1、微分方程 習(xí)題課 第七章 一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解 1. 一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 關(guān)鍵關(guān)鍵: 辨別方程類型辨別方程類型 , 掌握求解步驟掌握求解步驟2. 一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型可分離變量方程可分離變量方程 齊次方程齊次方程 線性方程線性方程 齊次方程齊次方程形如形如)(ddxyxy的方程叫做的方程叫做齊次方程齊次方程 .令令,xyu ,xuy 則代入原方程得代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分兩邊積分, 得得xxuuud)(d積分后再用積分后再用xy代替代替 u, 便得原

2、方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分離變量分離變量: 一階線性方程一階線性方程)()(ddxQyxPxy方法方法1 先解齊次方程先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法再用常數(shù)變易法.方法方法2 用通解公式用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(. 1)(xfyn逐次積分逐次積分),(. 2yxfy 令令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令令, )(ypy yppydd 則高階線性微分方程 線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程是二階線性齊次方程0)()( yx

3、QyxPy的兩個(gè)解的兩個(gè)解,也是該方程的解也是該方程的解.(疊加原理疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1.定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個(gè)線是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解性無關(guān)特解, )()(2211xyCxyCy數(shù)數(shù)) 是該方程的通解是該方程的通解.為任意常21,(CC則則線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程是二階非齊次方程的一個(gè)特解的一個(gè)特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 則則是非齊

4、次方程的通解是非齊次方程的通解 .定理定理 4.),2, 1()(mkxyk設(shè)分別是方程分別是方程的特解的特解,是方程是方程),2, 1()()()(mkxfyxQyxPyk mkkyy1則)()()(1xfyxQyxPymkk 的特解的特解. (非齊次方程之解的疊加原理非齊次方程之解的疊加原理) 定理定理3, 定理定理4 均可推廣到均可推廣到 n 階線性非齊次方程階線性非齊次方程. 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對應(yīng)齊次方程的是對應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性個(gè)線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無關(guān)特解無關(guān)特解, 給定給定 n 階非齊次線性方程階非齊

5、次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方程的特解是非齊次方程的特解, 則非齊次方程則非齊次方程的通解為的通解為齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解常系數(shù)常系數(shù) 齊次線性微分方程齊次線性微分方程 基本思路基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程求特征方程(代數(shù)方程代數(shù)方程)之根之根轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化小結(jié)小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 實(shí)根實(shí)根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e2

6、1xCxCyx特特 征征 根根通通 解解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .若特征方程含若特征方程含 k 重復(fù)根重復(fù)根,ir若特征方程含若特征方程含 k 重實(shí)根重實(shí)根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk則其通解中必含則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)對應(yīng)項(xiàng))(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iiDC推廣推廣:)(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次

7、微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 : :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為其通解為Yy *y非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解求特解的方法求特解的方法根據(jù)根據(jù) f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù)代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法xmxPyqypye)(. 1 為特征方程的為特征方程的 k (=0, 1, 2) 重根重根,xmkxQxye)(*則設(shè)特解為則設(shè)特解為sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx 為特征方程的為特征方程的 k (=0,

8、1 )重重根根, ixkxye*則設(shè)特解為則設(shè)特解為sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.例例1. 求下列方程的通解求下列方程的通解; 0e1) 1 (32xyyy提示提示: (1),eee33xyxy因故為分離變量方程故為分離變量方程:通解通解;23)2(22xyyxyxyyxydede32Cxyee313(2) 這是一個(gè)齊次方程這是一個(gè)齊次方程 ， 令令 y = u x ,化為分離變量方程化為分離變量方程:xxuuud3d22例例3.設(shè)設(shè)F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù)其中函數(shù) f (x), g(x

9、) 在在(,+)內(nèi)滿足以下條件內(nèi)滿足以下條件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求求F(x) 所滿足的一階微分方程所滿足的一階微分方程 ;(2003考研考研) (2) 求出求出F(x) 的表達(dá)式的表達(dá)式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)e2(2xFx所以所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程滿足的一階線性非齊次微分方程:.e2)()(xxgxf(2) 由一階線性微分方程解的公式得由一階線性微分方程解的公式得CxxFxxxdee4e)(d22d2Cxxxde4e42代入上式，將

10、0)0()0()0(gfF1C得于是于是 xxxF22ee)(xxFxF2e4)(2)(xxC22ee思考思考: 能否根據(jù)草圖列方程能否根據(jù)草圖列方程?Oyx練習(xí)題練習(xí)題:P354 題題5 . 已知某曲線經(jīng)過點(diǎn)已知某曲線經(jīng)過點(diǎn)( 1 , 1 ),軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo) , 求它的方程求它的方程 .提示提示: 設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為 M (x,y),)(xXyyY令令 X = 0, 得截距得截距, xyyY由題意知微分方程為由題意知微分方程為xxyy即即11yxy定解條件為定解條件為.11xyx此點(diǎn)處切線方程為此點(diǎn)處切線方程為它的切線在縱它的切線在縱11)

11、,(yxMY例例2. xxyyy2e65 求方程的通解的通解. 解解: 本題本題特征方程為特征方程為,0652 rr其根為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為xxCCY3221ee設(shè)非齊次方程特解為設(shè)非齊次方程特解為xbxbxy210e)(*比較系數(shù)比較系數(shù), 得得120 b0210bb1,2110bb因此特解為因此特解為.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得代入方程得xbbxb01022所求通解為所求通解為xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解的通解. 解解: 特征方程為特征方程為, 092r其根為

12、其根為對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù)比較系數(shù), 得得,5a,3b因此特解為因此特解為)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根為特征方程的單根 ,3i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設(shè)非齊次方程特解為因此設(shè)非齊次方程特解為例例4. xxyy2cos 求方程的一個(gè)特解的一個(gè)特解 .解解: 本題本題 特征方程特征方程, 2, 0故設(shè)特解為故設(shè)特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特