1、解析幾何常規(guī)題型及方法(1)中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法(點(diǎn)差法)：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(xi,y1)，(X2，y2),代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)。2典型例題給定雙曲線X2 1。過A(2,1)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P1及P2,求線段P1P2的中點(diǎn)P2的軌跡方程。(2)焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn) P,與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。2一 、一 一一 X典型例題設(shè)P(x,y)為橢圓2y_.八， : 1 上任一點(diǎn)，F(xiàn)（ c,0）, F2（c,0）為焦點(diǎn)，PF1F2，PF2F1。b） sin/(1)求證離心率 e si

2、n.一33 .(2)求 |PF1| PF2I 的最值。(3)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合 的辦法典型例題拋物線方程y2 p(x 1) (p 0),直線x y t與x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。(1)求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B,且OALOB,求p關(guān)于t的函數(shù)f的表達(dá)式。(4)圓錐曲線的有關(guān)最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。<2>

3、若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)(通常利用二次函數(shù)， 三角函數(shù)，均值不等式)求最值。 典型例題已知拋物線y2=2px(p>0),過M (a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn) A、B, |AB|w 2P(1)求a的取值范圍；(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求 NAB面積的最大值。(2)設(shè)AB的垂直平分線交 AB與點(diǎn)Q,令其坐標(biāo)為(X3,y3),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：(5)求曲線的方程問題1 .曲線的形狀已知 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過原點(diǎn)，拋物線 C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸正半軸上。若點(diǎn) A (-1, 0)和點(diǎn)B (0

4、, 8)關(guān)于L的對稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。2 .曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓C：x2+y2=1,動點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)(>0),求動點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè)MN切圓C于點(diǎn)N,則動點(diǎn)M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|,由平面幾何知識可知：|MN|2二|MO|2-|ON|2二|MO|2-1 ,將 M點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得:(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.當(dāng)=1時(shí)它表示一條直線；當(dāng) w1時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。MNOQ(6)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題典型例題已知橢

5、圓22C的方程二匕 1 ,試確定43m的取值范圍,使得對于直線 y 4x m,橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱。分析：橢圓上兩點(diǎn)(x1,y1) ， (x2, y2)，代入方程,相減得3(x1x2)(x1x2)4( y1y2)(y1y2)x1x2又x322y1 y23x。x1x2y 3x又由y 4x解得交點(diǎn)(m, 3m)。交點(diǎn)在橢圓內(nèi),則有(m)24(3m)232 13132、1313(7)兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k1 - k2y1 . V2x1 . x21來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理。典型例題已知直線l的斜率為k ,且過點(diǎn)P( 2,0),拋物線C:y24(x 1),直線

6、l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖)。(1)求k的取值范圍;(2)相垂直。直線l的傾斜角為何值時(shí)，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互分析:直線y k(x 2)代入拋物線方程得(4k24)x 4k2 4 0,0,得 1 k 1(k 0)。在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這 交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。(當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決)(2)由上面方程得 X1X24k2 4k2.2 ,yy2k (Xi 2)(X2 2)4 ,焦點(diǎn)為O(Q0)。由kOAkOB學(xué)目 1得k 次.2 一arctan或 2arctan 二 2B:解題的技巧方面在教

7、學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲 線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說明：(1)充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條 件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計(jì)算量。22_,、一. 一. .典型例題設(shè)直線3x 4y m 0與圓x y x 2y 0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，右OP OQ ,求m的值。,_22解： 圓x y x 2y 0過原點(diǎn)，并且OP OQ ,1PQ是圓的直徑，圓心的坐標(biāo)為 M( 1)21，、C-又M( -

8、 , 1)在直線3x 4y m 0上，15、3 ( ) 4 1 m 0, m一即為所求。22評注：此題若不充分利用一系列幾何條件：該圓過原點(diǎn)并且 OP OQ,PQ是圓的直徑，圓心在直線3x 4y m 0上，而是設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2)再由OP OQ和韋達(dá)定理求 m ,將會增大運(yùn)算量。評注：此題若不能挖掘利用幾何條件OMP 90 ,點(diǎn)M是在以O(shè)P為直徑的圓周上，而利用參數(shù)方程等方法，計(jì)算量將很大，并且比較麻煩。二.充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。10典型例題已知中心在原點(diǎn) O,焦

9、點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線 y x 1相交于P、Q兩點(diǎn)，且OP OQ , |PQ| 0，2求此橢圓方程。解：設(shè)橢圓方程為ax2 by2 1(a b 0),直線y x 1與橢圓相交于P(x1，y1)、Q(x2，y?)兩點(diǎn)。y x 1由方程組22消去y后得ax by 1(a b)x2 2bx b 1 02bb 1Xi X2， Xi X2 -a ba b由 kop koQ i，得 yy2X1X2(1)又P、Q在直線y x 1上，yiX111(2)y2X21,(3)yy2 (X11)(X21) X1X2 (X1 X2)12b(4)把(1)代入，得 2x1x2 (X1 x2) 1 0 ,即3 a b化簡后，

10、得a b 2由 |PQ|X2)2(y1y2)2(X1 X2)24,(x12x2)4x1 x22b )2 a b4(b 1)a b1 一 3把(2)代入，得4b2 8b 3 0 ,解得b 或b 2 2代入(4)后，解得a §或22 23 .1由 a b 0,得 a ，b 。22所求橢圓方程為結(jié)2評注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡化了計(jì)算。三.充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓 C1： x2 y2 4x 2y 0和C2: x2 y2 2y 4 0的交點(diǎn)，且圓心在直線2x 4y 1 0上的圓的方程。解：設(shè)所求圓

11、的方程為：22_, 22_、-xy4x 2y(xy2y4) 022即(1 )x (1 )y 4x 2(1 )y 40,、，21、其圓心為C (,)1 12 1122又C在直線l上， 2 4 10 ,解得 ，代入所設(shè)圓的萬程得 x y 3x y 10為113所求。評注：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點(diǎn)，故簡化了計(jì)算。四、充分利用橢圓的參數(shù)方程 橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題.這也是我們常說的三角代換法。 22x y 典型例題P為橢圓.y- 1上一動點(diǎn)，A為長軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四邊形 OAPB面積的最大值a2 b2及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。五、線段長的幾種簡便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程y kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2bx c 0的方程，方程的兩根設(shè)為xA,xB,判別式為4,則|AB|，1k2 |xAxB|V1k2 ,若|a|直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算過程。22例 求直線x y 1 0被橢圓x 4y 16所截得的線段 AB的長。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時(shí)，由于圓錐曲線的