1、全等三角形相關(guān)模型總結(jié)一、角平分線模型（一）角平分線的性質(zhì)模型輔助線：過點(diǎn)G作GE1射線ACA、例題1、如圖，在 ABC中，/ C=90° AD 平分/ CAB, BC=6cm, BD=4cm，那么點(diǎn) D 到直線 AB 的距離是cm.2、如圖，已知，/1 = Z 2，/ 3=7 4,求證：AP平分/ BAC.B、模型鞏固1、如圖，在四邊形 ABCD中，BC>AB, AD= CD, BD平分/ ABC,求證：7 A+7 C= 180°(二)角平分線+垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)A、例題輔助線：延長 ED交射線OB于F 例 1、如圖，在 ABC中，/ ABC= 3/ C,輔助線

2、：過點(diǎn)E作EF/射線OBAD是/ BAC的平分線，BEX AD于F .3#求證：BE J(AC _AB).2#例2、如圖，在 ABC中，/ BAC的角平分線 AD交BC于點(diǎn)D,且AB= AD,作CM丄AD交AD的延長線于 M.求證：AM =-(AB AC).（三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點(diǎn)B,使0B= 0A,從而使 OAWA OBC .A、例題1、如圖，在 ABC 中，/ BAC=60°,Z 0=40°, AP平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC 交 AC于 Q,求證：AB+ BP= BQ+ AQ .2、如圖，在 ABC

3、中，AD是/ BAC的外角平分線， P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比 較PB+ PC與AB+ AC的大小，并說明理由 .5B、模型鞏固1、在厶ABC中，AB> AC, AD是/ BAC的平分線，P是線段 AD上任意一點(diǎn)（不與 A重合） 求證：AB-AC> PB PC .2、如圖， ABC 中，AB= AC,/ A= 100。，/ B 的平分線交 AC 于 D, 求證：AD+ BD= BC .3、如圖， ABC中，BC= AC, / C= 90°,/ A的平分線交 BC于D, 求證：AC+ CD= AB .6:、等腰直角三角形模型（一）旋轉(zhuǎn)中心為直角頂點(diǎn)，在斜邊上任取一點(diǎn)

4、的旋轉(zhuǎn)全等:操作過程：（1）將厶ABD逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得厶ACM也 ABD,從而推出厶ADM為等腰直角三角形（2）輔助線作法：過點(diǎn) C作MC丄BC,使CM= BD,連結(jié)AM.（二）旋轉(zhuǎn)中心為斜邊中點(diǎn)，動點(diǎn)在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等:操作過程：連結(jié)AD.(1 )使 BF= AE (或 AF= CE ,導(dǎo)出 BDF 也 ADE. (2)使/ EDF+Z BAC= 180°,導(dǎo)出 BDF 也 ADE.A、例題1、如圖，在等腰直角 ABC中，/ BAC= 90°,點(diǎn)M、N在斜邊BC上滑動，且/ MAN = 45 試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系.72、兩個全等的含有

5、 30°, 60°角的直角三角板 ADE和ABC,按如圖所示放置，E、A、C三 點(diǎn)在一條直線上，連接 BD,取BD的中點(diǎn)M，連接ME、MC.試判斷 EMC的形狀，并證明你的結(jié)論 B、模型鞏固1、已知，如圖所示， RtAABC中，AB= AC, / BAC= 90°, O為BC中點(diǎn)，若 M、N分別在 線段AC AB上移動，且在移動中保持 AN= CM.(1) 試判斷 OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.(2) 當(dāng)M、N分別在線段 AC AB上移動時，四邊形 AMON的面積如何變化？2、在正方形 ABCD中，BE= 3，EF= 5，DF= 4，求/ BAE+Z DCF為多少

6、度.（三）構(gòu)造等腰直角三角形（1 ）禾9用以上（一）和（二）都可以構(gòu)造等腰直角三角形（略） （2 ）利用平移、對稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角形9（四）將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形，如下圖:#A、例題應(yīng)用1、如圖，在等腰直角 ABC中，AC= BC,/ ACB= 90°, P為三角形 ABC內(nèi)部一點(diǎn), 滿足 PB= PC, AP= AC,求證：/ BCP= 15° .三、三垂直模型（弦圖模型）.由厶ABEABCD導(dǎo)出 ED=AE<D由公ABEABCD甘 出 EC=AB-CD由厶ABEABCD BC=BE+ED=AB+CDA、例題已知：如圖所示，在 ABC中，AB= A

7、C,/ BAC= 90°, D為AC中點(diǎn)，AF丄BD于點(diǎn)E,交BC于F,連接DF . 求證：/ ADB=/ CDF .1011變式1、已知：如圖所示，在 ABC中，AB= AC, AM = CN, AF丄BM于E,交BC于F,連 接NF .求證：(1)/ AMB=/ CNF; (2) BM = AF+ FN .變式2、在變式1的基礎(chǔ)上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交于點(diǎn) P,求證：（1） PM= PN; （2） PB= PF+ AF .四、手拉手模型1 > ABE和厶ACF均為等邊三角形結(jié)論：() ABFA AEC .(2) Z BOE=Z BAE= 60 °

8、;(3) OA平分/ EOF (四點(diǎn)共圓證)拓展： ABC和厶CDE均為等邊三角形結(jié)論：(1) AD= BE;(2) Z ACB=Z AOB;(3) A PCQ為等邊三角形；(4) PQ/ AE;(5) AP= BQ;(6) CO平分/ AOE;(四點(diǎn)共圓證)(7) OA= OB+ OC;(8) OE= OC+ OD .(7), ( 8)需構(gòu)造等邊三角形證明)13例、如圖，點(diǎn)M為銳角三角形 ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接 AM BM CM以AB為一邊向外作等 邊三角形厶ABE將BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN連接EN(1) 求證： AMBA ENB(2) 若AM+BM+C的值最小，則稱點(diǎn)A

9、BC的費(fèi)爾馬點(diǎn).若點(diǎn)ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，試求此時/ AMB / BMC / CMA的度數(shù)；(3) 小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費(fèi)爾馬點(diǎn)的簡便方法：如圖，分別以厶ABC 的AB AC為一邊向外作等邊 ABE和等邊 ACF連接CE BF,設(shè)交點(diǎn)為 M則點(diǎn)M 即為 ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)試說明這種作法的依據(jù).14AS丄BC交FD于T,2、 ABD和厶ACE均為等腰直角三角形 結(jié)論：（1） BE= CD; （2） BEX CD .3、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形結(jié)論：(1)BD= CF; (2) BDX CF .變式1、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形, 求證：（1） T 為 FD

10、 中點(diǎn)；（2） SIAbc=S；adf15變式2、四邊形 ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點(diǎn)，TA交BC于S, 求證：AS丄BC .4、如圖，以 ABC的邊AB AC為邊構(gòu)造正多邊形時，總有：.1- 2=180 -16/M P、N三點(diǎn)共線五、半角模型1條件：,且：+二=180 ,-兩邊相等.2思路：1、旋轉(zhuǎn)輔助線：延長 CD到E,使ED=BM連AE或延長CB到F,使FB=DN連AF將 ADN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得厶ABF,注意：旋轉(zhuǎn)需證 F、B M三點(diǎn)共線結(jié)論：(1) MN = BM + DN;(2) C、cmn =2 AB ;(3) AM、AN 分別平分/ BMN、/ MND .2、翻折（對稱）輔助線：作API MN交MN于點(diǎn)P將 ADN ABM分別沿AN AM翻折，但一定要證明A、例題例1、在正方形 ABCD中，若M、N分別在邊BC CD上移動，且滿足 MN = BM + DN, 求證：(1)Z MAN = 45°(2) C、cmn =2 AB ;(3) AM、AN 分別平分/ BMN 和/ DNM .變式：在正方形 ABCD中，已知/ MAN = 45°，若M、N分別在邊 CB DC的延長線上移動,AH丄MN，垂足為H,(1) 試探究線段 MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系；(2) 求證：AB= AH例2、在四邊形 ABCD中