1、第3課時定點、定值、探索性問題題型一定點問題例1(2016·長沙模擬)已知橢圓1(a>0，b>0)過點(0,1)，其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點Q、P，與橢圓分別交于點M、N，各點均不重合且滿足1，2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若123，試證明：直線l過定點并求此定點(1)解設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.橢圓的方程為y21.(2)證明由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)l方程為xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0

2、x1，y1)，y1my11，由題意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，聯(lián)立得(t23)y22mt2yt2m230，由題意知4m2t44(t23)(t2m23)>0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由題意mt<0，mt1，滿足，得直線l方程為xty1，過定點(1,0)，即Q為定點思維升華圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)(2017·河北衡

3、水中學(xué)調(diào)研)如圖，已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e，F(xiàn)是右焦點，A是右頂點，B是橢圓上一點，BFx軸，|BF|.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l：xty是橢圓C的一條切線，點M(，y1)，點N(，y2)是切線l上兩個點，證明：當(dāng)t，變化時，以MN為直徑的圓過x軸上的定點，并求出定點坐標(biāo)解(1)由題意設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，焦點F(c,0)，因為，將點B(c，)的坐標(biāo)代入方程得1.由結(jié)合a2b2c2，得a，b1.故所求橢圓方程為y21.(2)由得(2t2)y22ty220.因為l為切線，所以(2t)24(t22)(22)0，即t2220.設(shè)圓與x軸的交點為T(

4、x0,0)，則(x0，y1)，(x0，y2)因為MN為圓的直徑，故·x2y1y20.當(dāng)t0時，不符合題意，故t0.因為y1，y2，所以y1y2，代入結(jié)合得·，要使上式為零，當(dāng)且僅當(dāng)x1，解得x0±1.所以T為定點，故動圓過x軸上的定點(1,0)與(1,0)，即橢圓的兩個焦點題型二定值問題例2橢圓有兩頂點A(1，0)，B(1,0)，過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C，D兩點，并與x軸交于點P.直線AC與直線BD交于點Q.(1)當(dāng)|CD|時，求直線l的方程；(2)當(dāng)點P異于A，B兩點時，求證：·為定值(1)解橢圓的焦點在y軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(

5、a>b>0)，由已知得b1，c1，a，橢圓的方程為x21.當(dāng)直線l的斜率不存在時，|CD|2，與題意不符；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為ykx1，C(x1，y1)，D(x2，y2)聯(lián)立化簡得(k22)x22kx10, 則x1x2，x1·x2.|CD|·，解得k±.直線l的方程為xy10或xy10.(2)證明當(dāng)直線l的斜率不存在時，與題意不符當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為ykx1(k0，k±1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，點P的坐標(biāo)為(，0)由(1)知x1x2，x1x2，且直線AC的方程為y(x1)，直線BD的方程為y

6、(x1)，將兩直線方程聯(lián)立，消去y，得.1<x1<1，1<x2<1，與異號，()2·()2，y1y2k2x1x2k(x1x2)1k2()k()1，與y1y2異號，與同號，解得xk，故點Q的坐標(biāo)為(k，y0)，·(，0)·(k，y0)1，故·為定值思維升華圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點到直線的距離為定值利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值利用長度公式求得解析式，再依

7、據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得 (2016·珠海模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點F(，0)，直線l：x，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQFP，PQl.(1)求動點Q的軌跡C的方程；(2)設(shè)圓M過A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運動時，弦長|TS|是否為定值？請說明理由解(1)依題意知，點R是線段FP的中點，且RQFP，RQ是線段FP的垂直平分線點Q在線段FP的垂直平分線上，|PQ|QF|，又|PQ|是點Q到直線l的距離，故動點Q的軌跡是以F為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y22x(x>0)(2)弦長|TS|為定

8、值理由如下：取曲線C上點M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d|x0|x0，圓的半徑r|MA|，則|TS|22，點M在曲線C上，x0，|TS|22是定值題型三探索性問題例3 (2015·四川)如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，點P(0,1)在短軸CD上，且·1.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點P的動直線與橢圓交于A，B兩點是否存在常數(shù)，使得··為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由解(1)由已知，點C，D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)，又點P的坐標(biāo)為(0,1)，且·1，于是解得a2，b，所以橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)

9、直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立得(2k21)x24kx20，其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，從而，··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以當(dāng)1時，23，此時··3為定值當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，此時，····213.故存在常數(shù)1，使得··為定值3.思維升華解決探索性問題的注意事項探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論

10、，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法(2016·紹興教學(xué)質(zhì)量調(diào)測)已知A(1,2)，B(，1)是拋物線y2ax(a>0)上的兩個點，過點A，B引拋物線的兩條弦AE，BF.(1)求實數(shù)a的值；(2)若直線AE與BF的斜率互為相反數(shù)，且A，B兩點在直線EF的兩側(cè)，直線EF的斜率是否為定值？若是，求出該定值，若不是，說明理由解(1)把點A(1,2)代入拋物線方程得a4.(2)直線EF的斜率是定值，理由如

11、下：設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，直線AE：yk(x1)2，則直線BF：yk(x)1，聯(lián)立方程組消去y，得k2x2(4k2k24)x(2k)20，x1，y1k(x11)2，E(，)，聯(lián)立方程組消去y，得k2x2(k22k4)x(1k)20，x2，x2，y2k(x2)1，得F(，)故kEF4.25設(shè)而不求，整體代換典例(15分)橢圓C：1(a>b>0)的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.(1)求橢圓C的方程；(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2，設(shè)F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0)，

12、求m的取值范圍；(3)在(2)的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，若k20，證明為定值，并求出這個定值思想方法指導(dǎo)對題目涉及的變量巧妙地引進參數(shù)(如設(shè)動點坐標(biāo)、動直線方程等)，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進行整體代換，達到“設(shè)而不求，減少計算”的效果，直接得定值規(guī)范解答解(1)由于c2a2b2，將xc代入橢圓方程1，得y±.由題意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以橢圓C的方程為y21.4分(2)設(shè)P(x0，y0)(y00)，又F1(，0

13、)，F(xiàn)2(，0)，所以直線PF1，PF2的方程分別為：y0x(x0)yy00，：y0x(x0)yy00.由題意知 .由于點P在橢圓上，所以y1.所以.8分因為<m<，2<x0<2，可得，所以mx0，因此<m<.10分(3)設(shè)P(x0，y0)(y00)，則直線l的方程為yy0k(xx0)聯(lián)立得整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0.12分由題意0，即(4x)k22x0y0k1y0.又y1，所以16yk28x0y0kx0，故k.由(2)知，所以·8，因此為定值，這個定值為8.15分1(2016·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬

14、)已知拋物線x24y的焦點為F，A，B是拋物線上的兩個動點，且(>0)過A，B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M.(1)證明：·為定值；(2)設(shè)ABM的面積為S，求S的最小值(1)證明設(shè)直線AB的方程為ykx1，與拋物線x24y聯(lián)立得x24kx40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因此x1x24k，x1x24，由直線AMyx，直線BMyx得M(，)，即M(2k，1)，所以·(2k，2)·(x2x1，)(2k，2)·(4，4k)0.(2)解|AB|4(k21)，點M到直線AB的距離為d2，所以S·4(k21)·24，所以S

15、的最小值為4.2(2016·余姚第一次質(zhì)量檢測)橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，點(，)為橢圓上的一點(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為k的直線l過點A(0,1)，且與橢圓E交于C，D兩點，B為橢圓E的下頂點，求證：對于任意的k，直線BC，BD的斜率之積為定值(1)解因為e，所以ca，a2b2(a)2.又橢圓過點(，)，所以1.由，解得a26，b24，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明設(shè)直線l：ykx1，聯(lián)立得(3k22)x26kx90.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2，x1x2，易知B(0，2)，故kBC·kBD·

16、3;k2k23k·(3k22)2.所以對于任意的k，直線BC，BD的斜率之積為定值3(2017·杭州質(zhì)檢)設(shè)直線l與拋物線x22y交于A，B兩點，與橢圓1交于C，D兩點，直線OA，OB，OC，OD(O為坐標(biāo)原點)的斜率分別為k1，k2，k3，k4.若OAOB.(1)是否存在實數(shù)t，滿足k1k2t(k3k4)，并說明理由；(2)求OCD面積的最大值解設(shè)直線l的方程為ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)聯(lián)立得x22kx2b0，則x1x22k，x1x22b，14k28b>0.因為OAOB，所以x1x2y1y20，得b2.聯(lián)立得(3

17、4k2)x216kx40，所以x3x4，x3x4，由2192k248>0得k2>.(1)存在實數(shù)t.因為k1k2k，k3k46k，所以，即t.(2)根據(jù)弦長公式|CD|x3x4|得|CD|4··，根據(jù)點O到直線CD的距離公式得d，所以SOCD|CD|·d4·，設(shè)t>0，則SOCD，所以當(dāng)t2，即k±時，SOCD有最大值.4(2016·贛州一模)已知橢圓C：1(a>b>0)與雙曲線1(1<v<4)有公共焦點，過橢圓C的右頂點B任意作直線l，設(shè)直線l交拋物線y22x于P，Q兩點，且.(1)求橢圓C

18、的方程；(2)在橢圓C上，是否存在點R(m，n)使得直線l：mxny1與圓O：x2y21相交于不同的兩點M，N，且OMN的面積最大？若存在，求出點R的坐標(biāo)及對應(yīng)的OMN的面積；若不存在，請說明理由解(1)1<v<4，雙曲線的焦點在x軸上，設(shè)焦點F(±c,0)，則c24vv13，由橢圓C與雙曲線共焦點，知a2b23，設(shè)直線l的方程為xtya，代入y22x，可得y22ty2a0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y22t，y1y22a，x1x2y1y2a22a0，a2，b1，橢圓C的方程為y21.(2)在MON中，SOMN·|OM|·|ON|·sinMONsinMON.當(dāng)MON90°時，sinMON有最大值，此時點O到直線l的距離為d，m2n22.又m24n24，聯(lián)立解得m2，n2，此時點R的坐標(biāo)為或，MON的面積為.*5.已知橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：x324y204(1)求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在直線l滿足條件：過C2的焦點F；與C1交于不同的兩點M，N，且滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解(1)設(shè)拋物線C2：y22px(p0)，則有2p(x0)，據(jù)此驗證四個點知(3，2)，(4,4)