1、 導數(shù)及其應用 一、相關概念1導數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。如果當時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x處的導數(shù)，記作f（x）或y|。即f（x）=。 求函數(shù)的增量=f（x+）f（x）； 求平均變化率=； 取極限，得導數(shù)f(x)=。 2導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率是f（x）。相應地，切線方程為

2、yy=f/（x）（xx）。3.導數(shù)的物理意義如果物體運動的規(guī)律是s=s（t），那么該物體在時刻t的瞬間速度v=（t）。 如果物體運動的速度隨時間的變化的規(guī)律是v=v（t），則該物體在時刻t的加速度a=v（t）。二求導數(shù)的方法 1 幾個常用函數(shù)的導數(shù)1若，則_； 2若，則_；3若，則_； 4若，則_。2 基本初等函數(shù)的導數(shù)1若，則_； 2若()，則_；3若，則_； 4若，則_;5若，則_ ()； 6若，則_7若，則_ (且)；8若，則_3. 導數(shù)的四則運算 ， 4. 復合函數(shù)的導數(shù)設在點x處可導，在點處可導，則復合函數(shù)在點x處可導， 且 ，即三，導數(shù)的應用1.函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步

3、驟：求出的導數(shù)；求出方程的根；（x）>0的解集與定義域的交集的對應區(qū)間為增區(qū)間；（x）<0的解集與定義域的交集的對應區(qū)間為減區(qū)間.特別提醒：首先注意定義域,其次區(qū)間不能用“或”( U) 連接.已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)取值范圍 求使函數(shù)（解析式中含有參數(shù)）為增函數(shù)（或減函數(shù)）的參數(shù)的取值范圍：先求使（或）成立的參數(shù)的取值范圍；把參數(shù)取值范圍的端點值代回函數(shù)解析式檢驗；綜合，得參數(shù)的取值范圍.增函數(shù)恒成立；減函數(shù)恒成立.邊界代入檢驗!2. 函數(shù)的極值求函數(shù)極值的步驟：(最好通過列表法)求導數(shù)；解方程的根；檢查在方程的根左、右兩側的符號，判斷極值.“左正右負”在處取極大值；“左負右正”在

4、處取極小值. 特別提醒：若x0點是y=f(x)的極值點，則f(x0)=0,反之不一定成立；如函數(shù)f(x)=|x|在x=0時沒有導數(shù)，但是，在x=0處，函數(shù)f(x)=|x|有極小值. 3. 函數(shù)最值 定義：函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點值中的“最大值”；函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點值中的“最小值”。求函數(shù)在上的最值的步驟：求函數(shù)在（）內(nèi)的極值；將的各極值與，比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。四，考點例1，變化率 已知函數(shù)的圖象上一點（1，1）及鄰近一點（1+,1+）,則等于（ ）A4 B C D例2導數(shù)的定義，已

5、知某運動物體的位移y(米)與其運動時間t（秒）的函數(shù)關系為y=t³+t(1)求y=f(t),利用導數(shù)定義求f´(t)(2)求物體在t=2 秒時的瞬時速度。例3.導數(shù)的計數(shù)1.（1） （2）（3） (4) (5) 2.設f(x)=則f(1)=（ ）3.(2009寧夏銀川)已知函數(shù)y=f(x) 的圖像在點（1. f(1)）處的切線方程是想x-2y+1=0,則f(1)+2f´(1)的值_4.(2008山東)若函數(shù)f(x)=1/3·x³-f´(-1)·x²+x+5,則f´´(1)=_例4.幾何意義1 已

6、知曲線，則過點的曲線的切線方程 .2.函數(shù)的圖像在點M處的切線方程是,= . 3.(全國卷)設曲線在點（1，）處的切線與直線平行，則_4.已知函數(shù)在處的切線為，求函數(shù)的解析式 5. （2009江西卷理）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為_ 例5單調(diào)性問題1.設f(x)=x2(2-x),則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是（ ）A.(0, B.(+) C.(-,0) D.(-,0)(,+）2.(2008全國卷文、理)已知函數(shù)，（）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍3.已知函數(shù)在點處有極小值 -1, 試確定,的值, 并求出的單調(diào)區(qū)間例6.極值點和極值1.(201

7、1安徽)設f(x)=eª/(1+ax²),其中a為正實數(shù)，當a=4/3時，求f(x)的極值點和極值。 2. 設函數(shù)f(x)=-x(x-a)2(xR),其中aR.（1）當a=1時，求曲線y=f(x)在點（2，f(2)處的切線方程；（2）當a0時，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值.3. 已知在點處有極值且和曲線在交點處有公切線.(1) 求的值；(2)求在上的極大值和極小值.例7最值1.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值.2.函數(shù)f（x）x2cosx在區(qū)間上的最大值為_；在區(qū)間0，2上最大值為_ 3.已知函數(shù)f(x)=ax³+x²+bx(其中常數(shù)abc為

8、R) ，g(x)=f(x)+f´(x)是奇函數(shù)。（1）求f(x)的解析式；（2）討論g(x)的單調(diào)性，求g(x)在1,2上的最值. 4. 函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間-2,2上的最大值與最小值. 5. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x）在點x=1處的切線為l:3x-y+1=0，若x=時，y=f(x）有極值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值例8.綜合運用.（2009江西17）設函數(shù) f(x)=x³-9/2·x²+6x-a(1)對于任意實數(shù)x，f´(x)>=m恒成立，求 m的最

9、大值；（2）若方程f(x)=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍；例9實際運用1.（2007重慶文）用長為18 m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？ 2.(湖南文)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量(噸)與每噸產(chǎn)品的價格(元/噸)之間的關系式為：,且生產(chǎn)x噸的成本為（元）。問該產(chǎn)每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？（利潤=收入-成本）.練習1.(全國卷文)函數(shù),已知在時取得極值,則=( ) （A）2（B）3（C）4（D）52(海南、寧夏文)設，若，則（ ）A. B. C. D. 3

10、（廣東）函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為（ ）A B C D（0，2）4.（安徽文）設函數(shù) 則（ ）A有最大值 B有最小值 C是增函數(shù)D是減函數(shù)5（福建文、理)已知對任意實數(shù)x有f(x)=f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0時，f(x)>0，g(x)>0，則x<0時（ ）A f(x)>0，g(x)>0 B f(x)>0，g(x)<0C f(x)<0，g(x)>0 D f(x)<0，g(x)<02.（2009寧夏銀川）若函數(shù)f´(x)=x²-4x+3,則函數(shù)f(x+1)單調(diào)遞減區(qū)間_A.(0,2) B.(1,3)

11、 C.(-4,-2) D.(-3,-1)7（浙江文）在區(qū)間上的最大值是（ ）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4xyoAxyoDxyoCxyoB8（湖南文科）若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)f /(x)的圖象是（ ）9（全國卷理科）函數(shù)yxcosxsinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（ ）（A）(，)（B）(，2)（C）(，)（D）(2，3)10.（浙江理科）設是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y=的圖象如圖所示，則y= f(x)的圖象最有可能的是（ ） 二、填空題：(每小題5分,計20分)11.（浙江文）曲線在點(1，一3)處的切線方程是_.12.(重慶文科)曲線在點（1，

12、1）處的切線與x軸、直線所圍成的三角形的面積為 . 13（江蘇）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則_;14.（2008北京文）如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標分別為（0，4），（2，0），（6，4），則f(f(0)= _ ; 函數(shù)f(x)在x=1處的導數(shù)f（1）= _16.（2007寧夏）曲線y=ex在點（2，e2）處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為_17.(2009寧夏)曲線y=xeª+2x+1在點（0，1）處的切線方程為_18. (2008湖北)若f(x)=上是減函數(shù)，則b的取值范圍是_ 19.（2010全國T7）若曲線在點處的切線方程是,則

13、a=_ b=_20.（全國文）已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為_ 21.（全國）曲線在點處的切線的傾斜角為_三、解答題： 22.偶函數(shù)f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象過點P（0，1），且在x=1處的切線方程為y=x-2，求y=f（x）的解析式. 23.（北京理科、文科） 已知函數(shù)f(x)=x33x29xa. （I）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值24.（安徽文）設函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（）求、的值。 （）求的單調(diào)區(qū)間與極值。25.（福建文科）已知函數(shù)的圖象過點P（0，2），且在點M（1，f（1）處的切線方

14、程為. （）求函數(shù)的解析式； （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.26.（2010湖北）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元，該建筑物每年的能源消耗費用為C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=（0x10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元。設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。（）求k的值及f(x)的表達式；（）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值 27(2008全國卷文) 設，函數(shù)（）若是函數(shù)的極值點，求的值；（）若函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍28. (2008湖北文) 已知函數(shù)（m為常數(shù)，且m>0）有極大值9. （）求m的值； （）若斜率為-5的直線是曲線的切線，求此直線方程.29(2007海南、寧夏文)設函數(shù)（）討論的單調(diào)性； （）求在區(qū)間的最大值和最小值 30.（2009陜西20）已知函