1、二limXrXof (x) - f (Xo)X一Xo導數(shù)與微分引言導數(shù)與微分是數(shù)學分析的基本概念之一。導數(shù)與微分都是建立在函數(shù)極限的基礎之上的。導數(shù)的概念在 于刻劃瞬時變化率。微分的概念在于刻劃瞬時改變量。求導數(shù)的運算被稱為微分運算，是微分學的基本運算，也是積分的重要組成部分。本章主要內(nèi)容如下：1.1.以速度問題為背景引入導數(shù)的概念，介紹導數(shù)的幾何意義；2.2.給出求導法則、公式，繼而引進微分的概念；3.3.討論高階導數(shù)、高階微分以及參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導法。4.4.可導與連續(xù)，可導與微分的關系。導數(shù)的概念教學內(nèi)容：導數(shù)的定義、幾何意義，單側(cè)導數(shù)，導函數(shù)，可導與連續(xù)的關系，函數(shù)的極值。教學目

2、的：深刻理解導數(shù)的概念，能準確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)的導數(shù)；知道導數(shù)與導函數(shù)的相互聯(lián)系和區(qū)別；明確導數(shù)與單側(cè)導數(shù)、可導與連 續(xù)的關系；能利用導數(shù)概念解決一些涉及函數(shù)變化率的實際應用問題；會求曲線上一點處的切線 方程；清楚函數(shù)極值的概念，并會判斷簡單函數(shù)的極值。教學重點：導數(shù)的概念，幾何意義及可導與連續(xù)的關系。教學難點：導數(shù)的概念。教學方法：講授與練習。學習學時：3 3 學時。一、導數(shù)的定義：1 1 .引入(背景):導數(shù)的概念和其它的數(shù)學概念一樣是源于人類的實踐。導數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學家費馬(FermatFermat)為研究極值問題而引入的，

3、后來英國數(shù)學家牛頓(NewtNewt onon )在研究物理問題變速運動物體的瞬時速度，德國數(shù)學家萊布尼茲(LeibuizLeibuiz )在研究幾何問題曲線切線的斜率問題中，都采用了相同的研究思想。這個思想歸結到數(shù)學上來，就是我們將要學習的導數(shù)。在引入導數(shù)的定義前，先看兩個與導數(shù)概念有關的實際問題。問題 1 1。直線運動質(zhì)點的瞬時速度：設一質(zhì)點作直線變速運動，其運動規(guī)律為s二s(t)，若t0為某一確定時刻，求質(zhì)點在此時刻時的瞬時速度。取臨近于to時刻的某一時刻t,則質(zhì)點在to,t1或t,t0 1時間段的平均速度為：v =S(t)_嚴)t f當t越接近于to，平均速度就越接近于to時刻的瞬時速

4、度，于是瞬時速度：vrlimdf t -1。問題 2 2。曲線上一點處切線的斜率：已知曲線方程為y = f(x)，求此曲線在點P(x0,y0)處的切線。f(X)- f(x0)在曲線上取臨近于P點的某點Q(x,y)，則割線PQ的斜率為：k二tan-,X X。當Q越接近于P，割線PQ斜率就越接近于曲線在點P處的斜率，于是曲線在點P處的斜率:2 2 .導數(shù)的定義：以上兩個問題的實際意義雖然不同，但從數(shù)學角度來看，都是特殊形式的函數(shù)的極限。f ( x) _ f ( x)定義 1 1 設函數(shù)y =f(x)在xo的某鄰域內(nèi)有定義，若極限lim-存在，則稱函數(shù)f在點x。7X X。處可導，并稱該極限為f在點x

5、處的導數(shù)，記作f(x)或dy.dxx仝定義 1 1 令LX =x - x,二y = f (x* =x) - f (x)，則上述定義又可表示為：即：函數(shù)在一點處函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比當自變量改變量趨于零時的極限。2f (x)f (1)x21f (1) Timlimlim (x 1) =2;XTx 1J x 1解：f (0) = limf(X)匕0 = lim xs i rr = 0. tx 0T x例 3.3.已知函數(shù)f (x) = x，求f(0).故函數(shù)f (x) = x在點x =0處不可導。例 4 4已知函數(shù)f (x) =3X,求f(0).、導數(shù)的幾何意義:通過對引例 2 2 我

6、們已經(jīng)看到，已知曲線方程y = f(x)，若f(x)在點X?？蓪В敲辞€y = f(x)f(x)=：ydxJimJimf(xrx)-f(x)例 1 1.2 已知函數(shù)f(X)二X，求f (1).解:或f(1)lim.X jf (1：x) - f (1)Zlim.X)2(1：x )-1Z=lim (：x 2) =2。.x例 2 2.已f (X)2 . 1 xsin一rx .xF，求f().x = 0X:1x -1解:f(x)-f(0)x -0 x 0 x : 0f(x)- f(0)x -0不存在解：f(X)X在點X = 0處不可導。f(x) -f(0)x -0在點X0, f(X0)存在切線，并且

7、切線斜率為f(X。)。注：若曲線y=f(x)在點Xo, f(xo)存在切線，那么f (x)在點Xo可導嗎？(不一定，如y=x3在0點)。=limy一y(1)= limXlim (x2x 1) = 3,X空X1x1Xx1XI1.切線方程：y-1=3(x1)，即：3x-y 2=0;1法線方程：y-1(x-1)，即：x，3y-4=0.3三、可導與連續(xù)的關系：1 1 .定理 5.15.1 若函數(shù)f在點Xo可導，貝U f在點Xo連續(xù)。證明：函數(shù)f在點Xo可導，由導數(shù)定義知忸站.啊.啊 啊*f所以f在點Xo連續(xù)(P69P69 最下式)。2 2 .若函數(shù)f在點Xo連續(xù)，則f在Xo不一定可導。切線方程(點斜式

8、):y - y= f (xo)(x -xo)；法線方程 (點斜式):y一yo1(X - Xo)。f (Xo)例 5 5.求曲線y二X在點P(1,1)處切線與法線方程。解:dy0 = 0,其中 D(X)為狄利克雷函數(shù)：D(x)=1當X為有理數(shù)o當x為無理數(shù)。f 0=oo連續(xù)，但是不可導。證明：當xo=0時，由歸結原則可得函數(shù)f(x)=X2D(X)在點x = xo不連續(xù)，所以由定理 5.15.1x處不可導;便知它在四、單則導數(shù):若只研究函數(shù)在某一點X。右鄰域(左鄰域)上的變化率，只需討論導數(shù)定義中極限的右極限(左極限)，于是我們引入單則導數(shù)的概念。仁定義：定義 2 2 若函數(shù)f (x)在U .(x

9、0)有定義，定義右導數(shù)為:若函數(shù)f (x)在U_(x0)有定義，定義左導數(shù)為:右導數(shù)和左導數(shù)統(tǒng)稱為單則導數(shù)。2 2 由左、右極限與極限之間的關系容易得到左、右導數(shù)與導數(shù)之間有如下關系:定理 5.25.2 函數(shù)f (x)在點x0可導，且f (x0)函數(shù)所以f (0) = lim -=limATG4s4s0 0十A Ax xf(X)- f (0)當X0=。時，衛(wèi))勺x_二lim xD(x)二0, 說明它在x0=0處可導;綜上便知函數(shù)f(x)=X2D(X)僅在點x0=0處可導。f.(X0)=limf(X)=limf(X0f(X0)；.J0f(X0)=li= lim_f(X0Sf(x0)x_x0f (

10、x)在點x0即左可導又右可導，且f Xxo) = f (x)=a.例 7 7 設函數(shù)f (x)=丿1 cosxx _ 0，討論函數(shù)f (x)在點x : 0 x二0處的左、右導數(shù)與導數(shù)。解：由于何*f(0)1 - cos=xAX12sin2空2f(0) = lim由定理 5.25.2 可知函數(shù)在點X = 0處不可導。五、導函數(shù)：仁可導函數(shù):若函數(shù)f在區(qū)間I上每一點都可導(對區(qū)間端點，僅考慮單側(cè)導數(shù))，則稱f為I上的可導函數(shù)。2 2 導函數(shù):區(qū)間I上的可導函數(shù)f，對每一X，I，都有一個導數(shù)(或單則導數(shù))與之對應，這樣定義了一個在上的函數(shù)，稱之為函數(shù)f在區(qū)間I上的導函數(shù)，簡稱為導數(shù)，記作即：f如啊f

11、(x7f(x),x I(求解時只需將x看作固定常量即可)。f(x),y,箋dx dx例8.求以下函數(shù)的導數(shù)(以下結果需熟記)：(1)常函數(shù)f (x)二三角函數(shù)f (x) = sin x, f (x) = cosx；(3)對數(shù)函數(shù)f (x) rlogax(a 0, a = 1, X . 0). .f(x，x)X二啊甘=0=0，即：2 2 ；XLXf(x：=x)_f(x) si n( x：x)_si nx2cos(x三)n_2limlim J0 xJ0 x(2)sinx=啊xLXsin2Ax二嘰 Wcos(xQ)=cosx,LX即：sin X i；=cosx；類似可求出:cosx二-sin x.

12、.(3)logax二f(X .：x)X= ljmloga(X：X)-|ogaX=|jm丄logad)二0LX0LXX1Ax 1二l.imologa(1)x- logae，XxXX即11logaXlogae,lnxxx六、函數(shù)極值：1 1 .極值定義：定義 3 3 若函數(shù)f在點X。的某鄰域U(x。)內(nèi)對一切x運U(x。)有f(x)Kf(x)(f(x)Ef(x),則稱函數(shù)f在點X0取得極大(小)值，稱點X0為極大(小)值點，稱f(X)為極大(小)值, 極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。說明：極值為局部概念，極值與極值點均可以有多個；最值為整體概念，若存在則必唯一;定理 5.

13、45.4（達布定理，導函數(shù)的介值定理）若函數(shù)f在a,b 1上可導,極值不可能在一區(qū)間端點取得，只能在區(qū)間內(nèi)部取得；最值無此限制;若f在點X0取得最值，當X0為區(qū)間端點時，則此最值不是極值，但當X0為區(qū)間內(nèi)部的點時,則此最值一定是極值。2 2 .費馬（FermatFermat）定理:從圖象上可以x0為函數(shù)f的極值點，且點x0, f （x0）處曲線的切線存在（f在x0點可導），那么此切線應平行于x軸（f（X。）=0）。從而有:定理 5.35.3 （費馬定理）若點X。為函數(shù)f的極值點，且f在X。點可導，則必有f（x）=：0.證明：這里以極大值的情形給予證明，對極小值情形類似可證之。設X0為函數(shù)f的極大值點，則對一切U（X0）都有f（x）_f（x），于曰是，當x X0時：f(X)f(X0)“ ;當X時：f(X)f(X0)_0.X _Xox x由函數(shù)極限的保不等式性fb_F(x + Ax)-F(x)f(x + Z)-k(x +也x)】一f(x)-kx】F (x)二limlim-0AxIAxf (x =x) - f (x) 1 - k=x -.(1)式說明：U (a) a,b 1,對一切U (a)都有F(x)-F(a)，所以卩，F(xiàn)(a),x a