1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)物理方法課件物理方法課件第一頁(yè)，共76頁(yè)。 把微積分延伸到復(fù)域。使微分和積分獲得新的深度把微積分延伸到復(fù)域。使微分和積分獲得新的深度(shnd)和意義。和意義。第1頁(yè)/共75頁(yè)第二頁(yè)，共76頁(yè)。第一章第一章 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)(hnsh)1.2 1.2 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)(hnsh)1.3 1.3 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)(hnsh)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.4 1.4 解析函數(shù)解析函數(shù)1.1 1.1 復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算1.5 1.5 多值函數(shù)多值函數(shù)第2頁(yè)/共75頁(yè)第三頁(yè)，共76頁(yè)。式中式中x、y為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)(shsh)，稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛

2、部稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部（一）（一） 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(fsh)的基本概念的基本概念yixz1irz幾何幾何(j h)表示：表示：1.1 1.1 復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)：)Re(zx )Im(zy 復(fù)平面復(fù)平面r),(yxAxyyixz)/(xyarctg22yx 為復(fù)數(shù)的模為復(fù)數(shù)的模為復(fù)數(shù)的輻角為復(fù)數(shù)的輻角cosxsiny1、 復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)表示第3頁(yè)/共75頁(yè)第四頁(yè)，共76頁(yè)。由于由于(yuy)輻角的輻角的周期性，輻角有無(wú)窮周期性，輻角有無(wú)窮多多cosxsiny)/(xyarctgArgzkArgz2)2, 1, 0(k2arg0z為輻角的主值，為主為輻角的主值，為主輻角，記為輻角，記

3、為zargr),(yxAxyArgzxyrArgzArgzrxyyrxArgz第4頁(yè)/共75頁(yè)第五頁(yè)，共76頁(yè)。iz31例：求例：求的的Argz與與argz解：解：z位于第二位于第二(d r)象限象限xyarctgz arg)3( arctg32kzArgz2arg322 k復(fù)數(shù)的三角復(fù)數(shù)的三角(snjio)表示：表示：sincosiz復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(fsh)的指數(shù)表示：的指數(shù)表示：)sin(cosizieike2iie 1ikei) 2/32(應(yīng)用：應(yīng)用：), 1, 0(k1ike) 2/2(第5頁(yè)/共75頁(yè)第六頁(yè)，共76頁(yè)。（二）（二） 無(wú)限無(wú)限(wxin)遠(yuǎn)點(diǎn)遠(yuǎn)點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)(n f sh

4、)：*)sin(cosiz)sin(cosiieNSzARiemann球面球面(qimin)復(fù)復(fù)球面球面零點(diǎn)零點(diǎn)無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn))(21cosiiee)(21siniieei第6頁(yè)/共75頁(yè)第七頁(yè)，共76頁(yè)。)/()(arg2121xxyyarctgz)(221121iyxiyxzz（三）復(fù)數(shù)（三）復(fù)數(shù)(fsh)的運(yùn)算的運(yùn)算1、復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)(fsh)的加減法的加減法iyyxx)()(2121xy2z2x2y1z1x1y21xx 21zz 21yy 21zz 221221)()(yyxx有三角有三角(snjio)關(guān)系：關(guān)系：2121zzzz2121zzzz第7頁(yè)/共75頁(yè)第八頁(yè)，共76頁(yè)。)(22

5、1121iyxiyxzz2、復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)(fsh)的乘法的乘法)()(12212121yxyxiyyxx212121iieezz)(2121ie)sin()cos(212121i2121zzzz2121argarg)arg(zzzz第8頁(yè)/共75頁(yè)第九頁(yè)，共76頁(yè)。iyxiyxzz2211213、復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)(fsh)的除法的除法2121iiee)()(22222211iyxiyxiyxiyx2222211222222121yxyxyxiyxyyxx或指數(shù)或指數(shù)(zhsh)式：式：iyxiyxzz221121)(212121iezz)sin()cos(212121i第9頁(yè)/共75頁(yè)第十頁(yè)，共76頁(yè)

6、。4、復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)(fsh)的乘方與方根的乘方與方根)sin(cosninn乘方乘方(chngfng)ninez)(inne故：故：ninsincosni)sin(cos方根方根(fnggn)nineznine/1nkine/)2(/1故故k取不同值，取不同值， 取不同值取不同值nz)3,2,1 ,0(k第10頁(yè)/共75頁(yè)第十一頁(yè)，共76頁(yè)。nkinnez/ )2(/ 1ninnezk/10ninnezk/ )2(/11ninnezk/ )4(/12)/2(/1ninneznknine/1第11頁(yè)/共75頁(yè)第十二頁(yè)，共76頁(yè)。222*yxzzz注意注意(zh y)：)(2yixyixzzzxyi

7、yx2221）、）、2）、）、zzzRe)(21*zzziIm)(21*3）、）、)(21)(21*2*1*21zzzz第12頁(yè)/共75頁(yè)第十三頁(yè)，共76頁(yè)。例：討論式子例：討論式子(sh zi) 在復(fù)平面上的意義在復(fù)平面上的意義2)/1Re(z解：解：2)/1Re(zyixzyixz1122yxyix22)/1Re(yxxz2222xyx222)41()41(yx為為圓上各點(diǎn)圓上各點(diǎn)第13頁(yè)/共75頁(yè)第十四頁(yè)，共76頁(yè)。例：計(jì)算例：計(jì)算(j sun)解：解：令令ibaWibaz)sin(cosiz2/1)sin(cosizibaW)22sin()22cos(2/1kikz)2sin()2co

8、s(2/11izW)22sin()22cos(2/12izW22baz22sinbab22cosbaa2cos12sin第14頁(yè)/共75頁(yè)第十五頁(yè)，共76頁(yè)。例：計(jì)算例：計(jì)算(j sun)ncos3cos2coscos解：解：nsin3sin2sinsin令令nacos3cos2coscosnbsin3sin2sinsin)sin3sin2sin(sincos3cos2coscosninibaW)sin(cos)2sin2(cos)sin(cosniniiiniiieeee32第15頁(yè)/共75頁(yè)第十六頁(yè)，共76頁(yè)。iniiieeeeW32)1(32niiiieeeWeiniieeWWe )1(

9、1)1(iinieeeW)()(2/2/2/2/)2/1(2/iiiiniieeeeee第16頁(yè)/共75頁(yè)第十七頁(yè)，共76頁(yè)。)()(2/2/2/2/)2/1(2/iiiiniieeeeeeW) 2/sin(2) 2/sin() 2/cos() 2/ 1sin() 2/ 1cos(iininbianacos3cos2coscos) 2/sin(2) 2/sin() 2/ 1sin(nnbsin3sin2sinsin第17頁(yè)/共75頁(yè)第十八頁(yè)，共76頁(yè)。1.2 1.2 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)(hnsh)（一）、復(fù)變函數(shù)（一）、復(fù)變函數(shù)(hnsh)(hnsh)的定義的定義Ezyxivyxuz

10、fw),(),()(iyxz對(duì)于復(fù)變集合對(duì)于復(fù)變集合(jh)E(jh)E中的每中的每一復(fù)數(shù)一復(fù)數(shù)有一個(gè)或多有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)值個(gè)復(fù)數(shù)值w稱為的稱為的z復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)z稱為稱為w的的宗量宗量22)(vuzfwuvarctgzf)(arg第18頁(yè)/共75頁(yè)第十九頁(yè)，共76頁(yè)。（二）、區(qū)域（二）、區(qū)域(qy)(qy)概念概念0zz由由確定的平面確定的平面(pngmin)點(diǎn)集，稱為定點(diǎn)點(diǎn)集，稱為定點(diǎn)z0的的鄰域鄰域（1 1）、鄰域）、鄰域(ln y)(ln y)（2 2）、內(nèi)點(diǎn)）、內(nèi)點(diǎn)定點(diǎn)定點(diǎn)z0的的 鄰域全含于點(diǎn)集鄰域全含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱內(nèi)，稱z0為點(diǎn)集為點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)（3 3）、外點(diǎn)）、外點(diǎn)定點(diǎn)

11、定點(diǎn)z0及其及其 鄰域不含于點(diǎn)集鄰域不含于點(diǎn)集E內(nèi)，稱內(nèi)，稱z0為點(diǎn)集為點(diǎn)集E的外點(diǎn)的外點(diǎn)（4 4）、鏡界點(diǎn)）、鏡界點(diǎn)定點(diǎn)定點(diǎn)z0的的 鄰域既有含于鄰域既有含于E內(nèi)，又有不含于內(nèi)，又有不含于E內(nèi)的點(diǎn)，內(nèi)的點(diǎn)，稱稱z0為點(diǎn)集為點(diǎn)集E的的鏡界點(diǎn)。鏡界點(diǎn)。0z內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)鏡界點(diǎn)鏡界點(diǎn)外點(diǎn)外點(diǎn)第19頁(yè)/共75頁(yè)第二十頁(yè)，共76頁(yè)。0z內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)鏡界點(diǎn)鏡界點(diǎn)外點(diǎn)外點(diǎn)（5 5）、區(qū)域）、區(qū)域(qy)(qy)A）全由內(nèi)點(diǎn)組成）全由內(nèi)點(diǎn)組成(z chn)B）具連通性：點(diǎn)集中任何）具連通性：點(diǎn)集中任何兩點(diǎn)都可以用一條折線兩點(diǎn)都可以用一條折線(zhxin)連接，且折線連接，且折線(zhxin)上的點(diǎn)屬于該點(diǎn)上的點(diǎn)屬于該

12、點(diǎn)集。集。（6 6）、閉區(qū)域）、閉區(qū)域區(qū)域連同它的邊界稱為閉區(qū)域，如區(qū)域連同它的邊界稱為閉區(qū)域，如1z表示以原點(diǎn)為圓心半徑為表示以原點(diǎn)為圓心半徑為1 1的閉區(qū)域的閉區(qū)域（7 7）、單連通與復(fù)連通區(qū)域）、單連通與復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)任意閉曲單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)任意閉曲線，其內(nèi)點(diǎn)都屬于該區(qū)域線，其內(nèi)點(diǎn)都屬于該區(qū)域第20頁(yè)/共75頁(yè)第二十一頁(yè)，共76頁(yè)。（三）、復(fù)變函數(shù)（三）、復(fù)變函數(shù)(hnsh)(hnsh)例例后面后面(hu mian)(hu mian)補(bǔ)充詳補(bǔ)充詳細(xì)介紹細(xì)介紹第21頁(yè)/共75頁(yè)第二十二頁(yè)，共76頁(yè)。（四）、極限（四）、極限(jxin)(jxin)與連續(xù)性與連續(xù)性設(shè)設(shè)w=f(

13、z)在在z0點(diǎn)的某鄰域點(diǎn)的某鄰域(ln y)有定義有定義對(duì)于對(duì)于(duy)(duy)00，存在，存在0,0,使使0zz有有 Azf)(稱稱z - z0時(shí)時(shí)A為為極限極限，記為，記為Azfzz)(lim0注意：注意：z在全平面，在全平面，z - z0須以任意方式須以任意方式1 1、函數(shù)的極限、函數(shù)的極限第22頁(yè)/共75頁(yè)第二十三頁(yè)，共76頁(yè)。關(guān)于極限的計(jì)算，有下面兩個(gè)關(guān)于極限的計(jì)算，有下面兩個(gè)(lin(lin )定理定理定理定理(dngl(dngl)一一設(shè)：設(shè)：f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ,A=u0+iv0 ,z0=x0+iy0那么那么(n (n me)me)Azfzz)(lim0的

14、充要條件是：的充要條件是：0),(lim00uyxuyyxx0),(lim00vyxvyyxx證證：必要性必要性如果如果Azfzz)(lim0那么根據(jù)極限的定義，就有：那么根據(jù)極限的定義，就有：)()(00iyxiyx當(dāng)當(dāng))()(00ivuivu即當(dāng)即當(dāng)2020)()(yyxx時(shí)時(shí)第23頁(yè)/共75頁(yè)第二十四頁(yè)，共76頁(yè)。也就是也就是(jish(jish) )當(dāng)當(dāng)0 xx0yy0uu0vv這就是說(shuō)：這就是說(shuō)：0),(lim00uyxuyyxx0),(lim00vyxvyyxx充分性充分性如果上面兩式成立如果上面兩式成立(chngl)(chngl)，那么當(dāng)那么當(dāng)2)()(2020yyxx| )()

15、( |)(00vviuuAzf| )( |00vvuu2所以所以(suy(suy)當(dāng)當(dāng)0zzAzfzz)(lim0第24頁(yè)/共75頁(yè)第二十五頁(yè)，共76頁(yè)。定理定理(dngl(dngl)二二如果如果(rg(rgu)u)Azfzz)(lim0Bzgzz)(lim0那么那么(n (n me)me)：BAzgzfzz)()(lim0BAzgzfzz)()(lim0）（BBAzgzfzz)()(lim0第25頁(yè)/共75頁(yè)第二十六頁(yè)，共76頁(yè)。2 2、函數(shù)、函數(shù)(hnsh)(hnsh)的的連續(xù)性連續(xù)性定義定義(dn(dngy)gy)：如果如果(r(rgugu) )()(lim00zfzfzz 那么我們稱那

16、么我們稱f(z)在在z0處連續(xù)，如果處連續(xù)，如果f(z)在區(qū)域在區(qū)域B內(nèi)處處內(nèi)處處連續(xù)，我們就說(shuō)連續(xù)，我們就說(shuō)f(z)在在B內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。 根據(jù)這個(gè)定義和上述定理一，容易證明下面的定理根據(jù)這個(gè)定義和上述定理一，容易證明下面的定理定理三：定理三： 函數(shù)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z=x0+iy0處連續(xù)的充要條件是處連續(xù)的充要條件是u(x,y)和和v(x,y)在在(x0,y0)處連續(xù)。處連續(xù)。 例如：例如：)()ln()(2222yxiyxzf 在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處連續(xù)。在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處連續(xù)。第26頁(yè)/共75頁(yè)第二十七頁(yè)，共76頁(yè)。定理定理(dngl(dngl)四：四：

17、1 1）在）在z0z0連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)f(z)f(z)與與g(z)g(z)的和、差、積、商的和、差、積、商（分母（分母(fnm)(fnm)在在z0z0不為零）在不為零）在z0z0處仍連續(xù)。處仍連續(xù)。2 2）如果函數(shù)）如果函數(shù)(hnsh)h=g(z)(hnsh)h=g(z)在在z0z0連續(xù)連續(xù), ,函數(shù)函數(shù)(hnsh)w=f(h)(hnsh)w=f(h)在在h0=g(z0)h0=g(z0)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)(hnsh)w=f(g(z)(hnsh)w=f(g(z)在在z0z0處連續(xù)。處連續(xù)。 函數(shù)函數(shù)f(z)在曲線在曲線C上上z0點(diǎn)處連續(xù)的意義是指：點(diǎn)處連續(xù)的意義是指

18、：)()(lim00zfzfzzCz 在閉曲線或包括曲線端點(diǎn)在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)在閉曲線或包括曲線端點(diǎn)在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)f(z)，在曲在曲線上是有界的，即存在一正數(shù)，在曲線上恒有線上是有界的，即存在一正數(shù)，在曲線上恒有Mzf)(第27頁(yè)/共75頁(yè)第二十八頁(yè)，共76頁(yè)。1.3 1.3 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(do sh)(do sh)w=f(z)是在是在z點(diǎn)及其鄰域點(diǎn)及其鄰域(ln y)定義的單值函數(shù)定義的單值函數(shù)zzfzzfzzfzz)()(lim)(lim00在在z點(diǎn)存在點(diǎn)存在(cnzi)，并與，并與z - 0的方式無(wú)關(guān)，則的方式無(wú)關(guān)，則dzdfzzfzzfzfz)()(lim)( 0第28頁(yè)/

19、共75頁(yè)第二十九頁(yè)，共76頁(yè)。下面討論下面討論(toln)(toln)復(fù)復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件yvyuiyixviuzfyx00lim)( ),(),()(yxivyxuzfyiviuyx00limxvixuyixviuzfyx00lim)( xviuxy00lim比較比較(bjio)(bjio)兩式有兩式有yvxuxvyu稱為稱為(chn(chn wi) wi)科西科西-黎曼條件（黎曼條件（C.R.C.R.條件）條件）C.R.C.R.條件不是可導(dǎo)條件不是可導(dǎo)的充分條件的充分條件第29頁(yè)/共75頁(yè)第三十頁(yè)，共76頁(yè)。例：證明例：證明(zhngmng) 在在z=0處滿足處滿足

20、C.R.條條件，但在件，但在z=0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo) 證：證：0)0 , 0()0 ,(lim00 xuxuxuzzxyzf)(xyu 0v00zyu00zyv00zxv滿足滿足(mnz)C.R.條件條件在在z=0處處但在但在z=0處，若處，若一定一定(ydng)，00iezizezfsincoslim0隨隨 而變，故而變，故在在z=0處處不可導(dǎo)不可導(dǎo)第30頁(yè)/共75頁(yè)第三十一頁(yè)，共76頁(yè)。下面討論下面討論(toln)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 點(diǎn)可導(dǎo)的充分條件點(diǎn)可導(dǎo)的充分條件證明證明(zhngmng)：1）u,v在在z處滿足處滿足(mnz)C.R.條件條件 2）u,v在在z處

21、有連續(xù)的一階偏微商處有連續(xù)的一階偏微商因?yàn)橐驗(yàn)閡,v在在z處有連續(xù)的一階偏微商，所以處有連續(xù)的一階偏微商，所以u(píng),v 的微分的微分存在存在dyyudxxududyyvdxxvdvidvdudf)()(dyyvdxxvidyyudxxudyyviyudxxvixu)()(由由C.R.條件條件 dyxuiyudxyuixu)()(第31頁(yè)/共75頁(yè)第三十二頁(yè)，共76頁(yè)。此式此式z無(wú)論以什無(wú)論以什么么(shn me)趨于趨于零都存在，零都存在，idvdudfC.R.方程方程(fngchng)的極坐標(biāo)表示：的極坐標(biāo)表示：dyxuiyudxyuixu)()()(idydxyuixuyuixudzdf故故

22、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)當(dāng)考慮當(dāng)考慮z沿徑向沿徑向(jn xin)和沿恒向趨于零和沿恒向趨于零時(shí)，有時(shí)，有vu1vu1第32頁(yè)/共75頁(yè)第三十三頁(yè)，共76頁(yè)。例：試推導(dǎo)例：試推導(dǎo)(tudo)極坐標(biāo)下的極坐標(biāo)下的C.R.方程：方程：方法方法(fngf)一一：vu1vu1當(dāng)分別考慮當(dāng)分別考慮(kol)z沿徑向和沿恒向趨于零沿徑向和沿恒向趨于零時(shí)，時(shí)，iez ),(),()(ivuzf沿沿徑向趨于零徑向趨于零ieivuivudzdf),(),(),(),(lim0),(),(),(),(lim0iievvieuu第33頁(yè)/共75頁(yè)第三十四頁(yè)，共76頁(yè)。),(),()

23、,(),(lim0iievvieuudzdfieviu1)(沿沿恒向趨于零恒向趨于零),(),(),(),(lim0iieivvieiuudzdfieuiv1)1(vu1vu1第34頁(yè)/共75頁(yè)第三十五頁(yè)，共76頁(yè)。方法方法(fngf)二：二：從直角坐標(biāo)從直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)關(guān)系出發(fā)關(guān)系出發(fā)sincosyxyyuxxuusincosyuxuyyvxxvvsincosyvxvsincosxvyvsincosxuyu第35頁(yè)/共75頁(yè)第三十六頁(yè)，共76頁(yè)。sincosxvyvusincosxuyuv同理同理)cossin(yuxuu)sincos(xvyvvvu1vu1第36頁(yè)/

24、共75頁(yè)第三十七頁(yè)，共76頁(yè)。)(2) 1(lim1210nnnzzzznnnz1nnz例：證明例：證明(zhngmng)f(z)=zn在復(fù)平面上每點(diǎn)在復(fù)平面上每點(diǎn)均可導(dǎo)均可導(dǎo)證：證：zzzznnz)(lim0第37頁(yè)/共75頁(yè)第三十八頁(yè)，共76頁(yè)。例：證明例：證明(zhngmng)f(z)=z*在復(fù)平面上均不可導(dǎo)在復(fù)平面上均不可導(dǎo)證：證：zzzzz*0)(limzzz*0limzzyx*00lim1lim00yyyxzzyx*00lim1lim00 xxyx第38頁(yè)/共75頁(yè)第三十九頁(yè)，共76頁(yè)。求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則(fz)(fz)dzdwdzdwwwdzd2121)(dzdwwdzdwwwwd

25、zd122121)()(21wwdzddzdwdwwdFwFdzd)()(222121wwwww第39頁(yè)/共75頁(yè)第四十頁(yè)，共76頁(yè)。例：證明例：證明f(z)=ex(cosy+isiny)在復(fù)平面在復(fù)平面(pngmin)上解析上解析 ，且，且f(z)=f(z)。1.4 1.4 解析解析(ji x)(ji x)函數(shù)函數(shù)若若w=f(z)是在是在z0點(diǎn)及其鄰域點(diǎn)及其鄰域(ln y)上處處可導(dǎo)，稱上處處可導(dǎo)，稱f(z)在在z0解析解析若若w=f(z)是是在在區(qū)域區(qū)域 B上任意點(diǎn)可導(dǎo)，稱上任意點(diǎn)可導(dǎo)，稱f(z)在在區(qū)域區(qū)域 B 解析解析證：證：yevyeuxxsin,cosyexuxcosyeyuxsi

26、nyexvxsinyeyvxcosyieyezfxxsincos)( )(zf滿足滿足C.R.條件條件且一階偏導(dǎo)連續(xù)且一階偏導(dǎo)連續(xù) 第40頁(yè)/共75頁(yè)第四十一頁(yè)，共76頁(yè)。1、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù) 在復(fù)平面定義一個(gè)函數(shù)，滿足在復(fù)平面定義一個(gè)函數(shù)，滿足(mnz)下列下列3個(gè)條件個(gè)條件:i） f(z)在復(fù)平面在復(fù)平面(pngmin)內(nèi)處處解析；內(nèi)處處解析； 我們已經(jīng)證明我們已經(jīng)證明f(z)=ex(cosy+isiny)在復(fù)平面上解析在復(fù)平面上解析，f(z)=f(z)，且且當(dāng)當(dāng)Im(z)=0時(shí)，時(shí)， f(z)=ex。 故定義故定義該函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，記作：該函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，記作：ii） f(z)=f(z

27、)iii）當(dāng)當(dāng)Im(z)=0時(shí)，時(shí)， f(z)=ex,其中其中x=Re(z)sin(cosexpyiyezx等價(jià)于：等價(jià)于：xez |exp|kyzArg2)(exp第41頁(yè)/共75頁(yè)第四十二頁(yè)，共76頁(yè)。)exp(expexp2121zzzz)sin(cos)sin(cosexpexp22112121yiyeyiyezzxx)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx)sin()cos(cos212121yyiyyexx)exp(21zz 用用ez代替代替(dit)expz，但沒有冪的意義，僅僅是符號(hào)，但沒有冪的意義，僅僅是符號(hào)，因此：

28、因此：)sin(cosyiyeexz特別特別(tbi)：當(dāng)：當(dāng)x=0，有：有：yiyeiysincos此函數(shù)的周期為此函數(shù)的周期為2i，因：，因：zizizeeee22第42頁(yè)/共75頁(yè)第四十三頁(yè)，共76頁(yè)。2、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)(du sh hn sh)：我們我們(w men)把滿足方程把滿足方程: ew=z 的函數(shù)的函數(shù) w=f(z) 稱為對(duì)數(shù)函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)ivuw令令：則則：iez iivuee所以所以(suy)：lnuv因此因此：iArgzzw|ln為多值函數(shù)，記：為多值函數(shù)，記：iArgzzLnz|lnArgz取主值取主值argz，則：，則：zizzarg|lnln其它各支為：其它

29、各支為：,.)2, 1( ,2lnkkizLnz當(dāng)當(dāng)z=x0時(shí)，主值時(shí)，主值lnz=lnx即為實(shí)變函數(shù)即為實(shí)變函數(shù)第43頁(yè)/共75頁(yè)第四十四頁(yè)，共76頁(yè)。例：求例：求Ln2, Ln(-1)以及與它們以及與它們(t men)相應(yīng)的主值相應(yīng)的主值L Ln2=ln2+n2=ln2+i i2 2k k, k=0, k=0、1 1、22，主值為主值為ln2ln2kiiLn21ln) 1() 12(ki主值為主值為ln(-1)=iln(-1)=i不難證明不難證明(zhngmng)：,2121LnzLnzzLnz2121LnzLnzzzLn例例：kiiArgLn24|4|ln22,.)21, 0( ,222

30、kkiLn又又：222222LnLnLnLn)22arg|2|(ln2mii,.)21, 0( ,42ln2mmi第44頁(yè)/共75頁(yè)第四十五頁(yè)，共76頁(yè)。解析性：解析性：就主值而言，由反函數(shù)的求導(dǎo)法則就主值而言，由反函數(shù)的求導(dǎo)法則(fz)，可知：，可知：zdwdedzzdw11ln第45頁(yè)/共75頁(yè)第四十六頁(yè)，共76頁(yè)。3、冪函數(shù)：冪函數(shù)：定義定義(dngy)：sLnzsez 1）當(dāng)）當(dāng)s為整數(shù)為整數(shù)(zhngsh)時(shí)：時(shí)：)2(arg|lnkzizssLnzseezksizizse2)arg|(lnksizizsee2)arg|(lnsLnze為單值函數(shù)為單值函數(shù)(hnsh)，否則為多，否則

31、為多值函數(shù)值函數(shù)(hnsh)。 2）當(dāng)）當(dāng)s=p/q時(shí)時(shí), (p和和q為互質(zhì)的整數(shù)，且為互質(zhì)的整數(shù)，且q0)，則具有，則具有q個(gè)個(gè)值，值，k可取可取0,1,2,（q-1）zzz.3）當(dāng)）當(dāng)s=1/n時(shí)：時(shí)：nLnznnzez11第46頁(yè)/共75頁(yè)第四十七頁(yè)，共76頁(yè)。解析性解析性：)()(lnznnez)ln(lnzneznzneznlnznzn1nzn同理可得同理可得：1111)(nnznz例例：求：求21ii和和的值的值1221Lne22kie)22sin()22cos(kikiLniiei )22(kiiie)22(ke,.)2, 1(k,.)2, 1(k第47頁(yè)/共75頁(yè)第四十八頁(yè)，共

32、76頁(yè)。4、三角函數(shù)、三角函數(shù)(snjihnsh)和雙曲函數(shù)：和雙曲函數(shù)：yiyeiysincosyiyeiysincos由此可得：由此可得：2cosiyiyeeyieeyiyiy2sin推廣推廣(tugung)到復(fù)到復(fù)數(shù)，定義：數(shù)，定義：2cosizizeezieeziziz2sin為周期函數(shù)為周期函數(shù)(zhu q hn sh)，周期為周期為2：2)2cos()2()2(zizieez222iziizieeee2izizeezcos同理：同理：zzsin)2sin(容易推出：容易推出：zzcos)cos(zzsin)sin(第48頁(yè)/共75頁(yè)第四十九頁(yè)，共76頁(yè)。解析性：解析性：)2()(c

33、osizizeez2izizieieieeiziz2zsin同理：同理：zzcos)(sin還可得：還可得：zizeizsincos 許多實(shí)數(shù)三角函數(shù)的公式在復(fù)數(shù)許多實(shí)數(shù)三角函數(shù)的公式在復(fù)數(shù)(fsh)領(lǐng)域也成立，領(lǐng)域也成立，例：例：212121sinsincoscos)cos(zzzzzz212121sincoscossin)sin(zzzzzz1cossin22zz由此得：由此得：iyxiyxiyxzsinsincoscos)cos(cosiyxiyxiyxzsincoscossin)sin(sin第49頁(yè)/共75頁(yè)第五十頁(yè)，共76頁(yè)。由定義由定義(dngy)，當(dāng)，當(dāng)z=iy時(shí)：時(shí)：2cos

34、yyeeiychyieeiyyy2sin2yyeeiishyxshyixchyiyxzsincos)cos(cosxshyixchyiyxzcossin)sin(sin其它三角函數(shù)其它三角函數(shù)(snjihnsh)的的定義如下：定義如下：zztgzcossinzzctgzsincoszzcos1sec zzsin1csc 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)(hnsh)的定義如的定義如下：下：2zzeechz2zzeeshz為周期函數(shù)為周期函數(shù),周期為周期為2i, chz為為偶函數(shù)，偶函數(shù)，shz為奇函數(shù)為奇函數(shù)shzchz )(chzshz )(第50頁(yè)/共75頁(yè)第五十一頁(yè)，共76頁(yè)。5、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)(

35、snjihnsh)：設(shè)：設(shè)：wzcos那么那么(n me)稱稱w為為z的反余弦函數(shù)，的反余弦函數(shù)，記作：記作：zArcwcos由：由：)(21cosiwiweewz得得eiw的二次方程的二次方程(r c fng chng)：0122iwiwzee它的根為它的根為：12zzeiw兩端取對(duì)數(shù)，得兩端取對(duì)數(shù)，得：)1(cos2zziLnzArc由于由于：12zz與與12zz互為倒數(shù)，故互為倒數(shù)，故)1(cos2zziLnzArc為多值函數(shù)為多值函數(shù)另另：)1(sin2ziziLnzArcizizLnArctgz1121第51頁(yè)/共75頁(yè)第五十二頁(yè)，共76頁(yè)。例例1：求：求|sin|sinz z| |

36、的值的值cos)(sin)(21xeeixeeyyyy212222cos)(sin)(21|sin|xeexeezyyyy21222222cos)2(sin)2(21xeexeeyyyy)cos(sin2)(212222xxeeyyxshyixchyiyxzcossin)sin(sin2cos2sinyyyyeexieex解：解：第52頁(yè)/共75頁(yè)第五十三頁(yè)，共76頁(yè)。2sin)(21xeeyy0cos)(21xeeyy0cos xkx224yyee例例2：求方程：求方程(fngchng) sinz=2解：解：2cos)(sin)(21sinxeeixeezyyyy第53頁(yè)/共75頁(yè)第五十四頁(yè)

37、，共76頁(yè)。4yyee0142yyee)32ln( y0142yyee或或)32ln( yiyxzkx22)32ln(22ik第54頁(yè)/共75頁(yè)第五十五頁(yè)，共76頁(yè)。解析函數(shù)解析函數(shù)(hnsh)的性的性質(zhì)：質(zhì)： 1、若函數(shù)、若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域在區(qū)域(qy)B上解析，則：上解析，則： u(x,y)=C1 v(x,y)=C2 ( C1, C2為常數(shù)為常數(shù)(chngsh)是是B上兩組正交曲線簇。上兩組正交曲線簇。證：證：曲線曲線 u(x,y)=C1 v(x,y)=C2 的斜率分別為：的斜率分別為：yxuuk1yxvvk2由柯西由柯西-黎曼方程得：黎曼方程得：)/()/(21yxyxvvu

38、ukk)/()/(yyyyvuuv1故正交故正交第55頁(yè)/共75頁(yè)第五十六頁(yè)，共76頁(yè)。 2、后面、后面(hu mian)可證在某區(qū)域上的解析函數(shù)可證在某區(qū)域上的解析函數(shù) ，在該區(qū)域，在該區(qū)域上有任意階導(dǎo)數(shù)。上有任意階導(dǎo)數(shù)。由由C.R.條件條件(tiojin)yvxuxvyu前一式對(duì)前一式對(duì)x 求導(dǎo)，后式對(duì)求導(dǎo)，后式對(duì)y 求導(dǎo)，相加求導(dǎo)，相加02222yuxu同理同理02222yvxv0)(2222uyx0)(2222vyxu(x,y)和和v(x,y)都滿足都滿足(mnz)二維二維 Laplace 方程方程又特別稱為又特別稱為共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)第56頁(yè)/共75頁(yè)第五十七頁(yè)，共76頁(yè)。令：

39、令：kzjyix稱為稱為(chn wi)梯梯度度(gradient)矢量矢量二維二維)()(kzjyixkzjyix222222zyx222222yx三維三維kzfjyfixffLaplace 方程方程(fngchng)表示為：表示為：2222223zyx02 u02 v第57頁(yè)/共75頁(yè)第五十八頁(yè)，共76頁(yè)。例例1：研究：研究(ynji)函數(shù)函數(shù)f(z)=|z|2的解的解析性析性解解：zzzzzzfzzfzz20200000|lim)()(limzzzzzzzz*)*)(lim00000)*(lim000zzzzzz當(dāng)當(dāng)z0=0時(shí)，這個(gè)時(shí)，這個(gè)(zh ge)極限是零。極限是零。當(dāng)當(dāng)z00時(shí)，

40、令時(shí)，令z0+z沿直線沿直線(zhxin)y-y0=k(x-x0)趨于趨于z0yixyixzz *xyixyi11ikik11由于由于k的任意性，此式趨于一個(gè)不確定的任意性，此式趨于一個(gè)不確定的數(shù)，故極限不存在。的數(shù)，故極限不存在。因此，因此， f(z)=|z|2在在z=0處可導(dǎo)，而在處可導(dǎo)，而在其它點(diǎn)都不可導(dǎo)，故處處不解析。其它點(diǎn)都不可導(dǎo)，故處處不解析。第58頁(yè)/共75頁(yè)第五十九頁(yè)，共76頁(yè)。例例2：如果：如果w=u(x,y)+iv(x,y)為解析函數(shù)，那么它一定能單獨(dú)為解析函數(shù)，那么它一定能單獨(dú)(dnd)用用z來(lái)表示。來(lái)表示。證證：如果如果(rgu)把把*)(21zzx*)(21zziy帶

41、入帶入),(),(yxivyxuw那么那么w可看作是可看作是z和和z*的函數(shù)的函數(shù)(hnsh)，只要證明只要證明0*zw)*()*(*zyyvzxxvizyyuzxxuzw)2121()2121(yvixviyuixu)(21)(21yuxviyvxu0第59頁(yè)/共75頁(yè)第六十頁(yè)，共76頁(yè)。若給定一個(gè)二元調(diào)和函數(shù)，可利用若給定一個(gè)二元調(diào)和函數(shù)，可利用(lyng)C.R.條件，求另一條件，求另一共軛調(diào)和函數(shù)，方法如下：共軛調(diào)和函數(shù)，方法如下：C.R.條件條件(tiojin)yvxuxvyu上式為全微分上式為全微分(wi fn)，因?yàn)椋驗(yàn)閐yyvdxxvdv設(shè)已知設(shè)已知 u(x,y)， 求求v(

42、x,y)dyxudxyudv2222)(xuyuyuy)(xux第60頁(yè)/共75頁(yè)第六十一頁(yè)，共76頁(yè)。方法一、曲線方法一、曲線(qxin)積分法（全微分的積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)）積分法（全微分的積分與路經(jīng)無(wú)關(guān)）方法方法(fngf)二、湊全微分顯二、湊全微分顯式法式法方法方法(fngf)三、不三、不定積分法定積分法例：已知解析函數(shù)實(shí)部例：已知解析函數(shù)實(shí)部 u(x,y)=x2-y2,求求 v(x,y)解：解：故故u為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)222yu222xu第61頁(yè)/共75頁(yè)第六十二頁(yè)，共76頁(yè)。u(x,y)=x2-y2xxu2yxv2dyyvdxxvdv方法方法(fngf)一、曲線積分法一、曲線積分法yy

43、u2xyv2xdyydx22)0 ,(x),(yxxy),()0 , 0()22(yxxdyydxv第62頁(yè)/共75頁(yè)第六十三頁(yè)，共76頁(yè)。Cxy 2)0 ,(x),(yxxyCxdyydxvyx),()0 , 0()22(Cxdyydxxdyydxyxxx),()0 ,()0 ,()0 , 0()22()22(第63頁(yè)/共75頁(yè)第六十四頁(yè)，共76頁(yè)。方法方法(fngf)二、湊全微分顯二、湊全微分顯式法式法Cxyv 2xdyydxdv22)2(yxdCxyv 2)2()(22CxyiyxzfiCz 2u(x,y)=x2-y2第64頁(yè)/共75頁(yè)第六十五頁(yè)，共76頁(yè)。方法方法(fngf)三、不定積

44、三、不定積分法分法例例2：已知解析：已知解析(ji x)函數(shù)函數(shù)f(z)的虛部的虛部22),(yxxyxv求實(shí)求實(shí)(qish)部部u(x,y)和這個(gè)解析函數(shù)和這個(gè)解析函數(shù)改用極坐標(biāo)改用極坐標(biāo))cos1 (cosv2sin22sin21v2cos2v按照柯西按照柯西-黎曼方程黎曼方程2cos21u2sin2u)(2cos21fdu)(2cos2f)( 2sin2fu得得：0)( fCf)(第65頁(yè)/共75頁(yè)第六十六頁(yè)，共76頁(yè)。Cu2cos2Cyxx222sin22cos2)(iCzfCi)2sin2(cos2Cz 2第66頁(yè)/共75頁(yè)第六十七頁(yè)，共76頁(yè)。例例3：已知解析：已知解析(ji x)

45、函數(shù)函數(shù)f(z)實(shí)部實(shí)部 求求 v(x,y)解：解：化為極坐標(biāo)求解化為極坐標(biāo)求解(qi ji)uv10)(,)(22222fyxyxu),(),()(ivuzf42222sincosu2)2cos(3)2sin(2uv2)2cos(2dvdvdv第67頁(yè)/共75頁(yè)第六十八頁(yè)，共76頁(yè)。dddv23)2cos(2)2sin(2)2sin(2dCv2)2sin(),(),()(ivuzf2)2cos(uiCizf)2sin()2cos(1)(2iCezfi221)(iCz210)(f0C21)(zzf第68頁(yè)/共75頁(yè)第六十九頁(yè)，共76頁(yè)。1.5 1.5 平面平面(pngmin)(pngmin)標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) 在物理及工程中常常要研究各種各樣的場(chǎng)，如電磁場(chǎng)、聲場(chǎng)等，這些場(chǎng)均依賴于時(shí)間和空間變量。若場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，則稱為恒定場(chǎng)，如靜電場(chǎng)、流體中的定常流速等。若所研究的場(chǎng)在空間的某方向(fngxing)上是均勻的，從而只需要研究垂直于該方向(fngxing)的平面上的場(chǎng)，這樣的場(chǎng)稱為平面場(chǎng)。 考慮平面靜電場(chǎng)，在沒有電荷的區(qū)域，靜電場(chǎng)的電勢(shì)滿足(mnz)二維拉普拉斯方程，這樣，電場(chǎng)所處區(qū)域上的某一解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 的實(shí)部或虛部就可以被用來(lái)表示該區(qū)域上靜電場(chǎng)的電勢(shì)，我們把這一解析函數(shù)叫作該平面靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)。