1、 函數(shù)中任意性和存在性問題探究 2011-12-22高考中全稱命題和存在性命題與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合是近年高考的一大亮點(diǎn)，下面結(jié)合高考試題對(duì)此類問題進(jìn)行歸納探究一、相關(guān)結(jié)論：結(jié)論1：；【如圖一】結(jié)論2：；【如圖二】結(jié)論3：；【如圖三】結(jié)論4：；【如圖四】結(jié)論5：的值域和的值域交集不為空；【如圖五】【例題1】：已知兩個(gè)函數(shù);(1) 若對(duì),都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 若,使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3) 若對(duì),都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：（1）設(shè),（1）中的問題可轉(zhuǎn)化為：時(shí)，恒成立，即。；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+00+h(x)k-4

2、5增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因?yàn)?所以，由上表可知，故k-450，得k45,即k45,+).小結(jié)：對(duì)于閉區(qū)間I，不等式f(x)<k對(duì)xI時(shí)恒成立f(x)max<k, xI;不等式f(x)>k對(duì)xI時(shí)恒成立f(x)min>k, xI. 此題常見的錯(cuò)誤解法：由f(x)maxg(x)min解出k的取值范圍.這種解法的錯(cuò)誤在于條件“f(x)maxg(x)min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價(jià).（2）根據(jù)題意可知，（2）中的問題等價(jià)于h(x)= g(x)f(x) 0在x-3,3時(shí)有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x)max= k+7，因此k+7

3、0，即k7,+).小結(jié)：對(duì)于閉區(qū)間I，不等式f(x)<k對(duì)xI時(shí)有解f(x)min<k, xI；不等式f(x)>k對(duì)xI時(shí)有解f(x)max>k, xI.此題常見的錯(cuò)誤解法：由f(x)ming(x)min解出k的取值范圍.這種解法的錯(cuò)誤在于條件“f(x)ming(x)min”既不是是原題的充分要條件，也不是必要條件.(3)根據(jù)題意可知，（3）中的問題等價(jià)于f(x)maxg(x)min，x-3,3.由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得, x-3,3時(shí), f(x)max=120k.仿照（1），利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得x-3,3時(shí), g(x)min=21.由120k21得k141,即k14

4、1,+).說明：這里的x1,x2是兩個(gè)互不影響的獨(dú)立變量.從上面三個(gè)問題的解答過程可以看出,對(duì)于一個(gè)不等式一定要看清是對(duì)“x”恒成立，還是“x”使之成立，同時(shí)還要看清不等式兩邊是同一個(gè)變量，還是兩個(gè)獨(dú)立的變量,然后再根據(jù)不同的情況采取不同的等價(jià)條件,千萬(wàn)不要稀里糊涂的去猜.【例題2】：(2010年山東理科22) 已知函數(shù);(1) 當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)，,使，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：（1）（解答過程略去，只給出結(jié)論）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增；當(dāng)a=時(shí)，函數(shù)f(x)在（0，+）上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<時(shí)，函數(shù)在（0,1）上單調(diào)

5、遞減，在上單調(diào)遞增，在（上單調(diào)遞減；（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+），（x）=a+=，a=時(shí)，由（x）=0可得x1=1,x2=3.因?yàn)閍=（0,），x2=3（0,2）,結(jié)合（1）可知函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,2）上單調(diào)遞增，所以f(x) 在（0,2）上的最小值為f(1)= .由于“對(duì)x1（0,2），x21,2,使f(x1) g(x2)”等價(jià)于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x) 在（0,2）上的最小值f(1)= ”. （）又g(x)=(xb)2+4b2, x1,2,所以 當(dāng)b<1時(shí)，因?yàn)間(x)min=g(1)=52b>0,此時(shí)與（）矛盾； 當(dāng)b1,2時(shí), 因

6、為g(x)min=4b20，同樣與（）矛盾； 當(dāng)b（2，+）時(shí)，因?yàn)間(x)min=g(2)=84b.解不等式84b，可得b.綜上，b的取值范圍是,+).二、相關(guān)類型題：一、型；形如型不等式，是恒成立問題中最基本的類型，它的理論基礎(chǔ)是“在上恒成立，則在xD上恒成立，則”.許多復(fù)雜的恒成立問題最終都可歸結(jié)到這一類型.例1 ：已知二次函數(shù)，若時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：，；即；當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，aR.當(dāng)時(shí)，由得：，而.又，綜上得a的范圍是。 二、型例2 已知函數(shù)，若對(duì)，都有成立，則的最小值為_.解 對(duì)任意xR，不等式恒成立，分別是的最小值和最大值.對(duì)于函數(shù)，取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最

7、小距離是，即半個(gè)周期.又函數(shù)的周期為4，的最小值為2.三、.型例3： (2005湖北)在這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是() A.0B.1C.2D.3解：本題實(shí)質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件的函數(shù)，應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知符合題意；四、.型例4 已知函數(shù)定義域?yàn)椋?，時(shí)，都有，若對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.解：任取，則，由已知，又，f，即在上為增函數(shù).，恒有；要使對(duì)所有，恒成立，即要恒成立，故恒成立，令，只須且，解得或或。評(píng)注： 形如不等式或恒成立，實(shí)際上是函數(shù)的單調(diào)性的另一種表現(xiàn)形式，在解題時(shí)要注意此種類型不等式所蘊(yùn)涵的重要信息.五、.型：例5： 已知，若當(dāng)時(shí)，)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零.令，即在0,1上單調(diào)遞減，F(xiàn)(0)是最大值.，即。六、型例6：已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有，求的范圍.解：因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，令得x3或x-1；得；在為增函數(shù)，在為減函數(shù).，.，。七、（為常數(shù)）型；例7 ：已知函數(shù)，則對(duì)任意（）都有恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)=_，=_時(shí)取等號(hào).解：因?yàn)楹愠闪ⅲ桑浊蟮?，。? ：已知函數(shù)滿足：(1)定義域?yàn)椋?2)方程至少有兩個(gè)實(shí)根和；(3)過圖像上任意兩點(diǎn)的直線的斜率絕對(duì)值不大于1.(1)證明|；(2)證明：對(duì)任意，都有.證明 (1)略；(2)由條件(2)知，不妨設(shè)，由(3)知，又