1、第第2 2章章拋物型方程的差分方法拋物型方程的差分方法 2.1 2.1 差分格式建立的基礎差分格式建立的基礎 2.2 2.2 顯顯式式差分格式差分格式 2.3 2.3 隱式差分格式隱式差分格式 2.4 2.4 解三對角形方程的追趕法解三對角形方程的追趕法 2.5 2.5 差分格式的穩(wěn)定性和收斂性差分格式的穩(wěn)定性和收斂性 2.6 2.6 非線性拋物型方程的差分解法舉例非線性拋物型方程的差分解法舉例 2.7 2.7 二維拋物型方程的差分格式二維拋物型方程的差分格式 2.8 2.8 交替方向的隱式差分格式交替方向的隱式差分格式( ( ADIADI 格式格式) ) 本章，我們研究線性拋物型方程的差分解

2、法，主要討論差分方程的構造方法和有關的理論問題以及研究方法等，重點在于一維線性拋物型方程的差分方法，對于非線性以及多維拋物型方程的差分解法也進行了研究。 其中, 為 平面上某一區(qū)域。,),( , 0),(, 0),(),(txtxctxatxxtutxcxutxbxutxaxtutx),(),(),(),(2.1)眾所周知，一維線性拋物型方程的一般形式為 (2) 初邊值問題(或稱混合問題) 通?？紤]的定解問題有：(1) 初值問題(或稱Cauchy問題) 在區(qū)域 上求函數(shù)，使?jié)M足Ttxtx0 ,| ),(xxxutx)()0 ,(),() 1 . 2(方程(2.2) 為給定的初始函數(shù)。)(xTt

3、ttuttuxxxutx0)(), 1 (),(), 0(10)()0 ,(),() 1 . 2(21方程(2.3)(2.4) 在區(qū)域上 ，使?jié)M足Ttxtx0 , 10| ),(),(txu邊值條件初值條件求函數(shù) 為了構造微分方程(2.1)的有限差分逼近,首先將求解區(qū)域 用二組平行 軸和 軸的直線構成的網(wǎng)格覆蓋，網(wǎng)格邊長在方向 為 ，在 方向為 (如圖2.1所示)。 分別稱為空間方向和時間方向的步長，網(wǎng)格線的交點稱為網(wǎng)格的結點。對初值問題來說，網(wǎng)格是xtxhx tkt kh,kTNNnnktn;, 2 , 1 , 0, 2, 1, 0mmhxm2.1 2.1 差分格式建立的基礎差分格式建立的基

4、礎在 上的結點稱為邊界結點,屬于 內的結點 0t稱為內部結點。對于初邊值問題，設 ，則網(wǎng)格是Ttxtx0 , 10| ),(kTNNnnktn;, 2 , 1 , 01;, 2 , 1 , 0MhMmmhxm研究導數(shù)的差商近似表達式。對二元函數(shù) 定義 ，且假定 具有我們需要的有界偏導數(shù)。),(txuu ),(nmnmtxuu),(txuu 在 上的結點稱為邊界結點，屬于 內的結點稱為內部結點。1, 0, 0 xxt 差分方程就是在網(wǎng)格點上求出微分方程解的近似值的一種方法，因此又稱為網(wǎng)格法。 構造逼近微分方程的差分方程的方法。構造逼近微分方程的差分方程的方法。由Taylor展開，有 nmnmnm

5、nmnmxuhxuhxuhtxutxu)(! 3)(! 2)(! 1),(),(3332221nmnmnmnmnmxuhxuhxuhtxutxu)(! 3)(! 2)(! 1),(),(3332221則 在 處對 的一階偏導數(shù)有三個可能的近似:u),(nmtxxhuuhtxutxuxunmnmnmnmnm11),(),()(huuhtxutxuxunmnmnmnmnm11),(),()(huuhtxutxuxunmnmnmnmnm22),(),()(1111(2.5)(2.6)(2.7)向前差商向后差商中心差商 顯然，用差商近似導數(shù)存在誤差，令huuxuEnmnmnmnm1)(2.8)則1,2

6、2)(2mmtxnmxxxxuhEn 關于導數(shù)的近似差商表達式，也可以通過線性算子作為推導工具得到，定義： 截斷誤差,階為)(hO)(hO用向后差商近似導數(shù)的截斷誤差階也為)(2hO而中心差商近似導數(shù)的截斷誤差階為xDx為 方向偏導數(shù)算子xxTnmnmxnmnmxuuTuuT111,為為 方向位移算子方向位移算子，xx)(212121nmnmnmxuuu為為 方向平均算子方向平均算子，x),2(21nmnmthxuu其中: 方向的差分算子方向的差分算子:xnmnmnmxuuu1(2.9)前差算子前差算子:,xxnmnmnmxuuu1(2. 10)后差算子后差算子:,中心差算子中心差算子: :(

7、2.11)nmnmnmxuuu2121x,nmnmxuuT2121,nmnmxuuT2121 建立差分算子和導數(shù)算子之間的關系，由建立差分算子和導數(shù)算子之間的關系，由Talyor 展開，有展開，有nmnmnmnmnmxuhxuhxuhuu)(! 3)(! 2)(! 13332221nmxxuDhDhI22! 2! 1為恒等算子IuhDnmx)exp(由nmxnmuTu1得)exp(xxhDT (2.12)或者xxThDln(2.13)同理有)exp(1xxhDT1lnxxThD因為ITITxxxx,故323121)ln(xxxxxIhD(2.14)同理323121)ln(xxxxxIhD(2.

8、15)因為 2121xxxTT)21exp()21exp(xxxhDhD)21sinh(2xxhD(2.16)則54232! 523! 321)21sinh(2xxxxxarhD(2.17) 式(2.14)，(2.15)，(2.17)分別給出了偏導數(shù)算子關于前差、后差、中心差的級數(shù)表達式雙曲正弦3246nmxxxxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh533232)(403)(6131213121)(2.18.1)(2.18.2)(2.18.3) 利用這些關系式就可給出偏導數(shù)的差分表達式返回又由222)ln(xxIDh222)ln(xxIDh222)21sinh(2xxarDh可得二階偏導數(shù)

9、的差分表達式nmxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh64233243222290112112111211)(2.19.1)(2.19.2)(2.19.3)返回返回4235nmxxxxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh753543543333)(12037)(21)(47234723)(2.20.1)(2.20.2)(2.20.3)nmxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh86465465444424076161726172)(2.21.1)(2.21.2)(2.21.3)對于三階、四階偏導數(shù)的差分表達式為 從以上這些偏導數(shù)的差分表達式，我們可以得到偏導數(shù)的各種精度的近似表達式。

10、nmnmnmxnmuuuxuh1)(且nmxnmxnmnmnmuuuuxuh3213121)()( 又由二階導數(shù)的前差表達式(2.19.1)，得nmxnmuxuh2222)(因此)()(1)(1hOuuhxuEnmnmnmnm 在 的前差表達式中取第一項，則有nmxuh)(即截斷誤差階 為。)(hO 現(xiàn)在研究構造微分方程(2.1)的差分方程的方法，為此記微分方程(2.1)為uDDtxLtuxx),(2(2.22) L 是關于 的線性算子， 。包括二個相鄰時間層的網(wǎng)格結點的差分方程可以從Talor 展開式推出2,xxDDxDx),()! 3! 2! 11 (),(333222txutktktkk

11、txu),()exp(txutk返回設 ，于是) 1( ,(,1knmhuunktmhxnmnmnmutku)exp(1(2.23)如果算子L不依賴于t，即 ，則),(2xxDDxLL nmxxnmuarharhmkkLu)21sinh(2(),21sinh(2,(exp(21(2.25)21sinh(2xxarhD將式(2.17)， ,代入算子L中，即在L中用中心差分算子 代替了微分算子 ，于是有 xxD(2.24)nmnmukLu)exp(138 目前通常用于解方程(2.1)的各種差分方程，都是方程(2.25)的近似表達式。下面各節(jié)，我們將以式(2.25)為基礎，對簡單的拋物型方程，推導一

12、些常用差分格式。 對于用差分方法求偏導數(shù)方程的數(shù)值解來說，設計差分方程，用之作為微分方程的近似，僅僅是第一步。本章除致力于這一研究外，特別著重討論了諸如差分格式的穩(wěn)定性、收斂性等基本問題，它們也是本書研究的主要內容之一。2.2 2.2 顯式差分格式顯式差分格式 現(xiàn)在，對拋物型方程(2.1)的幾種特殊情況，從方程(2.25)出發(fā)，構造微分方程的有限差分近似。2.2.1 2.2.1 一維常系數(shù)熱傳導方程的古典顯示格式一維常系數(shù)熱傳導方程的古典顯示格式 首先考慮一維熱傳導方程22xutu(2.26)的差分近似。差分方程的構造由 ，方程(2.24)為2xDL nmxnmukDu)exp(21nmxxu

13、DkkD2222)(211代入式(2.19.3)，得 )901121(164222xxxxhD算子之間的關系則nmxxxnmurrrrrru62421)15121(61)61(211(2.27)其中 為步長比。2hkr 返回在上式中，如果僅僅保留二階中心差分，且設 為相應差分方程解在結點(mh,nk) 上的值，則nmUnmxnmUrU)1 (21(2.28)代入 的表達式，則得差分方程2xnmnmnmnmrUUrrUU111)21 (2.29)xxxuTtxxutu)()0 ,(0 ,022將格式(2.29)應用于解初值問題(初邊值問題)古典顯式差分格式圖2.2差分格式(2.29)也可簡單地由

14、導數(shù)的差商近似表達式得到)(1)(1nmnmnmuuktu)2(1)(11222nmnmnmnmuuuhxu代入微分方程(2.26)，并令差分方程解為 即可。雖然在邊界結點上，差分方程和微分方程具有相同的初值或者初邊值條件，但是，一般而言，結點 上微分方程的精確解 和古典顯式差分格式(2.29)的精確解 不相等。nmU) 1,(nm1nmu1nmU111nmnmnmUuz(2.30)記 假定 具有下面推導中所需要的有界偏導數(shù)，則由 展開，有 ),(txuTaylornmnmnmnmnmtuktuktukuu)(6)(2)(3332221nmnmnmnmnmxuhxuhxuhuu)(6)(2)(

15、3332221nmnmxuhxuh)(120)(24555444nmnmnmnmnmxuhxuhxuhuu)(6)(2)(3332221nmnmxuhxuh)(120)(24555444截斷誤差截斷誤差42nmnmnmnmnmxutukuururu)()()21 (22111nmxurtuk)61(244222(2.31)則由式(2.26)，(2.29)，(2.30)，(2.31)得nmnmnmnmnmxurtukzzrzrz)61(2)()21 (44222111(2.32)從式(2.31)有nmnmnmnmnmxutukuururu)()()21 (22111nmxurtuk)61(214

16、422或nmnmnmnmnmnmxutuhuuukuu)(222211nmxurtuk)61(214422(2.33)從而，上式右邊量描寫了古典顯式差分格式(2.29)在 點對微分方程的近似程度，將其定義為差分格式在點 的截斷誤差，記為 ，即),(nm),(nmnmRnmnmxurtukR)61(24422(2.34) 假定假定 在所考慮的區(qū)域保持有界，則古典顯在所考慮的區(qū)域保持有界，則古典顯式差分格式的截斷誤差階為式差分格式的截斷誤差階為 。4422,xutu)(2hkO442222,xutuxutu61r從式(2.33)又可見到，如令 ，因為故截斷誤差 的階可以提高，這時 )(42hkOR

17、nmnmRnmxxnmUrrrU421)61(211(2.35.1)或者)(32(32)652(211121nmnmnmnmUUrrUrrU)(61 (12122nmnmUUrr(2.35.2)相應的截斷誤差階為 。通常，格式可用圖2.3表示。 )(42hkO 為了提高截斷誤差的階，我們也可用在式(2.27)中保留四階中心差分項的辦法達到，這時有差分格式(2.27)m,n+1m-2,nm-1,nm,nm+1,nm+2,n圖圖2.32.3m,n+1m-1,nm,nm+1,n圖圖2.22.2返回2.2.2 2.2.2 系數(shù)依賴于系數(shù)依賴于 的一維熱傳導方程的顯式格式的一維熱傳導方程的顯式格式x0)

18、()(22xaxuxatu(2.36)這時， 。2)(xDxaL L保留右邊前二項，由 ，則有差分方程2221xxhD)()(21 (111nmnmmnmmnmUUxraUxaU(2.37)nmxnmuDxkau)(exp(21nmxxxuaDaDkkaD)(2112222nmxxxxuaDDaDaakkaD )2(21143222則 這一差分格式可用圖2.4表示，其中 ，這是一個顯式差分格式，其截斷誤差階為 。)(mhaa )(2hkOm,n+1m-1,nm,nm+1,n圖圖2.42.4 由方程右邊22)()()(xuxaxuxaxuxaxuDxaDxaxx)()(2xxDxaDxaL)()

19、(2nmxxnmuDaaDku)(exp(21nmxxuDaaDk)(12 進一步，考慮熱傳導方程0)()(xaxuxaxtu(2.38)的差分近似。12 在上式中保留前二項，并且 和 分別用 和 代替，則得差分方程)(2111nmnmuuh)2(1112nmnmnmuuuhnmnmnmnmUaharUaharUraU111)21()21()21 (2.39)nmxuDnmxuD2 也可通過直接用中心差分算子 代替微分算子 的辦法獲得方程(2.38)的差分近似 xh1xDx)()(1)(121nmxmxnmnmUxahUUknmmmnmUxaxarU)()(121211hxxUxaUxarmm

20、nmmnmm21,)()(21121121(2.40)這也是一個顯式差分格式。 格式(2.39)和(2.40)的截斷誤差階都是 。易見，由)(2hkOaa,mhx 注：注： 均在 處計算。Deltaahxaxamm21)()(21ahxaxamm21)()(21,2xxDD代入格式(2.40)即為格式(2.39)，差分格式(2.40)的推導方法,即在微分方程中直接用差分算子代替 正如前面已經指出的是推導差分格式的一個常用方法。),(nmtxaa 顯然，微分方程(2.36)，(2.38)中的 如果為 ，即其自變量包括空間變量和時間變量，這時差分格式(2.37)，(2.39)，(2.40)同樣是微

21、分方程的具有截斷誤差階 的差分近似，這時格式(2.37)，(2.39)中 和 ,格式(2.40)中 和 分別換成 , 。)(xa),( txa)(2hkO),(nmxtxaa)(21mxa)(21mxa),(21nmtxa),(21nmtxa2.3 2.3 隱式差分格式隱式差分格式 隱式差分格式特點： 1. 具有二個或二個以上結點處的值未知； 2. 計算工作量較大； 3. 穩(wěn)定性較好。nmxnmukDu)exp(21得 nmnmxuukD12)exp(nmnmxxuuDkkD1422)211 (由22xutu推導其最簡單的隱式差分逼近古典隱式格式。 現(xiàn)在對熱傳導方程2.3.1 古典隱式格式古典

22、隱式格式1715格式用圖2.5表示，其截斷誤差階為 ，與古典顯式差分格式相同。 )(2hkO或者nmnmnmnmUrUUrrU11111)21 (2.41)nmnmxUUhk122)1 (保留二階導數(shù)項，且以 替代 ，則得差分格式221xh2xD 我們也可通過直接用差分算子代替 的方法，即2,xxDDkuutunmnmnm11)(2111111222)(huuuxunmnmnmnm代入微分方程，得到格式(2.41)。古典隱式差分格式m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n圖圖2.5 隱式差分格式是解熱傳導方程(2.26)的常用的差分格式，由式(2.24)，有 NicolsonCranknm

23、nmukLukL)21exp()21exp(1NicolsonCrank2.3.2 隱式格式隱式格式由2xDL 得1222)21(21211nmxxukDkDnmxxukDkD222)21(21211(2.42)42兩邊僅保留二項，用 代替 ，則得差分格式221xh2xDnmxnmxUrUr)211 ()211 (212(2.43)這是一個隱式差分格式，稱為 差分格式，截斷誤差階為 。NicolsonCrank)(22hkO)(21)1 (11111nmnmnmUUrUr)(21)1 (11nmnmnmUUrUr(2.44) 由于格式(2.44)中包括六個結點，故也稱為六點格式(如圖2.6所示

24、)。m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n圖圖2.6m-1,nm+1,n44也可將kuutunmnmnm121)(21121111121222221)(huuuhuuuxunmnmnmnmnmnmnm代入微分方程(2.26)，得到 格式。NicolsonCrank nmxnmxukDukD)211 ()211 (212由式(2.19.3)，可令 nmxxnmxuhuD)1211 (12222則可得12222)1211 (1xxxhD 另一精度較高的六點差分格式，如前在式(2.42)中僅保留直到 的項，即有2xD13代入上式，則有如下差分格式：nmxnmxUrUr212)61(211)61

25、(211(2.45) 稱為 差分格式。Douglas38)(42hkO截斷誤差階 2323)()(121)()(2124214422122122khOxuhxuuuhnmnmnmnmx因為 )()()(1242144212khOxuhuuknmnmnmx48 前面，我們已經推導了熱傳導方程(2.26)的古典顯式格式。古典隱式格式及 格式等。實際上，它們都可以作為本節(jié)推導的加權六點隱式格式的特殊情形。NicolsonCrank 2.3.3 加權六點隱式格式加權六點隱式格式由nmxnmukDu)exp(2110)1exp()exp(212nmxnmxukDukD得到14222211nmxxuDkk

26、DnmxxuDkkD4222)1 (21)1 (1即用 代替 ，則得差分格式221xh2xDnmxnmxUrUr212)1 (1)1 (或者)()(1 ()21 (1111111nmnmnmnmnmUUrUUrUr10)1 (21nmUr(2.46) 這是一個六點差分格式(如圖2.7所示)，稱為加權加權六點差分格式。400時, 為古典顯式格式；1時, 為古典隱式格式；21時, 為 格式；NicolsonCranknmxnmxnmnmUhUhkUU2212211)1 (1加權六點格式亦可直接由差商代替導數(shù)得到 2.3.4 2.3.4 系數(shù)依賴于系數(shù)依賴于 的一維熱傳導方程的一個的一維熱傳導方程的

27、一個隱式格式的推導隱式格式的推導 由其 展開式可得Taylor)(12644222hODhDhxxx22),(xutxatu(2.47)的差分逼近。 考慮方程)21sinh(2xxhD已知x,t11令)()(111)1(22121222122khOuukahtuaxnmnmnmxnm代入式(2.48)，則)(1)(21121122nmnmnmnmnmxuukauuh)()(111212412122khOuuahrnmnmnmx)()(121)()(2124214422122122khOxuhxuuuhnmnmnmnmx)()1(12)1(242122221khOtuaxhtuanmnm(2.4

28、8)因此 43格式(2.49.1)具有截斷誤差階 。)(24khO這是一個隱式差分格式(如圖2.8所示)。1212121)611 (21)(1nmnmxnmnmnmUraUUranmnmxUra)611 (21212(2.49.1)因此得差分方程122112122121)(1211nmxnmnmxnmUraaanmxnmnmxnmUraaa22112122121)(1211(2.49.2)可寫成形式m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n圖圖2.8m-1,nm+1,n 前節(jié)引進的隱式差分方程，在要求解未知函數(shù)值的時間層 上包括三個未知函數(shù)值 。因此，這些隱式差分格式僅僅適合于解如圖 中所示

29、的邊值問題。在每一時間層，需要求解的隱式差分方程形成了一個線性代數(shù)方程組，它的系數(shù)矩陣是三對角形矩陣，即僅在主對角線及其相鄰二條對角線上有非零元素。方程組寫成一般形式是kntn) 1(111111,nmnmnmUUU)( 1 . 2b2.4 解三對角形方程的追趕法解三對角形方程的追趕法m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,nm,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,nm-1,nm+1,n111213433323232221212111MMMMMdUUdUUUdUUUdUU(2.50)這一類方程可用追趕法求解。由方程組(2.50)中的第一個方程解出 ，得1U112111dUU將此式代入方程組

30、(2.50)的第二個方程，得到232221212)(dUUgU即2322gUU令 ，則上式可寫為111111,dg1211gUU其中122122212222,gdg完全類似地，可以推出下面的公式22111MmgUUmmmm(2.51)其中21,111Mmgdgmmmmmmmmmmmm注意當 時, 。1m111111,dg即2112111MMMMMMMgdU1112121)(MMMMMMMdUgU 將關系式 代入式(2.50)中最后一個方程，得到2122MMMMgUU若令2112111MMMMMMMgdg則有 。11MMgU 如果 已經算出，那么解向量 的最后一個分量 就已求得，為了求得 的所有

31、分量，只有利用方程(2.51)即可逐步求出 ,因此，整個求解過程分為兩大步： 1MgU1MUU1232,UUUUMM1222211,MMMgggg,第一步 依次確定12,11111Mmgdgdgmmmmmmm22,1111Mmmmmmm21,111MmUgUgUmmmmMM計算公式可歸結為1221,UUUUMM第二步 依相反次序確定 通常，第1步稱為“追”的過程，第2步稱為“趕”的過程，整個求解過程稱為追趕法。(2)0; 1, 2 , 1011MmmmMm定義(3)0; 1, 2 , 111MmmmMm定義則上述追趕法過程是穩(wěn)定的。1, 3 , 20Mmm1, 2 , 10Mmm2, 2 ,

32、10Mmm(1)可以論證，如果例例 2.22.2 說明用 方法數(shù)值解如下定解問題的過程： NicolsonCrankTtttuttuxxuTtxxutut0)(), 1 (),(), 0(10)(|0 ; 1021022 由前已知 格式為NicolsonCrank)(21)1 ()(21)1 (1111111nmnmnmnmnmnmUUrUrUUrUr 如果選擇 ，則 ，要解的方程組寫成矩陣形式是81h8M171615141312111212112121121211212112121121211nnnnnnnUUUUUUUrrrrrrrrrrrrrrrrrrr18810076543212121

33、0000021211212112121121211212112121121211nnnnnnnnnnnrUrUrUrUUUUUUUUrrrrrrrrrrrrrrrrrrrkTNNn; 1, 2 , 1 , 0(2.52)相應于上述定解問題的差分方程組為011, 1 , 0UNneUBUAnnnnn其中， 為七階方陣， 為列向量，它們的表達式從式(2.52)可知。因為在求第 層 時， 已計算得， (它們在 中出現(xiàn))由邊值條件已知，故方程組右邊已知，且nnBA ,nnneUU,1) 1( n1nmUnnnUUU721,181080,nnnnUUUUne7 , 3 , 2021mrm7 , 2 ,

34、101mrm021rm又111mmmr7 , 11mrmmm,1g因此可用追趕法求解方程組(2.52)，由方程組右邊值及 可求出 ，然后順次，可求出 。mmm,717,g111617,nnnUUU計算結果。以及并以問題方法數(shù)值解下面的定解用例略解三對角方程組追趕法解三對角方程組追趕法20)()(),1 ()(0)(), 1 (),(), 0(10)(|0 ; 102 . 2. 2)(. 14 . 22121022TttxxxTtttuttuxxuTtxxutuNCt形式如下：維列向量。它們的具體為的矩陣，為其中，要解的方程組可寫成對于確定的則比如格式為解：已知) 1(,) 1() 1(,)()255, 1 , 0(,255, 1 , 0;)7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 (),(, 5 . 0/,128/1256/2, 8/1, 7 ,