1、彈性力學與有限元分析復習題及其答案一、填空題1、彈性力學研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、形變和位移。2、在彈性力學中規(guī)定，線應變以伸長時為正，縮短時為負，與正應力的正負號規(guī)定相適應。3、在彈性力學中規(guī)定，切應變以直角變小時為正，變大時為負，與切應力的正負號規(guī)定相適應。4、物體受外力以后，其內部將發(fā)生內力，它的集度稱為應力。與物體的形變和材料強度直接有關的，是應力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應力和切應力。應力及其分量的量綱是L-1MT-2。5、彈性力學的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應力問題和平面應變問題。7

2、、已知一點處的應力分量MPa，MPa， MPa，則主應力150MPa，0MPa，。8、已知一點處的應力分量， MPa，MPa， MPa，則主應力512 MPa，-312 MPa，-3757。9、已知一點處的應力分量，MPa，MPa， MPa，則主應力1052 MPa，-2052 MPa，-8232。10、在彈性力學里分析問題，要考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程。11、表示應力分量與體力分量之間關系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系式。分為位移邊界條件、應力邊界條件和混合邊界條件。13、按應力求解平面問題時常采用逆解法和半逆解法

3、。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結構，然后再用結構力學位移法進行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、每個單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個單元的應變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點的位置坐標有關的，是各點不相同的，即所謂變量應變；另一部分是與位置坐標無關的，是各點相同的，即所謂常量應變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應變，還應當盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標的單值

4、連續(xù)函數，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們在公共結點處具有相同的位移時，也能在整個公共邊界上具有相同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數Ni在i結點Ni=1；在其他結點Ni=0及Ni=1。20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便較好地反映位移和應力變化情況；二是采用包含更高次項的位移模式，使位移和應力的精度提高。二、判斷題（請在正確命題后的括號內打“”，在錯誤命題后的括號內打“”）1、連續(xù)性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙。（）5、如果某一問題中，只存在平面應力分量，且它們不沿z方向變化，僅為x，

5、y的函數，此問題是平面應力問題。（）6、如果某一問題中，只存在平面應變分量，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數，此問題是平面應變問題。（）9、當物體的形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。（）10、當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。（）14、在有限單元法中，結點力是指結點對單元的作用力。（）15、在平面三結點三角形單元的公共邊界上應變和應力均有突變。（ ）三、分析計算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應力分量是否可能在彈性體中存在。（1），；（2），；其中，A，B，C，D，E，F為常數。解：應力分量存在的必要條件是必須滿足下列

6、條件：（1）在區(qū)域內的平衡微分方程；（2）在區(qū)域內的相容方程；（3）在邊界上的應力邊界條件；（4）對于多連體的位移單值條件。（1）此組應力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F，D=-E。此外還應滿足應力邊界條件。（2）為了滿足相容方程，其系數必須滿足A+B=0；為了滿足平衡微分方程，其系數必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應力分量不可能存在。2、已知應力分量，體力不計，Q為常數。試利用平衡微分方程求系數C1，C2，C3。解：將所給應力分量代入平衡微分方程得即由x，y的任意性，得由此解得，3、已知應力分量，判斷該應力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知

7、應力分量，代入平衡微分方程可知，已知應力分量，一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計時才滿足。按應力求解平面應力問題的相容方程：將已知應力分量，代入上式，可知滿足相容方程。按應力求解平面應變問題的相容方程：將已知應力分量，代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問題的應變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應變分量是否可能存在。（1），；（2），；（3），；其中，A，B，C，D為常數。解：應變分量存在的必要條件是滿足形變協調條件，即將以上應變分量代入上面的形變協調方程，可知：（1）相容。（2）（1分）；這組應力分量若存在，則須滿足：B=0，2A=C。（3）0=C；這組應力分量若存在，則

8、須滿足：C=0，則，（1分）。5、證明應力函數能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計，）。l/2l/2h/2h/2yxO解：將應力函數代入相容方程可知，所給應力函數能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為，對于圖示的矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應力時，根據邊界條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊，；右邊，?？梢?，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應力函數能解決矩形板在x方向受均布拉力（b0）和均布壓力（b0）的問題。6、證明應力函數能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題（

9、體力不計，）。l/2l/2h/2h/2yxO解：將應力函數代入相容方程可知，所給應力函數能滿足相容方程。由于不計體力，對應的應力分量為，對于圖示的矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應力時，根據邊界條件，上下左右四個邊上的面力分別為：上邊，；下邊，；左邊，；右邊，?？梢?，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a。因此，應力函數能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅柱，密度為，在一邊側面上受均布剪力，試求應力分量。Oxybqrg 解：根據結構的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設。由此可知 將上式對y積分兩次，可得如下應力函數表

10、達式 將上式代入應力函數所應滿足的相容方程則可得這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數多的解（全柱內的y值都應該滿足它），可見它的系數和自由項都應該等于零，即， 這兩個方程要求， 代入應力函數表達式，并略去對應力分量無影響的一次項和常數項后，便得對應應力分量為 以上常數可以根據邊界條件確定。左邊，沿y方向無面力，所以有右邊，沿y方向的面力為q，所以有上邊，沒有水平面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即將的表達式代入，并考慮到C=0，則有而自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即， 將的表達式代入，則有由此可得，應力分量為

11、, , 雖然上述結果并不嚴格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠離y=0處這一結果應是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢函數，則應力分量亦可用應力函數表示為，試導出相應的相容方程。證明：在體力為有勢力的情況下，按應力求解應力邊界問題時，應力分量，應當滿足平衡微分方程（1分）還應滿足相容方程（對于平面應力問題）（對于平面應變問題）并在邊界上滿足應力邊界條件（1分）。對于多連體，有時還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為這是一個齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個方程改寫為根據微分方程理論，一定

12、存在某一函數A（x，y），使得，同樣，將第二個方程改寫為（1分）可見也一定存在某一函數B（x，y），使得，由此得因而又一定存在某一函數，使得，代入以上各式，得應力分量，為了使上述應力分量能同量滿足相容方程，應力函數必須滿足一定的方程，將上述應力分量代入平面應力問題的相容方程，得簡寫為將上述應力分量代入平面應變問題的相容方程，得簡寫為9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純三次的應力函數求解。Oxyarg解：純三次的應力函數為相應的應力分量表達式為, , 這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F在來考察，如果適當選擇各個系數，是否能滿足應力邊界條件。上邊，沒有水平面力，所

13、以有對上端面的任意x值都應成立，可見同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有對上端面的任意x值都應成立，可見因此，應力分量可以簡化為，斜面，沒有面力，所以有由第一個方程，得對斜面的任意x值都應成立，這就要求由第二個方程，得對斜面的任意x值都應成立，這就要求（1分）由此解得（1分），從而應力分量為, , 設三角形懸臂梁的長為l，高為h，則。根據力的平衡，固定端對梁的約束反力沿x方向的分量為0，沿y方向的分量為。因此，所求在這部分邊界上合成的主矢應為零，應當合成為反力。可見，所求應力分量滿足梁固定端的邊界條件。10、設有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角，下端作為無限長，承受重力及液體壓力，楔形

14、體的密度為，液體的密度為，試求應力分量。r2gr1gayxO解：采用半逆解法。首先應用量綱分析方法來假設應力分量的函數形式。取坐標軸如圖所示。在楔形體的任意一點，每一個應力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應當與成正比（g是重力加速度）；另一部分由液體壓力引起，應當與成正比。此外，每一部分還與，x，y有關。由于應力的量綱是L-1MT-2，和的量綱是L-2MT-2，是量綱一的量，而x和y的量綱是L，因此，如果應力分量具有多項式的解答，那么它們的表達式只可能是，四項的組合，而其中的A，B，C，D是量綱一的量，只與有關。這就是說，各應力分量的表達式只可能是x和y的純一次式。其次，由應力函數與應

15、力分量的關系式可知，應力函數比應力分量的長度量綱高二次，應該是x和y純三次式，因此，假設相應的應力分量表達式為, , 這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。現在來考察，如果適當選擇各個系數，是否能滿足應力邊界條件。左面，作用有水平面力，所以有對左面的任意y值都應成立，可見同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有對左面的任意y值都應成立，可見因此，應力分量可以簡化為，斜面，沒有面力，所以有由第一個方程，得對斜面的任意y值都應成立，這就要求由第二個方程，得對斜面的任意x值都應成立，這就要求由此解得，從而應力分量為 , , 鐘子期聽懂了俞伯牙的琴音“巍巍乎若高山，蕩蕩乎若流水”,俞伯牙視其為知音。鐘

16、子期死后，面對江邊一抔黃土，俞伯牙發(fā)出“此曲終兮不復彈，三尺瑤琴為君死”的感慨，摔琴而去，從此，高山流水，知音難覓。紅樓里，寶釵與黛玉皆愛寶玉，寶釵看重功名，常拿一些倫理綱常來壓制他的不羈與頑劣，黛玉卻從未提及這些，因她懂得他的心性，她說“ 你既為我之知己，自然我亦是你之知己”,造化弄人，木石前緣雖是虛空一場，卻懷金悼玉，夢縈千古，今日讀來依然蕩氣回腸！不是所有的相遇都可以相知，不是所有的相知都可以永恒。生命里，我們只愿結交那些心性相宜的人，統(tǒng)一的語言，相同的志趣，將彼此的心靈拉近，一份懂得，不言不語，卻在默契里滋生。懂得，是兩顆心的對望，潛生一種心靈感應，不發(fā)一言，便可知會。一聲懂得，沒有千言萬語，卻可以令人眸中含淚，心中蘊暖。這世間太多人情薄涼，你是否覺得，有一個真正懂你的人，是一種幸福與慰藉呢？茫茫人海，你不