1、1第四節(jié)第四節(jié)2一階常系數(shù)線性差分方程標(biāo)準(zhǔn)形式為一階常系數(shù)線性差分方程標(biāo)準(zhǔn)形式為 其其中中, 2, 1, 0 t，常常數(shù)數(shù)0 a， 函函數(shù)數(shù))(tf當(dāng)當(dāng), 2, 1, 0 t 時有定義時有定義. . 如如果果當(dāng)當(dāng) , 2, 1, 0 t時時有有0)( tf，則則稱稱方方程程 為為一階常系數(shù)一階常系數(shù)齊次齊次線性差分方程線性差分方程， 否則，稱為否則，稱為一階常系數(shù)一階常系數(shù)非齊次非齊次線性差分方程線性差分方程. . )(1tfayytt (1)01 ttayy(2)(2)稱為稱為(1)對應(yīng)的對應(yīng)的齊次線性差分方程齊次線性差分方程. . 3)(1tfayytt (1)01 ttayy(2)不難證

2、明，不難證明，(2)的通解為的通解為,)(tctaCy C為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 可以證明可以證明, ,一階常系數(shù)線性差分方程的通解與一階一階常系數(shù)線性差分方程的通解與一階線性微分方程有相同的結(jié)構(gòu)，即有線性微分方程有相同的結(jié)構(gòu)，即有 定理定理( (一階常系數(shù)線性差分方程通解的結(jié)構(gòu)一階常系數(shù)線性差分方程通解的結(jié)構(gòu)) ) 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程(1)的通解可表示為的通解可表示為 tttyaCy)(其其中中 ty是是(1)的的一一個個特特解解, , 2, 1, 0 t，C是是任任意意常常數(shù)數(shù). 4 當(dāng)當(dāng) f( (x) )是多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函是多項式、指數(shù)函數(shù)

3、、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和差或乘積時，一般可用數(shù)以及它們的和差或乘積時，一般可用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求求(2)的一個特解的一個特解. . 討論三種情形：討論三種情形：情形情形1 1)()(tPxfm 情形情形2 2tmdtPxf)()( 情形情形3 3tNtMtf sincos)( 5例例1 1求求一一階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性差差分分方方程程2321 tyytt 的通解的通解. . 設(shè)設(shè)特特解解BtAyt ， 解解代入方程得代入方程得 ttyy21BAtA )(2)1(BtABtA 23 t,1, 3 BA得特解為得特解為,13 tyt從而通解為從而通解為,132 tCyttC為任意常數(shù)

4、為任意常數(shù). . 6設(shè)設(shè)特特解解BtAyt ， 代入方程得代入方程得 ttyy1A )()1(BtABtA ,23 t例例2 2求求一一階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性差差分分方方程程231 tyytt 的通解的通解. . 解解沒有這樣的特解。沒有這樣的特解。7例例2 2求求一一階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性差差分分方方程程231 tyytt 的通解的通解. . 解解設(shè)特解設(shè)特解)(BtAtyt 代入方程得代入方程得 ttyy1,23 t,2tBtA )()1()1(22tBtAtBtA BAtA 2,27,23 BA得特解為得特解為,27232ttyt 從而通解為從而通解為C為任意常數(shù)為任意常數(shù). . ,

5、27232ttCyt 8一般一般, 當(dāng)當(dāng))(tf是多項式是多項式)(tPm時，可按下表設(shè)定時，可按下表設(shè)定非齊次差分方程非齊次差分方程)(1tfayytt 的一個特解的一個特解 ty： )(tf系數(shù)系數(shù) a 的取值的取值 特解特解 ty的形式的形式 )(tPm1 a)(tQm)(tPm1 a)(tQtm 表表中中)(tQm是是待待定定系系數(shù)數(shù)的的 m 次次多多項項式式. 9設(shè)設(shè)特特解解ttBtAy2)( ， 代入方程得代入方程得 例例3 3求一階常系數(shù)線性差分方程求一階常系數(shù)線性差分方程ttttyy21 的的通解通解。 解解 ttyy1tBtABAtA2)222( tBAtA2)2( ,2tt

6、 ,2, 1 BA得特解為得特解為,2)2(ttty 從而通解為從而通解為,2)2(tttCy C為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 10設(shè)設(shè)特特解解ttBtAy2)( ， 代入方程得代入方程得 ttyy1tBAtBAtA2)(2 tA22 ,2tt 不存在這樣的特解。不存在這樣的特解。例例4 4求一階常系數(shù)線性差分方程求一階常系數(shù)線性差分方程ttttyy221 的通解。的通解。 解解11設(shè)設(shè)特特解解ttBtAty2)( ， 代入方程得代入方程得 例例4 4求一階常系數(shù)線性差分方程求一階常系數(shù)線性差分方程ttttyy221 的通解。的通解。 解解 ttyy1ttBtAtBtA2)1()1( 222 t

7、t2 tBAtA2)2(2 ,41,41 BA得特解為得特解為,2)1(41tttty 從而通解為從而通解為,2)44(2ttttCy C為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 12一一般般, 當(dāng)當(dāng)tmdtPtf)()( 時時， 可可按按下下表表設(shè)設(shè)定定非非齊齊次次差差分分方方程程)(1tfayytt 的的一一個個特特解解 ty： )(tfd 與系數(shù)與系數(shù) a 的關(guān)系的關(guān)系特解特解 ty的形式的形式 tmdtP)(tmdtP)(表表中中)(tQm是是待待定定系系數(shù)數(shù)的的 m 次次多多項項式式. 0 datmdtQ)(0 datmdtQt)(13設(shè)設(shè)特特解解tBtAyt2sin2cos ， 代入方程得代入方

8、程得 ttyy21例例5 5求求線線性性差差分分方方程程tyytt2cos521 的的通通解解。 解解tBtA2cos2sin )2sin2cos(2tBtA tBAtAB2sin)2(2cos)2( t2cos5 ,1, 2 BA得特解為得特解為,2sin2cos2ttyt 通解為通解為,2sin2cos22ttCytt C為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。14一一般般, , 當(dāng)當(dāng)tNtMtf sincos)( , ,其其中中 , NM是是常常數(shù)數(shù)，且且 20 , , ，可可以以設(shè)設(shè)特特解解為為 tBtAyt2sin2cos 其其中中BA,是是兩兩個個待待定定常常數(shù)數(shù). 如果所給差分方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式的

9、，必須首先把如果所給差分方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式的，必須首先把它化為它化為標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式才能應(yīng)用上面給出的通解公式和選取才能應(yīng)用上面給出的通解公式和選取特解的有關(guān)結(jié)論特解的有關(guān)結(jié)論. . 15例例6 6求求差差分分方方程程051021 tyytt的的通通解解. 設(shè)設(shè)特特解解BtAyt ， 解解代入方程得代入方程得 ttyy51BAAt66 )(5)1(BAtBtA t25 ,725,125 BA得特解為得特解為,725125 tyt原方程通解為原方程通解為,725125)5( tCyttC為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 首首先先把把差差分分方方程程改改寫寫為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形式式tyytt2551 . ,1

10、5 a16例例7 7(1) 現(xiàn)現(xiàn)期期某某種種產(chǎn)產(chǎn)品品的的供供應(yīng)應(yīng)量量tsQ,由由前前一一期期的的價價格格1 tP確確定定，)(1, ttsPSQ； 供需平衡的市場模型供需平衡的市場模型 基本假設(shè)：基本假設(shè)： (2) 現(xiàn)現(xiàn)期期該該產(chǎn)產(chǎn)品品的的銷銷售售量量tdQ,由由現(xiàn)現(xiàn)行行價價格格tP確確定定，即即)(,ttdPDQ ； (3) 現(xiàn)現(xiàn)期期該該產(chǎn)產(chǎn)品品的的供供需需平平衡衡，即即tstdQQ, . 常見的供給函數(shù)常見的供給函數(shù)S與需求函數(shù)與需求函數(shù)D均為線性函數(shù)，于均為線性函數(shù)，于是得到方程組是得到方程組 tstdttdttsQQPQPQ,1, )5()4()3(17解解 tstdttdttsQQP

11、QPQ,1, )5()4()3(其其中中 ,都都是是正正的的常常數(shù)數(shù)，若若已已知知初初始始價價格格0P，求求現(xiàn)現(xiàn)行行價價格格tP，并并研研究究其其變變化化規(guī)規(guī)律律. 把把(3), ,(4)代入代入(5), ,即得一階常系數(shù)非齊次線性差分方程即得一階常系數(shù)非齊次線性差分方程 1ttPP 1 ttPP), 1, 0( t求出方程的通解是求出方程的通解是 ttCP18 ttCP令令 P，稱稱為為平平衡衡價價格格(或或均均衡衡價價格格). 利利用用初初始始價價格格0P確確定定常常數(shù)數(shù)PPC 0， 可得現(xiàn)行價格可得現(xiàn)行價格tP的公式的公式 PPPPtt )(019PPPPtt )(0 由此可得以下簡單結(jié)

12、論：由此可得以下簡單結(jié)論： (1) 若初始價格若初始價格0P等于平衡價格等于平衡價格P，則現(xiàn)行價格，則現(xiàn)行價格tP將始將始終等于平衡價格；終等于平衡價格； 否則，若初始價格不等于平衡價格，否則，若初始價格不等于平衡價格， 則則由由于于tP中中包包含含因因子子tPP)(0 ,現(xiàn)現(xiàn)行行價價格格tP將將始始終終圍圍繞繞平平衡衡價價格格上上下下波波動動； (2) 若初始價格不等于平衡價格，且若初始價格不等于平衡價格，且1 ，這時現(xiàn)行價，這時現(xiàn)行價格格tP圍繞平衡價格上下波動的振幅將隨著圍繞平衡價格上下波動的振幅將隨著 t 增大而逐漸減增大而逐漸減少，且少，且 PPtt lim； 20PPPPtt )(0 (3) 若若初初始始價價格格不不等等于于平平衡衡價價格格，且且1 ，這這時時現(xiàn)現(xiàn)行行價價