pa平面 abc， pbpd pa2ad2 2a， cospbdpb2bd2pd22pbbd2a2a22a22 2aa24. 異面直線 pb與 ac所成角的余弦值為24. 16.甲、乙、丙三人向同一飛機射擊，設(shè)擊中的概率分別為 0.4，0.5,0.

14、8，若只有 1 人擊中，則飛機被擊落的概率為 0.2，若 2 人擊中，則飛機被擊落的概率為 0.6，若 3 人擊中，則飛機一定被擊落，則飛機被擊落的概率為_. 答案 0.492 解析 設(shè)甲、乙、丙三人擊中飛機為事件 a，b，c，依題意，a，b，c 相互獨立，故所求事件概率為 pp(a b c )p( a b c )p( a b c)0.2p(ab c )p( a bc)p(a bc)0.6p(abc) (0.40.50.20.60.50.20.60.50.8)0.2(0.40.50.20.60.50.80.40.50.8)0.60.40.50.80.492. 17.在abc 中，abc90 ，

15、ab4，bc3，點 d 在線段 ac 上，若bdc45 ，則bd_；cosabd_. 答案 12 25 7 210 解析 在abd 中，由正弦定理得，absinadbbdsinbac，而 ab4，adb135 ， 9 / 14 ac ab2bc25，sinbacbcac35，cosbacabac45，所以 bd12 25. cosabdcos(bdcbac)cos 4cosbacsin 4sinbac7 210. 三、解答題(本大題共 6小題，共 82 分) 18.(12分)已知向量 a(1， 3)，b(2,0). (1)求 ab 的坐標以及 ab 與 a之間的夾角； (2)當 t1,1時，求

16、|atb|的取值范圍. 解 (1)ab(1， 3)(2,0)(3， 3)， 所以 ab的坐標為(3， 3). 設(shè) ab 與 a之間的夾角為 ， 則 cos (ab) a|ab|a|31 3 393 1332，而 0，故 6. (2)因為 atb(1， 3)t(2,0)(12t， 3)， 所以|atb| (12t)234t1223， 在1，12上遞減，在12，1 上遞增， 所以 t12時，|atb|取最小值為 3， t1 時，|atb|取最大值為 2 3，故|atb|的取值范圍為 3，2 3. 19.(12分)在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，已知 3bcos ccsi

17、n b. (1)求角 c的大??； 10 / 14 (2)若 c2 7，abc 的面積為 6 3，求abc的周長. 解 (1)由正弦定理bsin bcsin c， 得 3sin bcos csin bsin c， 在abc中，因為 sin b0， 所以 3cos csin c， 故 tan c 3， 又因為 0c，所以 c3. (2)由已知，得12absin c6 3. 又 c3，所以 ab24. 由已知及余弦定理，得 a2b22abcos c28， 所以 a2b252，從而(ab)2100.即 ab10， 又 c2 7， 所以abc 的周長為 102 7. 20.(14分)某同學(xué)在解題中發(fā)現(xiàn)，

18、以下三個式子的值都等于同一個常數(shù). 2i12i；43i34i；1i1i(i是虛數(shù)單位). (1)從三個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個復(fù)數(shù)恒等式，并證明你的結(jié)論. 解 (1)2i12i(2i)(12i)(12i)(12i)24ii25i， 43i34i(43i)(34i)(34i)(34i)1216i9i1225i， 11 / 14 1i1i(1i)(1i)(1i)(1i)12i12i. (2)根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及(1)的計算結(jié)果，可以得到： abibaii(a，br 且 a，b 不同時為零)， 下面進行證明： 要證明

19、abibaii， 只需證 abii(bai)， 只需證 abiabi， 因為上式成立，所以abibaii成立. (或直接利用復(fù)數(shù)的乘除運算得出結(jié)果) 21.(14分)如圖，在四棱錐 pabcd 中，平面 pab平面 abcd，bc平面 pad，abc90 ，papb22ab， 求證：(1)ad平面 pbc； (2)平面 pbc平面 pad. 證明 (1)bc平面 pad，而 bc平面 abcd， 平面 abcd平面 padad，bcad. ad平面 pbc，bc平面 pbc， ad平面 pbc. (2)papb22ab，滿足 pa2pb2ab2， 12 / 14 papb. 由abc90 知

20、bcab. 又平面 pab平面 abcd， 平面 pab平面 abcdab，bc平面 abcd， bc平面 pab. 又pa平面 pab，bcpa. 又pbbcb，pb平面 pbc，bc平面 pbc， pa平面 pbc. 又pa平面 pad，平面 pbc平面 pad. 22.(15 分)全國文明城市，簡稱文明城市，是指在全面建設(shè)小康社會中市民整體素質(zhì)和城市文明程度較高的城市.全國文明城市稱號是反映中國大陸城市整體文明水平的最高榮譽稱號.為普及相關(guān)知識，爭創(chuàng)全國文明城市，某市組織了文明城市知識競賽，現(xiàn)隨機抽取了甲、乙兩個單位各 5名職工的成績(單位：分)如下表： 甲單位 87 88 91 91

21、93 乙單位 85 89 91 92 93 (1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩個單位 5 名職工的成績的平均數(shù)和方差，并比較哪個單位的職工對文明城市知識掌握得更好； (2)用簡單隨機抽樣法從乙單位 5 名職工中抽取 2 人，求抽取的 2 名職工的成績差的絕對值不小于 4的概率. 解 (1) x甲8788919193590， x乙8589919293590， s2甲15(8790)2(8890)2(9190)2(9190)2(9390)2245， 13 / 14 s2乙15(8590)2(8990)2(9190)2(9290)2(9390)28， 顯然 x甲 x乙，s2甲s2乙，可知，甲單位的成績比乙單位穩(wěn)定，即甲單位的職工比乙單位的職工對文明城市知識掌握得更好. (2)從乙單位 5 名職工中隨機抽取 2 名，他們的成績組成的所有基本事件(用數(shù)對表示)為(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)，共 10 個.記“抽取的 2