1、高等代數(shù)下試題(10)錯(cuò)誤!未指定書簽。一一 填空題每一小題三分共15分1 A,B為n階可逆矩陣，C= O OA，如此C 1二2 A為n階矩陣，卜二*，如此(3A)3設(shè)f是一個(gè)n元負(fù)定的二次型，如此二次型 f的秩等于.4 設(shè)1, 2,. n線性無關(guān)，W=L 1, 2,n，如此 W的維數(shù)為 5 數(shù)量矩陣A=aE的特征根為。二單項(xiàng)選擇題每一小題三分共15分1設(shè)A是m n矩陣，B是n m矩陣，如此(A) 當(dāng)m>n時(shí)，必有行列式AB 0B當(dāng)m>n時(shí)，必有行列式 AB =0C當(dāng)n>m時(shí)，必有行列式AB 0D當(dāng)n>m時(shí)，必有行列式 ab =0 2設(shè)A，B，C均為n階矩陣，且秩A=秩

2、B，如此(A) AB的秩與AC的秩不一定相等。(B) AB的秩與AC的秩一定相等。(C) AB的秩與AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超過C的秩。3設(shè)向量空間V中含有r個(gè)向量，如此如下結(jié)論成立的是Ar=1; Br=2;C r=m 有限數(shù)；Dr=1 或4 數(shù)域F上n維向量空間V有 丨個(gè)基A1;B n；:C n! ;D無窮多.5設(shè)向量空間W= (a,2a,3a) a R,如此W的基為： :A 1,2, 3,; Ba, a ,s；:C( a , 2a 3a);D(1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)三 15分2 2 371 1 0 X= 1 求 X1 2 14四15分

3、把二此型f g 冷)=Xg + X1/3+ X2X3通過非退化線性替換化成平方和 五15分求由向量i生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數(shù)11(121,0)， 2 ( 1,1,1,1)2 1 (2, 1,0,1)，六10分求矩陣51 1A= 60231 12( 1, 1,3,7)的特征值與特征向量七證明題15分1設(shè)A為n階矩陣，A3=2E,證明B=A2-2A+2E可逆，并求 B2 設(shè)A，B都是n元正定矩陣，試證：A+B也是正定矩陣。3 設(shè)U是n維向量空間V的非平凡子空間，證明: 存在不止一個(gè)V的高等代數(shù)下試題（9）錯(cuò)誤!未指定書簽。一一 填空題1 假如A =a，如此AA/ =每一小題三

4、分共15分1 22 A= 121 10，如此秩A=3 t滿足時(shí)二次型xf +4 x2 +x2 +2t x1x2+10 x 1 x 3 +6x 2 x 3 為正定二次型。4 形如A=其維數(shù)為的矩陣a F作為M2F的子空間,5設(shè)n階矩陣A滿足A =A，如此A的特征根只有單項(xiàng)選擇題每一小題三分共15分的1 A,B為n階矩陣，如此如下式子成立的是(A)(b )(A+B) 1=A 1 +B 1(C) AB=BA(d )彳假女口 AB=B+E，如此有BA=B+E2 A,B , C 為 n 階矩陣，AB=BC=CA=E，如此 A2+B2+C2=A3E B2E CEDO 矩陣3設(shè)1, 2,S與1 , 2,m均

5、為向量空間V中向量，L 1, 2,. n=L 1, 2,. S， 如此如下結(jié)論成立的是(A) S = m;(B)1, 2，S可由1, 2,m線性表出；(C) 1, 2，S是L( 1, 2,m)的一個(gè)基(D) 1, 2,S線性相關(guān)時(shí)，必有1, 2,m也相關(guān)+4設(shè)W1，W2都是V的子空間， 如此如下結(jié)論成立的是(B) W1 +WW2=:W1+W2CW1 +W1w2 :=W1(D ) W1 +W1W2=W2設(shè)A= 151 ，如此a的特征根為A1二重；B5:C-4, 67D1，5三15分1 22A= 212，求 A 1與(A*) 1AW1+W1 W2= W1 W22215二重；四15分把二此型2 2

6、2f( x 1 ,x2 ,x3)= x 1 +2 x2 +4x3 +2 x1x2 +4x2x3通過非退化線性替換化成平方和。 五15分在P4中，求由向量i 1=1,2,3,4生成的子空間的基與維數(shù)1= 2, 0， 1, 22 =-1， 1， 0， 34=5, -1, 2, 13=0, 2,1, 8六(10分)3 4 4-A求矩陣的特征值與特征向量七 證明題15分1 A,B 為 n 階方陣，ABA=B 1 證明秩E-AB+秩E+AB=n.2 證明：假如A為正定階矩陣，如此 A 1也為正定階矩陣。3設(shè)V1與V2是V的互不一樣的非平凡子空間，且 V= V1+V2，證明：存在V的非平凡子空間 Wi V

7、i ,1=1,2,使得V= W1 W2。高等代數(shù)下試題(8)錯(cuò)誤!未指定書簽。一 填空題每一小題三分共15分1 203 121 A=011,B為秩等于2三階矩陣，如此秩AB=。a1 a22a1 2a?2 A= b1 b2 , b= bb2 ,A=2，如此 2A B =。2 2 2 、3 實(shí)二次型 f( x 1 ,x2 ,x3)= x1 +2 x1x2 -2 x2 -x3 的秩為 ;符號(hào)差為4 是向量空設(shè)間V中的一個(gè)向量，如此的負(fù)向量由唯一確定5齊次線性方程組(E A)x=o的 $是a的 征向量二單項(xiàng)選擇題每一小題三分共15分1 A ,B, C都是n階矩陣，且ABC=I，如此 丨成立(A) CB

8、A=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=IAA+B 對(duì)稱；CAm+Bm對(duì)稱；BAB對(duì)稱；DAB+BA 對(duì)稱。3設(shè)向量空間V中含有r個(gè)向量，如此如下結(jié)論成立的是Ar=1;Br=2;:Cr=m 有限數(shù);Dr=1 或4數(shù)域F上n維向量空間V有丨個(gè)基2 A,B為n階對(duì)稱矩陣，如下命題不正確的為 A1;Bn；C n! ;D無窮多1 55設(shè)A= 5 1，如此A的特征根為A1二重；B5二重C-4, 6；D1，5二 15分解矩陣方程XA=B+2X，其中51023134 0A= 216B= 01 2四15分把二此型f( x 1,x2 ,x證明：如果 VV V2，V1=V11 V12，如此

9、 V V11 V12 V2. )=x1 x2 +4x1 x3 -62 x3 通過非退化線性替換化成平方和。 五15分求由向量i生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數(shù)1 (3 1,2,1) 2 (0,1,0,2)1 (1,0,1,3)2 (2, 3,1,6)六(10分)求矩陣4 100130A=361的特征值與特征向量七證明題15分1設(shè)A為n階矩陣，A 0，且=0，B為n階可逆矩陣，證明 當(dāng)AX=XB時(shí)，必有 B=02設(shè)A實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：當(dāng)t充分大后，t E +A是正定矩陣。高等代數(shù)下試題ai a22ai 2a21 A=b2 , b= bib2 , A =2,如此 2A B =212A

10、= 0 11,B為秩等于2的三階矩陣，如此秩AB=c3 二次型f(x 12,x2, x3)=x1 +2X1 x2 +2 x2 x3 如此 f 的秩為c正慣性指標(biāo)為c)4t滿足2 2 2時(shí)二次型 2 x1 +x2+5x3+2t x1 x2 -2 x 1x3 +4x2 x3為正定二次型c1aaaa1aa5 An n= aaa.1特征值為c二單項(xiàng)選擇題每一小題三分共15分的1A,B，C 為 n階矩陣，2 2 2AB=BC=CA=E，如此 A +B +C =A3EB:1 2ECEDO 矩陣2設(shè)A為n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，如此一定有1 1A(A*) 1= A A BA 1= A A*1CAA *

11、= A A*=A|D(A*) 1= IA A" *3設(shè)W1，W2都是V的子空間，如此不一定 V的子空間的是AW1 W2(B) W1 W2 ( C) W1+W2(D) W1+V4設(shè)00是矩陣A的特征根,并且有A 0，如此°1是的特征根A-A BA/*CADA5設(shè)向量空間W= (a,2a,3a) aR,如此w的基為：A1,2, 3,;B a, a ,aJ;:C(a , 2a 3a);D(1 ,0, 0), (0, 2 ,0),(0 ,0, 3)三15分nA= a四15分把二此型2 2f( x1 ,x2 ,x3)= x1 -3x2 -2 x1 x2 +2 x1 x3 -6x2 x

12、3通過非退化線性替換化成平方和五15分求由向量i生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數(shù)1(2,5, 1,5)2( 1,2, 2,3)1(1,2, 1,2)2(3,1, 1,1)3( 1,01, 1)J六(10 分)求矩陣2 101 21A=0 12的特征值與特征向量七證明題15分1 設(shè)A,B為n階矩陣，A2=B2=1且A + B =0，證明 A+B丨不可逆。2為m n階實(shí)矩陣，B= E+ AA ,證明：當(dāng) 0時(shí)，B為正定階矩陣。/ 03 A為n階實(shí)反對(duì)稱矩陣， 即A = - A，證明：假如 是矩陣A的特征根,0如此-也是矩陣A的特征根高等代數(shù)下試題(6)錯(cuò)誤!未指定書簽。一 填空題每一

13、小題三分共15分1 A為n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，如此 AA * =。123412452 A= 11012，如此秩A=。2 2 23 實(shí)二次型 f( x1 ,x2 ,x3)= x1 +2 x1x2 -2 x2 -x3 的秩為;符號(hào)差為<4 數(shù)域F上任意n維向量空間V都可表為 一維子空間的直和25 設(shè)n階矩陣A滿足A =A，如此A的特征根只有。二單項(xiàng)選擇題每一小題三分共15分1設(shè)A是3矩陣，如此 2A等于(A) -2 A B 2 AC-8 AD8 A2 A ,B，C都是n階矩陣，且ABC=I，如此 丨成立(A) CBA=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=I3

14、設(shè)1, 2,S與(2,1,31), 2,. m均為向量空間 V中向量，L 1, 2,. n=L 1, 2,. S， 如此如下結(jié)論成立的是(A) S=m;(B)2,S可由 仆2,m線性表出；(C) 1, 2,. S是 L( 1, 2,. m)的一個(gè)基(D) 1, 2,. S線性相關(guān)時(shí)，必有 1, 2,. m也相關(guān)a r4設(shè)向量空間 W= (a,2a,3a),如此 W 的基為：A 1,2, 3,； B a, a 月；:C( a , 2a 3a)；D(1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)0 0 0 300 132 2 0 01O oo-A設(shè)5如此A的特征根是A1四重;B1二重

15、,2二重;C2二重,3二重；D1二重,2,3三15分* * 1設(shè)A是A的伴隨矩陣，X滿足A X=A +2X，求矩陣X，其中1 11 11 1 A=''四15分把二此型f (,x 2 ,x3)= 2x1 x2 +2x 1,x3-6 x2 x3通過非退化線性替換化成平方和 五10分在P4中，求由向量 1=1,2,3,4生成的子空間的基與維數(shù)(120,1)3 (1,1,3,0)4(11,1,1)六(15分）求矩巨陣122311A= 21的特征值與特征向量七證明題15分1設(shè)A為n階反對(duì)稱矩陣，即AT = -A丨，E-A , E+A皆可逆, 2如果A"A m是n階正定矩陣，1L

16、是正數(shù),證明：k1 A1+ km Am也是正定矩陣。3證明：每一個(gè)n維向量空間V都可表為n個(gè)一維子空間的直和高等代數(shù)下試題（5）錯(cuò)誤!未指定書簽。一 填空題每一小題三分共15分En O1 A= En En , En為n階單位矩陣，如此A 1 =。2,3三維列向量,A=18,=2,如此如下結(jié)論成立的是 r=2;Dr=1 或4在P中，求由向量i1=1,2,3,4生成的子空間的基與維數(shù)3設(shè)向量空間V中含有r個(gè)向量,A r=1; BCr=m 有限數(shù);設(shè)1， 2 2,五15分與1, 2,m均為向量空間V中向量,=L 1, 2,. S，如此如下結(jié)論成立的是(A) S=m; (B)1, 2,. S可由 1,

17、 2,m線性表出；(C)1,廠S是L( 1, 2,. m)的一個(gè)基(D)1, 2,. S線性相關(guān)時(shí)，必有 1, 2,. m也相關(guān)5 設(shè)向量空間W= (a,2a,3a)a R,如此w的基為：A 1,2, 3,；Ba, a ,aJ ；:C( a , 2a 3a)；D(1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)三 15分解矩陣方程XA=B+2X，其中51023134 0A= 216B= 01 2四15分把二此型1= 2, 0， 1, 24=5, -1, 2, 13= 0， 2， 1, 8六(10分)求矩陣A=的特征值與特征向量七證明題15分1設(shè)A為n階反對(duì)稱矩陣，即AT = -A，

18、E-A , E+A皆可逆,2 設(shè)A , B都是n元正定矩陣，試證：A+B也是正定矩陣。3 設(shè)U是n維向量空間V的非平凡子空間， 證明：存在不止一個(gè) V的子空間W，使得V=U W。高等代數(shù)下試題(4) 錯(cuò)誤!未指定書簽。一 填空題每一小題三分共15分11假如A = A ，如此A =.2設(shè)A為n階矩陣，秩A=n-1,B非零，n階矩陣，AB=0,如此秩B=<2 2 23 t 滿足時(shí)二次型 x1 +4 x2 +x3 +2t x1x2+10 x1 x3 +6x2x3為正定二次型。4形如A=oa的矩陣a F5數(shù)量矩陣A=aE的特征根為作為M2 F的子空間，其維數(shù)為 <。二單項(xiàng)選擇題每一小題三分

19、共15分的1 A,B為n階矩陣，如此如下式子成立的是(E) A B = A + B1 1 1(f)(A+B) =A +B(G)AB=BA(h)彳假女口 AB=B+E，如此有BA=B+E2 2 22 A,B，C 為 n 階矩陣，AB=BC=CA=E，如此 A +B +C =A3EB2E CEDO 矩陣3設(shè)1, 2,. S與1, 2,. m均為向量空間 V中向量，L 1, 2,. n=L 1, 2,. S， 如此如下結(jié)論成立的是(A) S=m; (B) 1, 2,. S可由 1, 2,m線性表出；(C) 1, 2,. S是 L( 1, 2,. m)的一個(gè)基(D) 1, 2,. S線性相關(guān)時(shí)，必有

20、1, 2,. m也相關(guān)+4設(shè)W1，W2都是V的子空間，如此如下結(jié)論成立的是AW1+W1 W2= W1 W2(B) W1 +W1 W2= W1+W2CW1 + W1 W2= W1(D ) W1+W1 W2= W2155設(shè)A= 51，如此A的特征根為A1二1重；B5二重C-4,三15分6 ；D1，51a12 aa1n.n 1n 2.1 求 A 1A= aaa.四15分把二此型22f( x1,x2,x3)= x1 -3x2-2 x1x2+2 x1x3-6x2x3 通過非退化線性替換化成平方和。五15分求由向量生成的子空間與由向量 生成的子空間交的基和維數(shù)1： 1 (121,0)， 2 ( 1,1,1

21、,1)21 (2, 1,0,1)，2( 1, 1,37)六(10分)求矩陣13的特征值與特征向量A= 2七 證明題15分321設(shè)A為n階矩陣，A =2E,證明B=A -2A+2E可逆，并求 B2設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：當(dāng)t充分大后，t E +A是正定矩陣3設(shè)V1與V2是V的互不一樣的非平凡子空間，且 V= V1+V2，證明：存在V的非平凡子空間 Wi Vi，I=1,2,使得V= W1 W2。高等代數(shù)下試題(3)錯(cuò)誤!未指定書簽。一 填空題每一小題三分共15分2 21設(shè)A為n階矩陣，A= 2 (B+E),且A =A,如此B =。a1 a22a1 2a22 A= bl b2 , b= bb2 ,A

22、=2，如此 2A B = 。2 23 二次型 f( x1 ,x2 ,x3)= x1 -2 x1x2 +x2 +3 x1x3的矩陣是 。4 是向量空設(shè)間V中的一個(gè)向量，如此 的負(fù)向量由唯一確定5 設(shè)是F4的兩個(gè)線性變換,=x1, x2 , x3, x4，()=0，x1，x2，x3 丨如此 2 ()=。二 單項(xiàng)選擇題每一小題三分共15分2 2 21 A,B，C 為 n 階矩陣，AB=BC=CA=E，如此 A +B +C =A3E B2E CEDO 矩陣2 A,B為n階對(duì)稱矩陣，如下命題不正確的為AA+B對(duì)稱BAB對(duì)稱;、 m m 一CA +B對(duì)稱DAB+BA 對(duì)稱。上的向量空間3 復(fù)數(shù)域C對(duì)于數(shù)的

23、乘法與加法可以構(gòu)成A 復(fù)數(shù)域C ； B 實(shí)數(shù)域C；C有理數(shù)域Q;D任意數(shù)域F4 數(shù)域F上n維向量空間V有 丨個(gè)基A1;Bn；D無窮多5 數(shù)域F上n維向量空間的維數(shù)為r, 1, 2,. n V,且任意V中向量可由1, 2,. n線性表出，如此如下結(jié)論成立的是A r=n； Br n ;C r <n；D r >n三 15分2 2371 1 0 11 214X=求X四15分把二此型f( x 1,x2 ,x3)= x1 x2 + x 1x3 +x2 x3通過非退化線性替換化成平方和 五15分求由向量生成的子空間與由向量 生成的子空間交的基和維數(shù)1 (3 1,2,1) 2 (0,1,0,2)1

24、 (1,0,1,3)2 (2, 3,1,6)六(10分)求矩陣2 101 2 1A= 01 2的特征值與特征向量七證明題15分1設(shè)A為n階矩陣，A 0，且=0，B為n階可逆矩陣，證明 當(dāng)AX=XB時(shí)，必有 B=012 設(shè)A，B都是n元正定矩陣，試證：A 也是正定矩陣。3證明：每一個(gè)n維向量空間V都可表為n個(gè)一維子空間的直和咼等代數(shù)下試題(2)錯(cuò)誤!未指定書簽。一 填空題每一小題三分共15分丄2 21設(shè)A為n階矩陣，A= 2 B+I，且A =A，如此B =1 2 03 120 1 12A=,B為秩等于2的三階矩陣，如此秩AB=23 二次型 f(x 1 ,x2, x3)=x1 +2X1 x2 +2

25、 x2 x3 如此 f 的秩為正慣性指標(biāo)為。o t 200 1 1-A4134的一個(gè)特征值為2,如此t=.1aaaa1aa5 A n n = aaa1特征值為單項(xiàng)選擇題每一小題三分共15分的 (B) p m矩陣1設(shè)A，B分別是m n, n p矩陣，如此BA，是(A)m p矩陣C n n矩陣Dn m矩陣2設(shè)A為n階矩陣，A是A的伴隨矩陣，如此一定有:C1(A*) (2,5,1, 5)2( 1,2, 2,3)1(1,2,1, 2)2(3,1, 1,1)3( 1,01, 1)?J= A A* 1D(A )=1AA 1 *3 W1,W2都是線性空間V的子空間，如此如下關(guān)系式不一疋成立的疋:AW1 W2

26、W1 ,W1 W2W2(B)W1W1+W2,W2W1+W2(C)W1+W2 W1W2,(D) W1W2 W1+W204設(shè)0是矩陣A的特征根，并且有A 0，如此01是特征根A-A BA/*CADA 15B為m n矩陣，如此方程組BX=0只有零解是/BB=O為正定矩陣的A充分條件B丨必要條件AI充分必要條件D非充分條件也非必要條件CA AA = A ABA 1= A A*三15分* * 1設(shè)A是A的伴隨矩陣，X滿足A X= A +2X，求矩陣X，其中A=四15分把二此型f( x 1,x2 ,x3 )=x1 x2 +4x1 x3 -62 x3 通過非退化線性替換化成平方和。五15分求由向量，生成的子

27、空間與由向量i生成的子空間交的基和維數(shù)六(10分)41013求矩陣的特征值與特征向量七 證明題15分1設(shè)A,B為n階矩陣，A $ =B $ =|,且A + B =0,證明a+B不可逆。2 設(shè)A為m n階實(shí)矩陣，B= E+ A，A ,證明：當(dāng) 0時(shí)，B為正定矩陣。/ 03 A為n階實(shí)反對(duì)稱矩陣， 即A = - A，證明：假如 是矩陣A的特征根,0如此-也是矩陣A的特征根高等代數(shù)下試題(1)錯(cuò)誤!未指定書簽。一 填空題 每一小題三分共15分1設(shè)A是一個(gè)n階方陣，且Am=0,如此E-A(E+A+A m 1)=2設(shè)A為n階矩陣，且秩A=r,P,Q為n階可逆矩陣，如此秩AQ=秩APQ=3 二次型 f(x

28、1 ,x2, x3)=-6 x1 x2 的矩陣是4設(shè) W1, W2是有限維線性空間V的子空間，W1, W2 ,W1W2W1 + W2之間的維數(shù)公式為。5設(shè)。是矩陣A的一個(gè)特征根，且A 0,如此J是 的一個(gè)特征根二單項(xiàng)選擇題每一小題三分共15分1設(shè)A，B，C均為n階矩陣，如此如下論斷正確的有 假如AB=BA，如此(A) 假如AB=AC，如此B=C(B) A B+C= B+CA(C)m n m nA A =A2 2(D) A+B A-B=A -B2 設(shè)A，B，C均為n階矩陣，且秩A=秩B，如此(A) AB的秩與AC的秩不一定相等。(B) AB的秩與AC的秩一定相等。(C) AB的秩與AC的秩一定不

29、相等。(D) AB的秩一定不超過C的秩。3設(shè)Wi, W2都是V的子空間，如此不一定 V的子空間的是AW設(shè)A,B為n階矩陣，且ABA=B W2(B) W1 W2 ( C) W1+W2(D) W1+V4 設(shè) w 1 = (a，0,0)a F w2 =(0，b,c)b,c F、w3 =(a，b,0)a,b F如此如下結(jié)論不成立的是3AdimW1+W2=F(B) W2 +W3是直和3CW1+W2 + W3= F DW1+W2 是直和4設(shè)是向量空間V的一個(gè)線性變換，如此如下結(jié)論成立的是A 一定有特征根，從而有特征向量。B有特征根，但無有特征向量。C假如 有特征根，如此一定有特征向量。D不一定有特征根，但

30、一定有特征向量。三 15分1 2 22 1 2A= 221,求 A 1 與(A*) 1四15分把二次型f (x 1,x2 ,x3)=2 x1x2 +2 x1 ,x3 -6 x2 x3通過非退化線性替換化成平方和。五10分4在P中，求由向量i1=123,4生成的子空間的基與維數(shù)。1(2,1,31)2(1,2,0,1)3 ( 1,1, 3,0)4(11,1,1)六15分求矩陣A=的特征值與特征向量七 證明題15分，證明秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n2如果A1A “是n階正定矩陣，k1 -km是正數(shù),證明：k1 A1+ km Am也是正定矩陣。3 證明：如果 V=V 1 V2 , V1=V11

31、 V12，如此 V= V11 V12 V2.高等代數(shù)下答案2 E4, dimW 1 + dimW 2 =dim(W 1 + W2 )+dim(W 1 W2)3，A 4，B 5，C三 15分1 2A= 212 222，求 A 與(A )1122100122100解：AE2120100362102210010092212 2四15分1 0 0 190 1 0 290 0 1 29A =27(A127把二次型f (x 1 ,x 2 ,x 3)= 2x 1x 2 +2 x 1 ,x 3 -6x 2 x 3通過非退化線性替換化成平方和。Xw1x2w1X3w2w2W3W3解：二次型f (x 1,X 2 ,

32、x 3 )的矩陣011212103103130230A=5分100100010110001001201020002020000061211110101100010012 2 2f (x 1 ,x 2 ,x 3 )=2w 1 -2w 2 -6w 3五10分1(2,1,3,1)，2 (1,2,0,1)3(1,1,3,0)，4(1,1,1,1)211 12 111122 10 000解：303 13 031111 11 02001000000003110201 :13，4是L(1，2 ,3，4)的一組基在P4中，求由向量i 1=123,4生成的子空間的基與維數(shù)。維數(shù)為3 六15分求矩陣511A=6

33、02的特征值與特征向量3115 11解：62=2 證明：如果 V=V 1 V2 , V1=V 11 V12，如此 V V 11 V12 V2 .證明：顯然有 V= V 11 V 12 +V 2 . 設(shè) 1112 +2 =0=06分311矩陣的特征值與特征向量1 =:2=3 =23x1X2X30解方程組6x12x22X303x-iX2X30的特征向量為k1(1,3, 0 ) + k2(0, 1, 1 )七 證明題15分1設(shè)A,B為n階矩陣，且ABA=B 1，證明秩(E-AB)+秩(E+AB)=n證明：因?yàn)?ABA=B 1，所以ABAB=EE-AB E+AB=0秩(E-AB)+ 秩(E+AB) =

34、n秩(E-AB)+ 秩(E+AB) 秩(E-AB+ E+AB)=n所以，秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n2如果A1 -A m是n階正定矩陣，k1 -k m是正數(shù)，證明：k 1 A 1 + k m A m也是正疋矩陣。證明：A 1A m是n階正疋矩陣，所以XA 1X 0XA mX 0X(k 1 A1+ km Am)X 0所以，k1 A1+ km Am也是正定矩陣。1分所以 1112 =0 ,2 =0有因?yàn)椋琕 1 =V 11 V 12，所以 11 =12 =0從而，V= V 11 V12 V2 .高等代數(shù)下答案 I 2 , 23, 1 B, 2, A 3 ,15 分X滿足A X= A1+2X

35、，求矩陣其中1111111A=1110111101解：A =20111011110*A :=2011X=A1*A1-2E1101011X=4101設(shè)A是A的伴隨矩陣,4分3分3分5分四15分把二此型f( x 1 ,x 2 ,x3 )=x 1 x 2 +4x 1x 3 -6 2 x3通過非退化線性替換化成平方和。10221032230100010解A= 00110001040024116211420016分11621142001P=，X=PY ，3分1 22 二 y22f( x1 ,x2 ,x3)=y 1 - 4+24y 33 分五15分求由向量i生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數(shù)1

36、(2,5, 1,5)2(1,2, 2,3)1(1,2, 1,2)2(3,1, 1,1)3( 1,01, 1)解:=x11+x22 = -y11 -y 22 -y 334分解方組組的勺秩為46分所以dim(W 1W2)=1,2分53, 119, -19, -134丨是 Wi W2 的一組基。3 分六（10分）求矩陣4 1001303 61A=的特征值與特征向量4 100130解：361 =12（2）=03 分矩陣的特征值與特征向量1= 2=1, 3=-22分5%10x202%10x20x2x20x1 5x20解方程組3X16x203x1 6x23x3 053 分TT得 A 的征向量為 k1 (-

37、2, 1,0 ) +k 2 (0, 0, 1 )2 分七 證明題15分設(shè)A,B為n階矩陣,2 2=B =1 且B=0,證明A+B丨不可逆。證明:AE EB ABBAAB = A B A、2=0所以A B=-1，所以A+B=0,A+B丨不可逆。2設(shè)A為m n階實(shí)矩陣，B=/E+ A A證明:0時(shí),B為正定矩陣證明:XBX=X /E+ A AX所以,證明:X EXXBX=X 0時(shí),0 X A /AX/E+ A AXB為正定矩陣為n階實(shí)反對(duì)稱矩陣,/即A = - A，證明：假如0是矩陣0A的特征根，如此-也是矩陣A的特征A _( EA)/A=-1假如0是矩陣A的特征根,如此0也是矩陣A的特征根高等代

38、數(shù)下答案 1Xo3-20 o11 o1 13-211,B, 2,A 3,A,4,B,5,A三 15分221112X=21解：AE1110004310111714 亠 求X2 3 10 010 0 102 10 0 11 02 00 11003130103230 013243 133 231324A =1X= A四15分把二此型f( x 1 ,x 2 ,x 3)=x 1x 2 + x 1x 3+x 2x 3通過非退化線性替換化成平方和。X1y1y2X1y1y2解：令X3y3222f( x 1 ,x 2 ,x 3)= y1y3 -y 2 -y32 2 2f( x 1 ,x 2 ,x3 )=z 1

39、-z 2 -z34 分非退化線性替換為X1乙Z2Z3X1乙Z2Z3X3Z3求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間交的基和維數(shù)i(3 1,2,1)2 (0,1,0,2)1(1,0,1,3)2(2, 3,1,6)解：=x11 +x22= -y 11-y 224分解方組組的秩為34分所以 dim(W 1W2 )=1，2分1 + 2 = 1 2 2W1W2，3分1+2 是 W1W 2的一組基。2分六（10分）求矩陣210121A=012的特征值與特征向量210121解：012=22-佢2 + 12=05分矩陣的特征值 1=2，2 =2+ - 2，3=2- 2 ，3分解方程組得特征向量為1= 1，0，

40、-1，2= 1,-血，13 =1，'、2，15分A的特征向量為k11+k22+k3 32分七證明題15分m1設(shè)A為n階矩陣，A 0，且A =0，B為n階可逆矩陣，證明 當(dāng)AX=XB時(shí)，必有X=0證明： AX=XBmmA X=XB =03 分B可逆，所以必有 X=02分12設(shè)A是n元正定矩陣，試證： A 也是正定矩陣。證明：A可逆，存在可逆矩陣 C使得TA = C C11 廣T 11 T T 廣1A = C C=C C1所以，A 也是正定矩陣。3證明：每一個(gè)n維向量空間 V都可表為n個(gè)一維子空間的直和證明：設(shè)V為n維向量空間，而 1，2, n為它的一組基，如此L i都是V的一維子空間，且

41、L1+ L2+L n= L1 ,2，n=V而 1 ,2， n為它的一組基，所以零向量的表示方法唯一故以上的和為直和所以，每一個(gè)n維向量空間V都可表為n個(gè)一維子空間的直和高等代數(shù)下答案 一 1 2 ,2 2,三15分43- 5 t 04, 15, a 二 1 D, 2, A 3,2分2分1分B 4 , C 5, CA=1'A解: A = 11a 1a 1A =1= Aa 1a 1=a 1四15分把二此型2 2f( x1,x 2 2f (x1 ,x 2 ,x3 )=w 1 +2w 2 -3w 3 ,xx1w1w2x2w2X3五15分)= x 1 -3x 2 -2 x1x2+2 x 1x3-

42、6x2x3通過非退化線性替換化成平方和。解：二次型f (x1,x2 ,x3)的矩陣11111330130110010100A=00101000200031100110010122201010015分6分2分W3W32分求由向量i生成的子空間與由向量i生成的子空間交的基和維數(shù)門 1(1,2,1,0)，2( 1,1,1,1)21 (2, 1,0,1)，2( 1, 1,3,7)解： =x11 +x22 = -y11 -y 224 分解方組組的秩為34分所以dim(W 1W2)=1，4分5,-2,-3，-4是 W1W2的一組基3分1 +2 =12 2 W1W2，3分1 +2是W1W2的一組基 。2分六(10分)求矩陣A=1的特征值與特征向量解:3=0矩陣的特征值與特征向量1=2=1, 32x12x22X303x12x2X30解方程組,2X12x22X30A的特征向量為