1、 , 1記記進(jìn)行三次射擊進(jìn)行三次射擊設(shè)某射手對(duì)一目標(biāo)接連設(shè)某射手對(duì)一目標(biāo)接連練習(xí)練習(xí) , , 次次未未擊擊中中目目標(biāo)標(biāo)第第次次擊擊中中目目標(biāo)標(biāo)第第iAiAii 3 , 2 , 1, , 3 , 2 , 1 表示事件表示事件試用試用 iAAiii 3 , 2 , 1 , 0, 1 jjBj次次擊擊中中目目標(biāo)標(biāo)三三次次射射擊擊中中恰恰好好有有 3 , 2 , 1 , 0, 2 kkCk次擊中目標(biāo)次擊中目標(biāo)三次射擊中至少有三次射擊中至少有 解解 0 1 B 次擊中目標(biāo)次擊中目標(biāo)三次射擊中恰好有三次射擊中恰好有0321AAA 1B321321321AAAAAAAAA 2B321321321AAAAAA

2、AAA 3B321AAA 0 2 C 次次三次射擊中至少擊中三次射擊中至少擊中0 次次次次或或次次或或次次或或三三次次中中恰恰好好擊擊中中321 0 3210BBBB 1C321BBB 2C32BB 3C3B 321AAA 323121AAAAAA 321AAA (1)沒(méi)有一個(gè)是次品沒(méi)有一個(gè)是次品;(2)至少有一個(gè)是次品至少有一個(gè)是次品;(3)只有一個(gè)是次品只有一個(gè)是次品;(4)至少有三個(gè)不是次品至少有三個(gè)不是次品;(5)恰好有三個(gè)是次品恰好有三個(gè)是次品; (6)至多有一個(gè)是次品至多有一個(gè)是次品.解解;)1(4321AAAA:, )4, 3, 2, 1(,示示下下列列各各事事件件表表試試用用個(gè)

3、個(gè)零零件件是是正正品品產(chǎn)產(chǎn)的的第第表表示示他他生生零零件件設(shè)設(shè)一一個(gè)個(gè)工工人人生生產(chǎn)產(chǎn)了了四四個(gè)個(gè)iiAiiA 2練練4321432143214321)2(AAAAAAAAAAAAAAAA4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA43214321AAAAAAAA43214321AAAAAAAA43214321AAAAAAAA,4321AAAA;4321AAAA或或;)3(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA4321432143214321)4(AAAAAAAAAAAAAAAA;4321AAAA; )5(4321432143214321AAAAA

4、AAAAAAAAAAA.)6(43214321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 練習(xí)練習(xí) 3 設(shè)設(shè)有有 n 個(gè)人，每個(gè)人都個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配等可能地被分配到到N個(gè)個(gè)房房間間中的中的任意任意一間一間去住去住 試求下列事試求下列事件的概率件的概率)(NnN(1) A=指定指定的的n個(gè)個(gè)間房中各有一人間房中各有一人住住 (2) B=恰恰好好有有n個(gè)個(gè)間房，其中各有一人間房，其中各有一人住住 nN 解解 因?yàn)槊恳粋€(gè)人有因?yàn)槊恳粋€(gè)人有N個(gè)房間可供選擇（沒(méi)有限制個(gè)房間可供選擇（沒(méi)有限制每間房子住多少人），所以每間房子住多少人），所以n 個(gè)人住的方式共有個(gè)人住的方式

5、共有 種，它們是等可能的種，它們是等可能的. . (1) n個(gè)人都分到個(gè)人都分到指定指定的的n間房間房去住，保證每間房去住，保證每間房中各有一人住中各有一人住;第一個(gè)人有第一個(gè)人有 n 種分法，第二個(gè)人有種分法，第二個(gè)人有 n-1 種分法，種分法，.，最后一個(gè)人只能分到剩下的一間房中，最后一個(gè)人只能分到剩下的一間房中去住，共有去住，共有n(n-1).21 種分法，即種分法，即A含有含有n!個(gè)基本事件個(gè)基本事件.nNnAP!)( n個(gè)人都分到的個(gè)人都分到的n間房間房中，保證每中，保證每間間只只有一人有一人住，住，共有共有n!種分法，而種分法，而n間房間房未指定，故可以從未指定，故可以從N間房中間

6、房中任意選取，共有任意選取，共有nNC種取法，故種取法，故B包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為!nCnN所以所以nnNNnCBP!)(2) B=恰恰好好有有n個(gè)個(gè)間房，其中各有一人間房，其中各有一人住住 練習(xí)練習(xí)4 某接待站在某一周曾接待過(guò)某接待站在某一周曾接待過(guò) 12 次來(lái)訪，已次來(lái)訪，已知這知這 12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的次接待都是在周二和周四進(jìn)行的. 問(wèn)是否可問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？解解 假設(shè)該站接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定，各來(lái)訪者在假設(shè)該站接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定，各來(lái)訪者在一一周的任一天去接待站是周的任一天去接待站是等可能的等可能的，則，則12 次次接待來(lái)訪

7、者都在周二、周四的概率為接待來(lái)訪者都在周二、周四的概率為 212/712=0.0000003 人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的”（稱為實(shí)際推斷原理）（稱為實(shí)際推斷原理）.現(xiàn)在概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中竟然發(fā)生了現(xiàn)在概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中竟然發(fā)生了，從而從而推斷該站接待時(shí)間是有規(guī)定的。推斷該站接待時(shí)間是有規(guī)定的。 練習(xí)練習(xí)5 設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的年以上的概率為概率為0.8，活到，活到25年以上的概率為年以上的概率為0.4. 問(wèn)現(xiàn)年問(wèn)現(xiàn)年20歲歲的這種動(dòng)

8、物，它能活到的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？歲以上的概率是多少？解解 設(shè)設(shè)A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依題意，依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求為所求為 P(B|A) .)()()|(APABPABP5 . 08 . 04 . 0)()(APBP , 6第第一一次次落落下下時(shí)時(shí)透透鏡鏡設(shè)設(shè)某某光光學(xué)學(xué)儀儀器器廠廠制制造造的的例例 , , 21 第二次落下第二次落下若第一次落下未打破若第一次落下未打破打破的概率為打破的概率為 , , 107第第三三次次落落下下打打若若前前兩兩次次未未打打破破打打破破的的概概率率是是 . , 109破破的的

9、概概率率試試求求透透鏡鏡落落下下三三次次未未打打破破的的概概率率是是 解解 , 3 , 2 , 1, iiAi次次落落下下打打破破透透鏡鏡第第設(shè)設(shè) , 則則透鏡落下三次未打破透鏡落下三次未打破 B . 321AAAB 321AAAPBP 213121|AAAPAAPAP 10911071211 . 2003 A 1995 7聯(lián)聯(lián)賽賽的的最最后后年年全全國(guó)國(guó)足足球球甲甲抓抓鬮鬮問(wèn)問(wèn)題題例例 , 一隊(duì)的比賽在成都市一隊(duì)的比賽在成都市四川全興隊(duì)與解放軍八四川全興隊(duì)與解放軍八一輪一輪 , 全興隊(duì)是否降級(jí)的命全興隊(duì)是否降級(jí)的命這場(chǎng)比賽是關(guān)系到四川這場(chǎng)比賽是關(guān)系到四川進(jìn)行進(jìn)行 30 , , 位同學(xué)位同學(xué)可

10、西南交大某班可西南交大某班肯定會(huì)異常精彩肯定會(huì)異常精彩運(yùn)之戰(zhàn)運(yùn)之戰(zhàn) , , 只只好好采采取取抓抓鬮鬮的的辦辦大大家家都都想想去去看看僅僅購(gòu)購(gòu)得得一一張張票票 , . , 每每人人抽抽試試問(wèn)問(wèn)取取每每個(gè)個(gè)人人都都爭(zhēng)爭(zhēng)先先恐恐后后地地抽抽法法抽抽簽簽決決定定 ? 得此票的機(jī)會(huì)是否均等得此票的機(jī)會(huì)是否均等 解解 , 30, 2 , 1, 則則個(gè)個(gè)人人抽抽得得球球票票第第設(shè)設(shè) iiAi 1AP301 率為率為第一個(gè)人抽得球票的概第一個(gè)人抽得球票的概 率率為為第第二二個(gè)個(gè)人人抽抽得得球球票票的的概概 2AP21AAP 121| AAPAP 2913029 301 , , 必必須須在在他他抽抽取取之之前前

11、個(gè)個(gè)人人要要抽抽得得比比賽賽球球票票第第同同理理i , 1 即即事事件件一一起起出出現(xiàn)現(xiàn)個(gè)個(gè)人人都都沒(méi)沒(méi)有有抽抽到到此此票票的的的的 i iiiAAAAPAP121 11121| iiAAAPAAPAP 130129283029 i , 301 . 30, 2 , 1 i . , 301, 即機(jī)會(huì)均等即機(jī)會(huì)均等是是各人抽得此票的概率都各人抽得此票的概率都所以所以 0 , , 當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)出出信信號(hào)號(hào)由由于于隨隨機(jī)機(jī)干干擾擾在在數(shù)數(shù)字字通通迅迅中中 ,0.2 0.7 1 , , 0 , 的概率分別是的概率分別是不清不清收到信號(hào)收到信號(hào)時(shí)時(shí) , 1 , 1 ; 0.1 和和不不清清收收到到信信號(hào)號(hào)為為

12、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)信信號(hào)號(hào)和和 , 0 ,0.1 0.9 0 如如果果整整個(gè)個(gè)發(fā)發(fā)報(bào)報(bào)過(guò)過(guò)程程中中和和的的概概率率分分別別是是 , 0.4 0.6 1 0 不不清清當(dāng)當(dāng)收收到到和和出出現(xiàn)現(xiàn)的的概概率率分分別別是是和和 ? , 試推測(cè)原發(fā)信號(hào)是什么試推測(cè)原發(fā)信號(hào)是什么時(shí)時(shí) 0 則則發(fā)發(fā)出出信信號(hào)號(hào)設(shè)設(shè)解解,B 1 發(fā)發(fā)出出信信號(hào)號(hào) B , 不不清清收收到到信信號(hào)號(hào) A . 1 0 的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分或或發(fā)發(fā)出出信信號(hào)號(hào)為為與與則則 BB練練8 8 0 的的概概率率為為而而原原發(fā)發(fā)信信號(hào)號(hào)為為不不清清故故收收到到信信號(hào)號(hào)為為 APABPABP | BAPBPBAPBPBAPBP| . 0.750.10

13、.40.20.60.20.6 1 的的概概率率為為而而原原發(fā)發(fā)信信號(hào)號(hào)為為不不清清而而收收到到信信號(hào)號(hào)為為 ABPABP|1| . 25. 075. 01 75% ( , 確確切切地地說(shuō)說(shuō)有有能能可可以以推推測(cè)測(cè)原原發(fā)發(fā)信信號(hào)號(hào)很很可可因因此此 . 0 ) 是是的的可可能能練練9 9 玻璃杯玻璃杯成成箱出售箱出售, ,每箱每箱2020只只, ,假設(shè)各假設(shè)各箱含箱含0 0，1 1，2 2只只殘殘次品的概率分別為次品的概率分別為0.8, 0.10.8, 0.1和和0.10.1，某顧客，某顧客欲購(gòu)欲購(gòu)一箱玻璃杯，一箱玻璃杯，在購(gòu)買時(shí)售貨員隨意取一箱，而在購(gòu)買時(shí)售貨員隨意取一箱，而顧客顧客開箱隨機(jī)地查

14、看開箱隨機(jī)地查看4 4只，只，若無(wú)殘若無(wú)殘次品次品，則，則買下買下該該箱箱玻璃杯，玻璃杯，否則退回否則退回. . 試求（試求（1 1）顧客買下顧客買下該該箱箱的概率的概率是多少？是多少？（2 2）在）在顧客買下顧客買下的一的一箱箱中，確實(shí)沒(méi)有殘中，確實(shí)沒(méi)有殘次次品的概率是多少？品的概率是多少？解解 設(shè)設(shè)A表示事件表示事件“顧客買下顧客買下所查看的一箱所查看的一箱玻璃杯玻璃杯”iB表示事件表示事件“箱中恰有箱中恰有i i件殘件殘次品次品”，., 210i易知，易知，210BBB,是樣本空間是樣本空間S S的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分. .,.)(800BP由題意，由題意，有有1021.)()(BPBP(

15、1)(1)顧客買下顧客買下該該箱玻璃杯箱玻璃杯的前提的前提是是售貨員隨意取售貨員隨意取一箱，而一箱，而顧客顧客開箱隨機(jī)地查看開箱隨機(jī)地查看4 4只只無(wú)殘無(wú)殘次品次品. .14204200CCBAP)|(544204191CCBAP)|(19124204182CCBAP)|(由全概率公式，由全概率公式，顧客買下顧客買下該該箱玻璃杯箱玻璃杯的概率為的概率為)()()(iiiBPBAPAP209401912105410180.由由Bayes 公式公式)()|()()|(APBAPBPABP000850940801. （2 2）在）在顧客買下顧客買下的一的一箱箱中，確實(shí)沒(méi)有殘中，確實(shí)沒(méi)有殘次品的概次品

16、的概率是多少？率是多少？ 練練10 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人三人擊中的概率分別為擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛飛 機(jī)被一人擊中而擊機(jī)被一人擊中而擊落的概率為落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人若三人都擊中都擊中, 飛機(jī)必定被擊落飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)被擊落的概率求飛機(jī)被擊落的概率.Ai=飛機(jī)被飛機(jī)被i人擊中人擊中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式則則 B=BA1+BA2+BA3解解依題意，依題意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1P(B)=

17、P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)設(shè)設(shè)B=飛機(jī)被擊落飛機(jī)被擊落可求得可求得 為求為求P(Ai ) , 設(shè)設(shè) Hi=飛機(jī)被第飛機(jī)被第i人擊中人擊中, i=1,2,3 將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得)()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAPP(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飛

18、機(jī)被擊落的概率為即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.于是于是nAAAA 21練練11 設(shè)每門炮在一次射擊中，擊中敵機(jī)的概設(shè)每門炮在一次射擊中，擊中敵機(jī)的概率為率為0.4。問(wèn)至少需配置多少門炮，才能以。問(wèn)至少需配置多少門炮，才能以99%以上的把握擊中一架來(lái)犯敵機(jī)？以上的把握擊中一架來(lái)犯敵機(jī)？解解 設(shè)至少需配置設(shè)至少需配置n門炮，并記：門炮，并記： Ai=第第i門炮擊中敵機(jī)門炮擊中敵機(jī)，i=1,2,n A=敵機(jī)被擊中敵機(jī)被擊中，則：，則：99. 0)()(,21 nAAApApn使使得得求求由于由于nnAAAAAAA2121而而nAAA21相互獨(dú)立，所以相互獨(dú)立，所以)()()(nAAAPAPAP21

19、11)()()(nAPAPAP211n).( 601因此因此990601.).(n即即01060.).(n017922180260010.lg.lgn因此因此 至少配置至少配置10門炮門炮.練練1212 一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過(guò)去的銷一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過(guò)去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)=5的泊松分布來(lái)描述，為了的泊松分布來(lái)描述，為了使使95%以上的把握保以上的把握保證不脫銷，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)證不脫銷，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？某種商品多少件？解解 設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知已知

20、X服從參數(shù)服從參數(shù)=5的泊松分布的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品某種商品m件件, ,求滿足求滿足P X m 0.95 的最小的的最小的m .進(jìn)貨數(shù)進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)銷售數(shù)查泊松分布表得查泊松分布表得,032. 0!5105kkke求滿足求滿足P X m 0.95 的最小的的最小的m.PXm 0.05也即也即068. 0!595kkke于是得于是得 m+1=10,m=9件件150505mkkke.!或或試說(shuō)明試說(shuō)明F(x)能否是某個(gè)能否是某個(gè)r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù).練練13 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) F(x)其它00sin)(xxxF不滿足性質(zhì)不滿足性質(zhì)(2)， 可見可見F(x)也不

21、也不能是能是r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 解解 注意到函數(shù)注意到函數(shù) F(x)在在 上下降，上下降，不滿足性質(zhì)不滿足性質(zhì)(1)，故，故F(x)不能是分布函數(shù)不能是分布函數(shù)., 2或者或者0)(lim)(xFFx0,( )arcsin,1,xaxF xABaxaaxa 練習(xí)練習(xí)14 14 設(shè)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為求求 （1）系數(shù)）系數(shù)A,B的值；的值；;2aPaX （2）（3 3）隨機(jī)變量）隨機(jī)變量X X的密度函數(shù)的密度函數(shù). .故有故有()lim( ),xaFaF x( )lim( ),xaF aF x解解 (1) (1) 因?yàn)橐驗(yàn)閄 X是連續(xù)型隨機(jī)變量

22、是連續(xù)型隨機(jī)變量, ,所以所以( )F x連續(xù)，連續(xù)，arcsinaABa即即2ABarcsinaABa2AB10解解之得之得 121BA,( )( )f xF x221,0,.axaxa其它（3 3）隨機(jī)變量）隨機(jī)變量X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為由于由于0,11( )arcsin,21,xaxF xaxaaxa ).(abyFXyYPyFY)( 證明證明 分別分別設(shè)設(shè) Y 的分布函數(shù)的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)與概率密度函數(shù)分別分別為為 ).(),(yfyFYY先設(shè)先設(shè), 0a即有即有ybaXPabyXP若若, 0a則有則有yYPyFY)(ybaXPabyXP).(abyFX12 , NXba

23、XY其中其中baa),(0為常數(shù)為常數(shù).練習(xí)練習(xí)15 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，也也服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布，證明證明)()(yFyfYY)(abyFX).(abyFX1將上兩式分別關(guān)于將上兩式分別關(guān)于y求導(dǎo)求導(dǎo)，得得)(yFY)(yFY)(abyfaX1222211 )(abyea整理，得整理，得)(yfY)()(222211 abayea故故2)( , abaNY 練習(xí)練習(xí)16 一民航送客車載有一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出位旅客自機(jī)場(chǎng)開出,旅客有旅客有10個(gè)車站可以下車個(gè)車站可以下車,如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車下車就不停車.以以X

24、表示停車的次數(shù)，求表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立下車相互獨(dú)立)10, 2 , 110 iiiXi站有人下車站有人下車在第在第站沒(méi)有人下車站沒(méi)有人下車在第在第引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量解解1021XXXX易知易知10211091110902020,iXPXPii1021109120,)(iXEi由由此此次次進(jìn)進(jìn)而而784. 8109110)()()()()(2010211021 XEXEXEXXXEXE問(wèn)平均內(nèi)經(jīng)問(wèn)平均內(nèi)經(jīng)取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn) 練

25、習(xí)練習(xí)1717 設(shè)某自動(dòng)生產(chǎn)線加工的某種零件的設(shè)某自動(dòng)生產(chǎn)線加工的某種零件的內(nèi)經(jīng)內(nèi)經(jīng)X（單位：（單位：mm）服從）服從 內(nèi)經(jīng)小于內(nèi)經(jīng)小于1010或大于或大于1212為不合格品，其余為合格品，銷為不合格品，其余為合格品，銷售合格品獲利，生產(chǎn)不合格品則虧損，已知售合格品獲利，生產(chǎn)不合格品則虧損，已知利潤(rùn)利潤(rùn)T T（單位：元）與內(nèi)經(jīng)（單位：元）與內(nèi)經(jīng)X X有如下關(guān)系有如下關(guān)系),(1 N125121020101XXXT, 最大最大. .解解3215201pppT 1(10)(10)pP X 2(1012)(12)(10)pPX 3(12)1(12)pP X 3215201pppT ),(1 NX其中

26、其中221( )2xxxedx221( )2xxe( )(10)20 (12)(10)E T51(12) ( )25 (12)21 (10)E T ( )0E T 令令12511ln221解得解得練練1818 設(shè)設(shè)RxxXExf,)()(2(X(X是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量) )證明當(dāng)證明當(dāng))(XEx 時(shí)，時(shí)，)(xf達(dá)到最小值達(dá)到最小值. .證明證明 由題意由題意2)()(xXExf)(222xxXXE222xXxEXE)()(兩邊對(duì)兩邊對(duì)x x求導(dǎo)，有求導(dǎo)，有)()(XExxf22顯然，當(dāng)顯然，當(dāng))(XEx 時(shí)，時(shí)，0)(xf又又 ,)(02xf當(dāng)當(dāng))(XEx 時(shí)，時(shí)，)(xf達(dá)到最小值達(dá)到最小

27、值. .最小值為最小值為2)()(XEXEXEf)(XD 這個(gè)例子又一次說(shuō)明數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量這個(gè)例子又一次說(shuō)明數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量X取值的集中位置，反映了取值的集中位置，反映了X的平均值的平均值. 練練19 設(shè)設(shè)X1,X2, 是是相互獨(dú)立同分布相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變的隨機(jī)變量量，其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為1( )arctan,xF xAB其中其中0,B 則辛欽大數(shù)定理則辛欽大數(shù)定理對(duì)對(duì)此此序列序列Xk是否適用？是否適用？ 分析分析 辛欽大數(shù)定理成立的條件：（辛欽大數(shù)定理成立的條件：（1）隨機(jī)變量）隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布；（序列獨(dú)立同分布；（2）數(shù)學(xué)期望）數(shù)學(xué)期望EX，n=1,2,.存在存在.解解

28、 由題意，只需判斷廣義積分由題意，只需判斷廣義積分()dF xxdxdx 是否收斂即可是否收斂即可.22( )( ),()dF xBf xdx Bx 因?yàn)橐驗(yàn)槟敲茨敲?)dF xxdxdx 22()B xdx Bx 222202()B xBxdxdx BxBx 22220()Bd BxBx 22220()limaaBd BxBx 22ln(1)limaBaB 數(shù)學(xué)期望不存在，即辛欽大數(shù)定理數(shù)學(xué)期望不存在，即辛欽大數(shù)定理對(duì)對(duì)此此序列序列Xk不適用不適用 練練20 在每次試驗(yàn)中，事件在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為0.75，請(qǐng)利用切比雪請(qǐng)利用切比雪夫夫不等式計(jì)算下列問(wèn)題不等式計(jì)算下列問(wèn)

29、題 （1）在）在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)在發(fā)生的次數(shù)在700800之間的概率；之間的概率； （2）n多大時(shí)才能保證在多大時(shí)才能保證在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.740.76之間的概率至少為之間的概率至少為0.90？解解 設(shè)設(shè)X=“1000次獨(dú)立試驗(yàn)中事件次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)”，則，則(1000,0.75)XB且有且有()1000 0.75750E Xnp ()(1)10000.75(10.75)187.5D Xnpp （1） 700800PX （1） 700800PX 700750750800750P

30、X 5075050PX 2()75050150D XPX 2187.510.92550 （2）設(shè)）設(shè)X=“n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)”，則，則( ,0.75)XB n事件事件A發(fā)生的頻率為發(fā)生的頻率為,Xn那么那么0.740.76XPn 0.740.76XPn 0.740.76PnXn 0.740.750.750.760.75PnnXnnn 0.010.750.01PnXnn 0.750.01PXnn2()1(0.01 )D Xn22(1)0.187511(0.01 )(0.01 )nppnnn 187510.90n所以所以18750,n 即至少要做即至少要做18

31、750次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，才能保證試驗(yàn)中事件才能保證試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.740.76之間的之間的概率至少為概率至少為0.90.解解P(X h)0.01 或或 P(X h) 0.99下面我們來(lái)求滿足上式的最小的下面我們來(lái)求滿足上式的最小的h . . 練練2121 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在頭機(jī)會(huì)在 0.01 以下來(lái)設(shè)計(jì)的以下來(lái)設(shè)計(jì)的. .設(shè)男子身高設(shè)男子身高XN( (170, ,62),),問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定? ? 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為h cm, ,按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求因?yàn)橐驗(yàn)?X

32、N( (170, ,62),),故故 P(X h)=設(shè)計(jì)車門高度為設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí)，可使厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭男子與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01. .P(X0.99 因而因而 1702.336h 即即 h=170+13.98 184 練練22 (供電問(wèn)題供電問(wèn)題)某車間有某車間有200臺(tái)車床臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車常需停車. 設(shè)開工率為設(shè)開工率為0.6, 并設(shè)每臺(tái)車床的工作是并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力1千瓦千瓦.問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就

33、能以問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?用用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù) 解解 對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn) 是觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作是觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作, 工作的概率工作的概率0.6 ,共進(jìn)行共進(jìn)行200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).依題意，依題意，XB(200,0.6)現(xiàn)在的問(wèn)題是現(xiàn)在的問(wèn)題是P(XN)0.999的最小的的最小的N.求滿足求滿足設(shè)需設(shè)需N臺(tái)車床工作，臺(tái)車床工作，（由于每臺(tái)車床在開工時(shí)需電力（由于每臺(tái)車床在開

34、工時(shí)需電力1千瓦，千瓦，N臺(tái)工作所需電力即臺(tái)工作所需電力即N千瓦千瓦.）由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理)1 (pnpnpX近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)= P(0XN)這里這里 np=120, np(1-p)=48)48120()48120(N由由3準(zhǔn)則，準(zhǔn)則，此項(xiàng)為此項(xiàng)為0。)48120N(999.0)48120( N由由查正態(tài)分布函數(shù)表得查正態(tài)分布函數(shù)表得999. 0) 1 . 3(從中解得從中解得N141.5,即所求即所求N=142. 也就是說(shuō)也就是說(shuō), 應(yīng)供應(yīng)應(yīng)供應(yīng)142 千瓦電力就能以千瓦電力就能以99.9%的的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)概

35、率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn).48120N 3.1,故故練練23.獨(dú)獨(dú)立立，且且服服從從同同一一分分布布會(huì)會(huì)議議的的家家長(zhǎng)長(zhǎng)數(shù)數(shù)相相互互名名學(xué)學(xué)生生，設(shè)設(shè)各各學(xué)學(xué)生生參參加加共共有有若若學(xué)學(xué)校校、分分別別為為家家長(zhǎng)長(zhǎng)來(lái)來(lái)參參加加會(huì)會(huì)議議的的概概率率名名名名家家長(zhǎng)長(zhǎng)、個(gè)個(gè)學(xué)學(xué)生生無(wú)無(wú)家家長(zhǎng)長(zhǎng)、是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量，設(shè)設(shè)一一參參加加家家長(zhǎng)長(zhǎng)會(huì)會(huì)的的家家長(zhǎng)長(zhǎng)人人數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于一一個(gè)個(gè)學(xué)學(xué)生生而而言言，來(lái)來(lái)4001508005021.的的概概率率生生數(shù)數(shù)不不多多于于名名家家長(zhǎng)長(zhǎng)來(lái)來(lái)參參加加會(huì)會(huì)議議的的學(xué)學(xué)）求求有有（的的概概率率；超超過(guò)過(guò)）求求參參加加會(huì)會(huì)議議的的家家長(zhǎng)長(zhǎng)數(shù)數(shù)（34012

36、4501X解解15. 08 . 005. 0210)400,2 , 1()1(kkkkpXXkkX的的分分布布律律為為的的家家長(zhǎng)長(zhǎng)數(shù)數(shù)，則則個(gè)個(gè)學(xué)學(xué)生生來(lái)來(lái)參參加加會(huì)會(huì)議議記記第第以以 .400, 2 , 119. 0)(, 1 . 1)( kXDXEkk易易知知).,.(.190400114001,4001NXXXkk近似地近似地可知隨機(jī)變量可知隨機(jī)變量由定理由定理而而），（即有即有近似地近似地10N19040011400190400114004001.XXkk于是于是76101904001140045019040011400450.XPXP1471190400114001.XP1257.

37、0)147. 1(1 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400340YPXP 5 . 22 . 08 . 04008 . 0400YP9938. 0)5 . 2( ），（隨隨機(jī)機(jī)變變量量近近似似地地2 . 08 . 04008 . 0400NY 得得，由由定定理理議議的的學(xué)學(xué)生生數(shù)數(shù)，則則記記有有一一名名家家長(zhǎng)長(zhǎng)來(lái)來(lái)參參加加會(huì)會(huì)以以2804002).,()(bYY練練24 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布小時(shí)的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機(jī)地取現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的. 求這求這16只元件的壽命的總和大于只元件的壽命的總和大于1920小小時(shí)的概率時(shí)的概率.由題給條件知，諸由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，獨(dú)立，16只元件的壽命的總和為只元件的壽命的總和為161kkXY解解 設(shè)第設(shè)第i只元件的壽命為只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16E(Xi)=100, D(Xi)=10000依題意，所求為依題意，所