1、初中數學一題多解與一題多變時代在變遷，教育在進步，理念在更新。前兩年提出考試要改革，有了指導意見，于是一批批探索性、開放性和應用性試題不斷涌現；如今又提出課程要改革，有了課程標準 ，其中突出了學生自主探索的學習過程， 強調應用數學和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)， 鼓勵教師創(chuàng)造性教學，學生學會學習。面臨這種嶄新的教育形勢，我們會思考這樣一些問題：教學要如何從靜態(tài)轉為動態(tài)？怎樣有效地指導學生獨立地分析問題、解決問題，形成有效的學習策略， 提高效益？該如何引導和組織學生從事觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等數學活動，激發(fā)學生的學習興趣和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)新能力？等等。我個人在實際教學過程中，對這些問題作過一些深思

2、和一些嘗試，其中比較突出的是引導學生進行一題多解和一題多變的訓練。下面，我提出幾個實例來分析其引導過程與方法，拋磚引玉，僅供參考。一、一題多解，多解歸一對于 "一題多解 " ，我是從兩個方面來認識和解釋的：其一，同一個問題，用不同的方法和途徑來解決；其二，同一個問題，其結論是A多元的，即結論開放性問題。一題多解，有利于溝通各知識的內涵和外延，深化知識，培養(yǎng)發(fā)散性和創(chuàng)造性思維；多解歸一，有利于提煉BDEC分析問題和解決問題的通性、通法，從中擇優(yōu)，培養(yǎng)聚合思維。例 1：如圖，已知 D、E 在 BC 上， AB=AC ，AD=AE ，求證： BD=CE.（本題來自幾何第2 冊 6

3、9 頁例 3）思路與解法一：從 ABC 和 ADE 是等腰三角形這一角度出發(fā)，利用"等腰三角形底邊上的三線合一 " 這一重要性質，便得三種證法，即過點 A 作底邊上的高，或底邊上的中線或頂角的平分線。其通法是 " 等腰三角形底邊上的三線合一 "，證得 BH=CH.思路與解法二： 從證線段相等常用三角形全等這一角度出發(fā)， 本題可設法證 ABD ACE 或證 ABE ACD ，于是又得兩種證法，而證這兩對三角形全等又都可用 AAS 、ASA 、SAS 進行證明，所以實際是六種證法。其通性是 "全等三角形對應邊相等 "。思路與解法三： 從等

4、腰三角形的軸對稱性這一角度出發(fā)， 于是用疊合法可證。例 2：已知，如圖，在 O 中， AD 是直徑， BC 是弦， AD BC，E為垂足，由這些條件你能推出哪些結論？（要求：不添加輔助線，不添加字母，不寫推理過程）OEBC思路與解法一：從相等的線段這一角度出發(fā)，可得如下結論：D1.OA=OD ；2.BE=CE；3.AB=AC ；4.BD=CD.思路與解法二：從相等的角這一角度出發(fā)，可得如下結論：1.AEC= AEB= BED= CED =ABD= ACD=Rt ；2.ABC= ACB ；3.DBC= DCB；4.BAD= CAD ；5.BDA= CDA ；6.BAD= BCD；7.CBD= C

5、AD ；8.ABC= ADC ；9.ACB= ADB.思路與解法三：從相等的弧這一角度出發(fā)，可得如下結論：1.弧 AB= 弧 AC；2.弧 BD= 弧 CD；3.弧 ABD= 弧 ACD ；4.弧 ABC= 弧 ACB ；5.弧 BAD= 弧 DAC.思路與解法四：從全等三角形這一角度出發(fā)，可得如下結論：1.AEB AEC；2.BED CED；3.ABD ACD.思路與解法五：從相似三角形這一角度出發(fā)，可得如下結論： ABE ACE CDE BDE ABD ACD ，即圖中所有的直角三角形兩兩相似。思路與解法六：從比例線段這一角度出發(fā)，可得如下結論：1.AE·DE=EB ·

6、EC2.2BE2=EA ·ED=EC3.AB 22=AE·AD=AC4.BD22=DE·DA=DC思路與解法七：從其它一些角度去思考，還可得如下一些結論：1. AE2+BE2=AB 2=AC 2=AE 2+EC22. BE2+ED2=BD 2=CD2=CE2+DE23. BAC+ BDC=180o4. BAE+ ABE=90 o5.S四邊形 ABCD1AD BC26.S弓形 ABCS弓形 ACB以上兩例分別從解法和結論發(fā)散性地分析與解決問題，其中例 2 雖然不要求寫推理過程， 但實際在分析過程中蘊含著異常豐富的思維和推斷過程，如此便能很好地鍛煉觀察、猜想、推斷、驗

7、證等探求能力和有效地發(fā)展創(chuàng)造性思維能力。二、一題多變，多題歸一知識是靜態(tài)的，思維是活動的；例、習題是固定的，而它的變化卻是無窮的。我們可以通過很多途徑對課本的例、習題進行變式，如：改變條件、改變結論、改變數據或圖形；條件引申或結論拓展；條件開放或結論開放或條件、結論同時開放等。通過一題多變、多題歸一的訓練，可以把各個階段所學的知識、 知識的各個方面緊密聯系起來，加深對知識的理解， 認識和體會數學是一個整體， 但更重要的是可以起到以一當十，解一道題懂一類題，提高效率的目的，激發(fā)學生的學習興趣、創(chuàng)新意識和探索精神，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力，學會學習。例 3：已知，如圖， AB 是 O 的直徑， CD 是

8、弦， AECD，垂足為E，BFCD，垂足為 F，求證： EC=DF.BOAGECDF變式一：如圖，已知 AB 是 O 的直徑， CD 是弦， AECD 于 E， BFCD 于 F，BF 交 O 于 G，下面的結論： 1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB 中，正確的有（ ）A.1、4B.2、3、4C.1、2、3D.1、2、3、4BOAGECDF變式二：把直線EF 和直徑 AB 的相對位置加以變化，即圖形變化，條件和結論均不變，便得新題，變化后的圖形如下：AOFCDEB變式三：把直線EF 和圓的位置關系由一般的相交變?yōu)橄嗲?，即圖形特殊化處理，原題可以引申為：如圖，直

9、線MN 和 O 切于點 C，AB 是 O 的直徑， AC 是弦， AEMN 于 E，BFMN 于 F，BAMNECF（ 1）求證： AC 平分 BAE ；（ 2）求證： AB=AE+BF ；（ 3）求證： EF 2 4EA BF（ 4）如果 O 的半徑為 5，AC=6，試寫出以 AE、BF 的長為根的一元二次方程 .變式四：把直線 EF 動起來，由相切變?yōu)橄嘟?，在運動變化過程中猜想并推斷原有的結論是否仍成立， 即把原來的封閉型試題演變?yōu)閯討B(tài)幾何探索題。題目如下：OBBOAOAllEFE C1C 2 F（ 1）如圖，AB 是 O 的直徑，直線 L 與 O 有一個公共點 C，過 A、 B 分別作 L 的垂線，垂足為 E、 F，則 EC=CF.（2）上題中當直線 L 向上平行移動時，與 O 有了兩個交點C1 、C2 ，其它條件不變，如圖，經過推證，我們會得到與原題相應的結論： EC1=FC2；（3）把 L