1、常微分方程第一次作業(yè)解析1指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：（1）       （2）       （3）解：（1）1階，是；    （2）4階，是；    （3）3階，不是。2用分離變量法求解下列方：（1）                  （2

2、）   （3）      （4）   解：（1）通積分為：（2）當(dāng)時(shí)分離變量，兩端取積分得即  通積分為  另外，是常數(shù)解，注：在方程求解時(shí)，求出顯式通解或隱式通解（通積分）即可，常數(shù)解可以不求。（3）方法一：當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?積分得在通解中代入初值，有 . 所求特解為： 。 方法二：所求特解為,即  ，所求特解為： 。（4) 當(dāng)時(shí),  方程可變?yōu)橥ǚe分為  或 ,上式代入初值條件，得。  于是初值問(wèn)題解為： 。3解下列齊次線性微分方程（1）

3、60;        （2）（3）         （4）    解：（1）顯然是方程的解。當(dāng)時(shí)，原方程可化為 。令， 則原方程可化為 ，即易于看出，是上面方程的解，從而，是原方程的解。當(dāng)時(shí)，分離變量得，.    兩端積分得：(C)。將換成，便得到原方程的解 ，(C)。故原方程的通解為（為任意常數(shù)）及 。（2） 顯然是方程的解。當(dāng)時(shí)，原方程可化為：。   

4、令，則原方程可化為 ，即 易于看出，是上式的解，從而是原方程的解. 當(dāng)時(shí)，分離變量得  . 兩端積分得 (C). 將換成，便得到原方程的解  (C). 故原方程的通解為 . （3）顯然是方程的解. 當(dāng)時(shí)，原方程可化為令，則原方程可化為 ，即分離變量得，.兩端積分得 .將換成，便得到原方程的解 (C).       （4）將方程變形為: . 因?yàn)?，方程組  有解 ，令  . 代入原方程，得到新方程令，代入上式，又得到新方程 或當(dāng)時(shí)，有積分得原方程通積分為另外，由解得也是原方程解。4解下列一階線性

5、微分方程：（1）               （2）解：（1）先解齊次方程 。其通解為 . 用常數(shù)變易法，令非齊次方程通解為 . 代入原方程，化簡(jiǎn)后可得 .  積分得到 . 代回后即得原方程通解為 .     （2）先解齊次方程 .  其通解為 . 用常數(shù)變易法，令非齊次方程通解為 . 代入原方程，化簡(jiǎn)后可得 . 積分得到 . 代回后即得原方程通解為 . 5解下列伯努利方程（1）  &#

6、160;         （2）    解：（1）顯然是方程解. 當(dāng)時(shí)，兩端同除，得.令，代入有 ，它的解為 。于是原方程的解為 ，及。（4）顯然是方程解。 當(dāng)時(shí)，兩端同除，得            . 令，代入有 它的解為 于是原方程的解 及 。6設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，且， （a, b為常數(shù)）求證：方程  的一切解在上有界    證：設(shè)y

7、= y(x) 是方程任一解，且滿足y(x0)=y0，則由于，所以對(duì)任意0,存在x0，使得x時(shí)有令，則于是得到    又在x0，x1上y(x)有界設(shè)為M2，現(xiàn)取則  。7解下列全微分方程：（1）        （2）  解：（1） 因?yàn)? ，所以這方程是全微分方程，且及在整個(gè)平面都連續(xù)可微。不妨選取，故方程的通積分為  ,  即 . （2）因?yàn)?，所以這方程是全微分方程，且及在整個(gè)平面都連續(xù)可微。不妨選取，故方程的通積分為 ,  即

8、60; . 8求下列方程的積分因子和積分：（1）       （2）解：因?yàn)?，與y無(wú)關(guān)，故原方程存在只含x的積分因子.   由公式（1.58）得積分因子即于是方程為全微分方程。取.于是方程的通積分為. 即 . （2）因?yàn)?，與y無(wú)關(guān)，故原方程存在只含x的積分因子。由公式（1.58）得積分因子即于是方程為全微分方程. 取，. 于是方程的通積分為. 即. 9求解下列一階隱式微分方程（1）          （2）解：（1）將方程

9、改寫為即 ，或解方程 ，得通積分為,又是常數(shù)解.（2） 顯然是方程的解. 當(dāng)時(shí)，方程可變?yōu)榱? 則上面的式子可變?yōu)?解出u得，.  即 . 對(duì)上式兩端積分得到方程的通解為. 10求解下列方程（1）      （2） （3）           （4）      解：（1）令 ，則. 代入原式得.解出得.這是克萊洛方程，通解為.即.解之得 （為任意常數(shù)）.   

10、; （2）令 ，則,  原方程化為再令，則                      即              從而           

11、0;   即            積分得通積分：  .     （3）化簡(jiǎn)得               即               

12、   求積分得：      ，    或          .    （4）方程兩邊同乘以非零的數(shù),  化簡(jiǎn)得.即                     &#

13、160;      積分得再積分得11求曲線族的正交軌線，其中為參數(shù)    解：由         解該曲線所滿足的微分方程是：。于是正交軌線滿足的方程是：  即                      &#

14、160;       積分得                     為所求正交軌線：          。12人工繁殖細(xì)菌，其增長(zhǎng)速度和當(dāng)時(shí)的細(xì)菌數(shù)成正比（1）如果過(guò)4小時(shí)的細(xì)菌數(shù)即為原細(xì)菌數(shù)的2倍，那么經(jīng)過(guò)12小時(shí)應(yīng)有多少？（2）如果在3小時(shí)的時(shí)候，有細(xì)菌數(shù)個(gè)，在5小時(shí)的時(shí)候有個(gè)，那么在開(kāi)始時(shí)有多少細(xì)菌？解：設(shè)時(shí)刻細(xì)菌數(shù)為，再設(shè)初值時(shí)刻時(shí)，細(xì)菌數(shù)為，則細(xì)菌繁殖