1、 引理引理15.5：G;* *為交換群為交換群,a G是其中階最大是其中階最大元元,設(shè)其階為設(shè)其階為n。則任一則任一x G的階可整除的階可整除n。 定理定理15.16:GF(pm)中非零元全體關(guān)于乘法構(gòu)中非零元全體關(guān)于乘法構(gòu)成循環(huán)群。成循環(huán)群。 關(guān)鍵證明存在元素，其階為關(guān)鍵證明存在元素，其階為pm1。 找元素，階最大的。找元素，階最大的。 定義定義15.10:循環(huán)群循環(huán)群GF(pm)*;* *之生成元稱之生成元稱為有限域?yàn)橛邢抻騁F(pm)的的本原元本原元。 GF(pm)是本原元是本原元, 則則GF(pm)中元素中元素可表示為可表示為:GF(pm)=0, 0=1, , 2, pm- -2 例例

2、:找出找出GF(32)的所有本原元。的所有本原元。 不可約多項(xiàng)式不可約多項(xiàng)式x2+1 +1, +2, 2 +1, 2 +2都是本原元都是本原元 +1是本原元是本原元,則其他元素則其他元素2, , +2,2 , 2 +1,2 +2怎樣表示成怎樣表示成 +1的冪次的冪次? 二、本原多項(xiàng)式二、本原多項(xiàng)式 定義定義15.11:設(shè)設(shè)g(x) Zpx是是m次不可約多次不可約多項(xiàng)式項(xiàng)式,當(dāng)當(dāng)k=pm- -1時(shí)時(shí)g(x)|(xk- -1),當(dāng)當(dāng)k2)是有理數(shù)域上的不可約是有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式。多項(xiàng)式。 p=3 基本概念要清楚基本概念要清楚 熟知的數(shù)集上性質(zhì)熟知的數(shù)集上性質(zhì) 注意按照定義和規(guī)則，不能想當(dāng)然注

3、意按照定義和規(guī)則，不能想當(dāng)然 要有一定的靈活，善于思考要有一定的靈活，善于思考 考題類型：考題類型： 判斷說明理由；判斷說明理由； 證明，說明，計(jì)算證明，說明，計(jì)算 考試時(shí)間：考試時(shí)間：5月月8日日9:5011:35 地點(diǎn)：地點(diǎn)：Z2108 占總分占總分40% 作業(yè)作業(yè): P208 26 1.已知已知x4+x+1是是Z2上的本原多項(xiàng)式上的本原多項(xiàng)式,設(shè)設(shè) 是是x4+x+1的根的根, (1)求出求出GF(16)上的所有本原元，并用上的所有本原元，并用 的的冪次形式表示冪次形式表示.(2)求出求出Z2上的所有四次本原多項(xiàng)上的所有四次本原多項(xiàng)式。式。 2.已知已知x4+x+1是是Z2上的本原多項(xiàng)式上的本原多項(xiàng)式,設(shè)設(shè) 是是x4+x+1的根的根, (1)求出求出GF(16)上的所有本原元，并用上的所有本原元，并用 的的冪次形式表示冪次形式表示.(2)求出求出Z2上的所有四次本原多項(xiàng)上的所有四次本原多項(xiàng)式。式。 3.證明證明2xn+9x2+6(n2)是有理數(shù)域上的不可約多是有理數(shù)域