1、直角三角形中成比例線段（二） 一、教學(xué)目的和要求 1. 使學(xué)生掌握直角三角形中成比例線段的性質(zhì)。 2. 使學(xué)生會(huì)解直角三角形中，已知兩個(gè)條件（至少一邊）的題。 二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 掌握直角三角形中成比例線段的關(guān)系為難點(diǎn)，應(yīng)用為重點(diǎn)。 三、教學(xué)過(guò)程 （一）復(fù)習(xí)、引入 直角三角形有哪些性質(zhì)？由學(xué)生回答再歸納。 （1）兩銳角互余 （2）勾股定理 （3）斜邊中線等于斜邊一半 （4）角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 （5）斜邊上高線分出的兩個(gè)三角形與原三角形相似 （6）根據(jù)面積關(guān)系，兩直角邊乘積等于斜邊乘以斜邊上的高。 （二）新課 今天我們進(jìn)一步研究直角三角形中成比例線段的性質(zhì)。 我們知道中，于D，這里可以

2、得到三對(duì)相似三角形，分別寫(xiě)出它們對(duì)應(yīng)邊的比例式。（見(jiàn)圖1）圖1 在上面提到的三對(duì)相似三角形中都有一條公共邊，但它們不會(huì)是對(duì)應(yīng)邊，將含有公共邊的比例式改寫(xiě)成等積式是(1)中：這三個(gè)關(guān)系式在以前的課本上是以定理的形式出現(xiàn)，而現(xiàn)行的九年義務(wù)教育教材中此內(nèi)容只是在例題中出現(xiàn)，考慮這個(gè)結(jié)論在以后“圓”中運(yùn)用較多，而變成等積式后特點(diǎn)較突出對(duì)記憶有好處，建議老師仍將“射影定理”的名稱(chēng)及內(nèi)容告訴學(xué)生，便于以后分析問(wèn)題，（但注意不可直接使用）。這三個(gè)式子反映出一條線段是其余兩條線段的比例中項(xiàng)，教師一定要將三條線段的位置關(guān)系分析清楚，只要明白是哪兩個(gè)三角形相似得來(lái)的，比例式自然就可寫(xiě)出。 如圖2，CD是的斜邊AB

3、上的高，設(shè)，用表示圖中的關(guān)系。圖2 1. 勾股定理 2. 比例中項(xiàng)關(guān)系 3. 面積關(guān)系 4. 其它 通過(guò)以上關(guān)系,我們可以分析出在的六條線段中知道任意兩線段的長(zhǎng)，可以求出其它線段的長(zhǎng)。下面我們舉出幾種題型。 例1 如上圖CD是的斜邊AB上的高。 （1）已知： 解： 注意：求要選擇其它方法都比較麻煩，利用面積關(guān)系最簡(jiǎn)單。 （2）已知： 解：先求利用勾股定理 （3）已知： 分析：求，必先知；與有關(guān)，而，其中是已知線段。 解： 練習(xí)：條件如例1 （1）已知： （2）已知： （3）已知： （4）已知： 請(qǐng)同學(xué)們充分討論。目前解題中可以直接使用射影定理，目的為了熟悉直角三角形中邊的各種關(guān)系。 例2 已知

4、：中，是直角，AD是高，AB2AC，求證：5AD2BC 分析：求證中是研究AD與BC的關(guān)系，斜邊BC與斜邊上的高，AD不會(huì)有比例關(guān)系，而AD與DC，BD有比例關(guān)系，且BCCDDB，由于，所以可利用。來(lái)求AD、BD、DC間倍數(shù)關(guān)系。圖3 證明：是直角，AD是高 （三）小結(jié) 直角三角形中的成比例線段很重要，在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到。其中要抓住兩直角邊、及斜邊上的高是比例中項(xiàng)的情況（即）。注意要使用這個(gè)關(guān)系時(shí)，還要再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例證明一下。因?yàn)樗皇嵌ɡ怼?由于直角三角形中的關(guān)系除了射影定理外，還有勾股定理，所以在求某一線段時(shí)，關(guān)系較多，方法并不唯一，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真分析題意。一般情況下，若勾股定理或射影定理都能使用時(shí)，往往利用射影定理，因?yàn)樗挠?jì)算較勾股定理簡(jiǎn)單。 （四）作業(yè) 1. CD是的斜邊AB上的高，設(shè)，。 （1）已知：； （2）已知：； （3）已知：； （4）