1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上長(zhǎng)方體與正方體（一）對(duì)于小學(xué)幾何而言，立體圖形的表面積和體積計(jì)算，既可以很好地考查學(xué)生的空間想象能力，又可以具體考查學(xué)生在公式應(yīng)用中處理相關(guān)數(shù)據(jù)的能力，所以，很多重要考試都很重視對(duì)立體圖形的考查例題精講如右圖，長(zhǎng)方體共有六個(gè)面(每個(gè)面都是長(zhǎng)方形)，八個(gè)頂點(diǎn)，十二條棱在六個(gè)面中，兩個(gè)對(duì)面是全等的，即三組對(duì)面兩兩全等(疊放在一起能夠完全重合的兩個(gè)圖形稱為全等圖形)長(zhǎng)方體的表面積和體積的計(jì)算公式是：長(zhǎng)方體的表面積：；長(zhǎng)方體的體積：正方體是各棱相等的長(zhǎng)方體，它是長(zhǎng)方體的特例，它的六個(gè)面都是正方形如果它的棱長(zhǎng)為，那么：，板塊一 長(zhǎng)方體與正方體的表面積【例 1】 右圖中共有多少個(gè)

2、面？多少條棱？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】1星 【題型】解答【解析】 如右圖所示，可以分前、后、左、右、上、下六個(gè)方向看這個(gè)立體圖形前、后看各有1個(gè)面，左面看有1個(gè)面，右面看有2個(gè)面，上面看有2個(gè)面，下面看有1個(gè)面所以共有(個(gè))面前后方向的棱有6條，左右方向的棱有6條，上下方向的棱也有6條，所以共有棱(條) 【答案】8個(gè)面，18條棱【鞏固】右圖中共有多少個(gè)面？多少條棱？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】1星 【題型】解答【解析】 9個(gè)面，21條棱【答案】9個(gè)面，21條棱【例 2】 如右圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為10的立方體上截取一個(gè)長(zhǎng)為8，寬為3，高為2的小長(zhǎng)方體，那么新的幾何體的表面積是多少？【考點(diǎn)

3、】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】2星 【題型】解答【解析】 我們從三個(gè)方向(前后、左右、上下)考慮，新幾何體的表面積仍為原立方體的表面積：【答案】600【鞏固】在一個(gè)棱長(zhǎng)為50厘米的正方體木塊，在它的八個(gè)角上各挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的小正方體，問(wèn)剩下的立體圖形的表面積是多少？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】2星 【題型】解答【解析】 對(duì)于和長(zhǎng)方體相關(guān)的立體圖形表面積，一般從上下、左右、前后3個(gè)方向考慮變化前后的表面積不變：(平方厘米)【答案】15000【例 3】 如右圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)是5的立方體，如果它的左上方截去一個(gè)邊分別是5，3，2的長(zhǎng)方體，那么它的表面積減少了多少?【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】

4、2星 【題型】解答【解析】 原來(lái)正方體的表面積為現(xiàn)在立體圖形的表面積減少了前后兩個(gè)面中的部分面，它們的面積為(32)212，所以減少的面積就是12【答案】12【例 4】 如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)是5的立方體，如果它的左上方截去一個(gè)邊分別是5，3，2的長(zhǎng)方體，那么它的表面積減少了百分之幾?【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】奧林匹克，初賽，10題【解析】 原來(lái)正方體的表面積為5 ×5×6=150，現(xiàn)在立體圖形的表面積截了兩個(gè)面向我們的側(cè)面，它們的面積為(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8即表面積減少了百分之八【答案】百

5、分之八【例 5】 右圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個(gè)邊長(zhǎng)l厘米的正方體，做成一種玩具它的表面積是多少平方厘米?（圖中只畫(huà)出了前面、右面、上面挖去的正方體）【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】2星 【題型】解答【解析】 原正方體的表面積是44696(平方厘米)每一個(gè)面被挖去一個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方形，同時(shí)又增加了5個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分總的來(lái)看，每一個(gè)面都增加了4個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方形從而，它的表面積是：平方厘米【答案】120【例 6】 如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為20厘米的大正方體，分別在它的角上、棱上、面上各挖掉一個(gè)大小相同的小立方體后，表

6、面積變?yōu)?454平方厘米，那么挖掉的小立方體的邊長(zhǎng)是多少厘米？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】2星 【題型】解答【解析】 大立方體的表面積是平方厘米在角上挖掉一個(gè)小正方體后，外面少了3個(gè)面，但里面又多出3個(gè)面；在棱上挖掉一個(gè)小正方體后，外面少了2個(gè)面，但里面多出4個(gè)面；在面上挖掉一個(gè)小正方體后，外面少了1個(gè)面，但里面多出5個(gè)面所以，最后的情況是挖掉了三個(gè)小正方體，反而多出了6個(gè)面，可以計(jì)算出每個(gè)面的面積：()69平方厘米，說(shuō)明小正方體的棱長(zhǎng)是3厘米 【答案】3【例 7】 下圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個(gè)棱長(zhǎng)

7、為厘米的正方形小洞，第三個(gè)正方形小洞的挖法和前兩個(gè)相同為厘米，那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？ 【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 我們?nèi)匀粡?個(gè)方向考慮平行于上下表面的各面面積之和：2228(平方厘米)；左右方向、前后方向：22416(平方厘米)，1144(平方厘米)，41(平方厘米)，4(平方厘米)，這個(gè)立體圖形的表面積為：41(平方厘米).【答案】【例 8】 從一個(gè)棱長(zhǎng)為10厘米的正方形木塊中挖去一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長(zhǎng)方體，剩下部分的表面積是多少？(寫(xiě)出符合要求的全部答案)【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】

8、小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)【解析】 按圖1所示沿一條棱挖，為592平方厘米；按圖2所示在某一面上挖，為632平方厘米；按圖3所示在某面上斜著挖，為648平方厘米；按圖4所示挖通兩個(gè)對(duì)面，為672平方厘米 圖1 圖2 圖3圖4【答案】按圖1所示沿一條棱挖，為592平方厘米；按圖2所示在某一面上挖，為632平方厘米；按圖3所示在某面上斜著挖，為648平方厘米；按圖4所示挖通兩個(gè)對(duì)面，為672平方厘米 圖1 圖2 圖3圖4【例 9】 一個(gè)正方體木塊，棱長(zhǎng)是15從它的八個(gè)頂點(diǎn)處各截去棱長(zhǎng)分別是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方體這個(gè)木塊剩下部分的表面積最少是多少？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解

9、答【關(guān)鍵詞】迎春杯【解析】 截去一個(gè)小正方體，表面積不變，只有在截去的小正方體的面相重合時(shí)，表面積才會(huì)減少，所以要使木塊剩下部分的表面積盡可能小，應(yīng)該在同一條棱的兩端各截去棱長(zhǎng)7與8的小正方體(如圖所示)，這時(shí)剩下部分的表面積比原正方體的表面積減少最多剩下部分的表面積最小是： 2想想為什么不是 ？ 【答案】1252【例 10】 從一個(gè)長(zhǎng)8厘米、寬7厘米、高6厘米的長(zhǎng)方體中截下一個(gè)最大的正方體(如下圖)，剩下部分的表面積之和是 平方厘米【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【解析】 可以將這個(gè)圖形看作一個(gè)八棱柱，表面積和為：(平方厘米)也可以這樣想：由于截去后原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面少了3

10、個(gè)的正方形，而新圖形凹進(jìn)去的部分恰好是3個(gè)的正方形，所以新圖形的表面積與原圖形的表面積相等，為(平方厘米)【答案】292【鞏固】一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為厘米、厘米、厘米的長(zhǎng)方形，現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個(gè)正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個(gè)正方體，最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大的切下一個(gè)正方體，剩下的體積是多少平方厘米？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 本題的關(guān)鍵是確定三次切下的正方體的棱長(zhǎng).由于，為了方便起見(jiàn).我們先考慮長(zhǎng)、寬、高分別為厘米、厘米、厘米的長(zhǎng)方體.因?yàn)?容易知道第一次切下的正方體棱長(zhǎng)應(yīng)該是厘米（如圖），第二次切時(shí)，切下棱長(zhǎng)為厘米的正方體符合要

11、求.第三次切時(shí)，切下棱長(zhǎng)為厘米的正方體符合要求.剩下的體積應(yīng)是（平方厘米）.【答案】1107【例 11】 一個(gè)正方體木塊，棱長(zhǎng)是1米，沿著水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成3長(zhǎng)條，每條又鋸成4小塊，共得到大大小小的長(zhǎng)方體24塊，那么這24塊長(zhǎng)方體的表面積之和是多少？ 【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 鋸一次增加兩個(gè)面，鋸的總次數(shù)轉(zhuǎn)化為增加的面數(shù)的公式為：鋸的總次數(shù)2增加的面數(shù)原正方體表面積：1166(平方米)，一共鋸了(21)(31)(41)6次，(平方米)【答案】18【鞏固】如右圖，一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長(zhǎng)l米，沿水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成4長(zhǎng)條，每條又鋸成5

12、小塊，共得到大大小小的長(zhǎng)方體60塊那么，這60塊長(zhǎng)方體表面積的和是多少平方米?【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 我們知道每切一刀，多出的表面積恰好是原正方體的2個(gè)面的面積現(xiàn)在一共切了(31)(41)(51)9刀，而原正方體一個(gè)面的面積1l1(平方米)，所以表面積增加了92118(平方米)原來(lái)正方體的表面積為616(平方米)，所以現(xiàn)在的這些小長(zhǎng)方體的表積之和為618=24(平方米)【答案】24【鞏固】一個(gè)表面積為的長(zhǎng)方體如圖切成27個(gè)小長(zhǎng)方體，這27個(gè)小長(zhǎng)方體表面積的和是 【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，六年級(jí)，初賽【解析】 每一刀增

13、加兩個(gè)切面，增加的表面積等于與切面平行的兩個(gè)表面積，所以每個(gè)方向切兩刀后，表面積增加到原來(lái)的3倍，即表面積的和為【答案】168【例 12】 右圖是一個(gè)表面被涂上紅色的棱長(zhǎng)為10厘米的正方體木塊，如果把它沿虛線切成8個(gè)正方體，這些小正方體中沒(méi)有被涂上紅色的所有表面的面積和是多少平方厘米？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 (平方厘米)【答案】600【例 13】 有個(gè)同樣大小的正方體，將它們堆成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的底面就是原正方體的底面如果這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是3096平方厘米，當(dāng)從這個(gè)長(zhǎng)方體的頂部拿去一個(gè)正方體后，新的長(zhǎng)方體的表面積比原長(zhǎng)方體的表面積減少144平方厘米，

14、那么為多少？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由于堆成的長(zhǎng)方體的底面就是原來(lái)正方體的底面，說(shuō)明這個(gè)長(zhǎng)方體是由這些正方體一字排開(kāi)組成的，從這個(gè)長(zhǎng)方體的頂部拿去一個(gè)正方體，減少的面積相當(dāng)于側(cè)面的四個(gè)正方形的面積，所以正方體每個(gè)面的面積是(平方厘米)所堆成的長(zhǎng)方體的表面積，包含底面的2個(gè)正方形和側(cè)面的個(gè)正方形，所以【答案】21【例 14】 邊長(zhǎng)分別是3、5、8的三個(gè)正方體拼在一起，在各種拼法中，表面積最小多少？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 三個(gè)正方體兩兩拼接時(shí)，最多重合3個(gè)正方形面，其中邊長(zhǎng)為3的正方體與其它兩個(gè)正方體重合的面積不超過(guò)邊長(zhǎng)為3的

15、正方形，邊長(zhǎng)為5和邊長(zhǎng)為8的正方體的重合面面積不超過(guò)邊長(zhǎng)為5的正方形，三個(gè)正方形表面積和為.【答案】502【例 15】 如圖，25塊邊長(zhǎng)為1的正方體積木拼成一個(gè)幾何體，表面積最小是多少？ 【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 當(dāng)小積木互相重合的面最多時(shí)表面積最小.設(shè)想27塊邊長(zhǎng)為1的正方形積木，當(dāng)拼成一個(gè)的正方體時(shí)，表面積最小，現(xiàn)在要去掉2塊小積木，只有在兩個(gè)角上各去掉一塊小積木，或在同一個(gè)角去掉兩塊相鄰的積木時(shí)，表面積不會(huì)增加，該幾何體表面積為54.【答案】54【例 16】 由六個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體拼成如圖所示立體，它的表面積是 【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【

16、題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，4年級(jí)，決賽，第3題，8分【解析】 三視圖法：表面積為：【答案】26【例 17】 將個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體堆放在桌子上，噴上紅色后再將它們分開(kāi)。涂上紅色的部分，面積是（ ）平方厘米【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽，第12題【解析】 注意底面放在桌子上，不能被染到。從上向下看有10個(gè)：從左向右看有6個(gè)；從前向后看有7個(gè)。因此被染色的面有個(gè)面【答案】36【例 18】 用6塊右圖所示(單位：cm)的長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，有許多種拼法，其中表面積最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【

17、題型】解答【解析】 要使表面積最小，需重疊的面積最大，如圖的拼接方式新的長(zhǎng)方體長(zhǎng)為，寬為，高為，所以表面積為；要使表面積最大需重疊的面積最小，如圖所示，長(zhǎng)為，寬為2，高為，所以最大的表面積為 【答案】112【鞏固】用10塊長(zhǎng)5厘米，寬3厘米，高7厘米的長(zhǎng)方體積木堆成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積最小是多少?【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【解析】 教師可以先提問(wèn)：這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積最大是多少?為使表面積最大，要盡量保證102個(gè)75的面成為表面，想要做到這點(diǎn)很容易，只需將75面做底面，而后將10個(gè)長(zhǎng)方體連排，銜接的面選用35的面(銜接的面將不能成為表面積)，這樣得到的長(zhǎng)方體表面

18、積最大同樣要想最小，可把75面做銜接的面，可得到10個(gè)長(zhǎng)方體的連排，但此時(shí)我們還可以再制造出銜接面，如圖：此時(shí)增加了2個(gè)57的面，減少了10個(gè)37的面，總體來(lái)講表面積減少了表面積是：2()650(平方厘米)，所以這就是最小的表面積【答案】650【例 19】 要把12件同樣的長(zhǎng)a、寬b、高h(yuǎn)的長(zhǎng)方體物品拼裝成一件大的長(zhǎng)方體，使打包后表面積最小，該如何打包？當(dāng) b2h時(shí)，如何打包？當(dāng) b2h時(shí)，如何打包？當(dāng) b2h時(shí)，如何打包？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】5星 【題型】解答【解析】 圖2和圖3正面的面積相同，側(cè)面面積正面周長(zhǎng)長(zhǎng)方體長(zhǎng)，所以正面的周長(zhǎng)愈大表面積越大，圖2的正面周長(zhǎng)是8h6b，圖3

19、的周長(zhǎng)是12h4b.兩者的周長(zhǎng)之差為2（b2h）.當(dāng)b2h時(shí)，圖2和圖3周長(zhǎng)相等，可隨意打包；當(dāng)b2h時(shí)，按圖2打包；當(dāng)b2h時(shí)，按圖3打包. 【答案】當(dāng)b2h時(shí)，圖2和圖3周長(zhǎng)相等，可隨意打包；當(dāng)b2h時(shí)，按圖2打包；當(dāng)b2h時(shí)，按圖3打包. 【鞏固】要把6件同樣的長(zhǎng)17、寬7、高3的長(zhǎng)方體物品拼裝成一件大的長(zhǎng)方體，表面積最小是多少？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【解析】 考慮所有的包裝方法，因?yàn)?123，所以一共有兩種拼接方式：第一種按長(zhǎng)寬高116拼接，重疊面有三種選擇，共3種包裝方法.第二種按長(zhǎng)寬高123拼接，有3個(gè)長(zhǎng)方體并列方向的重疊面有三種選擇，有2個(gè)長(zhǎng)方體并列方

20、向的重疊面剩下2種選擇，一共有6種包裝方法.其中表面積最小的包裝方法如圖所示，表面積為1034.【答案】1034【例 20】 如圖，把正方體用兩個(gè)與它的底面平行的平面切開(kāi)，分成三個(gè)長(zhǎng)方體，這三個(gè)長(zhǎng)方體的表面積比是3：4：5時(shí)，用最簡(jiǎn)單的整數(shù)比表示這三個(gè)長(zhǎng)方體的體積比： ： ： ?！究键c(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí)，第11題【解析】 體積比為【答案】【例 21】 如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體，求這個(gè)立體圖形的表面積【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 我們把上面的小正方體想象成是可以向下“壓縮”

21、的，“壓縮”后我們發(fā)現(xiàn)：小正方體的上面與大正方體上面中的陰影部分合在一起，正好是大正方體的上面.這樣這個(gè)立體圖形的表面積就可以分成這樣兩部分：上下方向：大正方體的兩個(gè)底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方體的四個(gè)側(cè)面，大正方體的四個(gè)側(cè)面上下方向：(平方分米)；側(cè)面：(平方分米)，(平方分米)這個(gè)立體圖形的表面積為：(平方分米)【答案】214【鞏固】如右圖所示，由三個(gè)正方體木塊粘合而成的模型，它們的棱長(zhǎng)分別為1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方體的下面不涂油漆，則模型涂刷油漆的面積是多少平方米？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 該圖形從前、后、左、右四面觀察

22、到的面積都是平方米，從上面觀察到的面積是平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面積是平方米【答案】100【例 22】 如圖，棱長(zhǎng)分別為厘米、厘米、厘米、厘米的四個(gè)正方體緊貼在一起，則所得到的多面體的表面積是_平方厘米【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，復(fù)賽，第7題，5分【解析】 (法1)四個(gè)正方體的表面積之和為：(平方厘米)，重疊部分的面積為：(平方厘米)，所以，所得到的多面體的表面積為：(平方厘米)(法2)三視圖法從前后面觀察到的面積為平方厘米,從左右兩個(gè)面觀察到的面積為平方厘米，從上下能觀察到的面積為平方厘米表面積為(平方厘米)【答案】194【例

23、23】 如圖，用若干個(gè)體積相同的小正方體堆積成一個(gè)大正方體，要使大正方體的對(duì)角線（正方體八個(gè)頂點(diǎn)中距離最遠(yuǎn)的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線）穿過(guò)的小正方體都是黑色的，其余小正方體都是白色的，并保證大正方體每條邊上有偶數(shù)個(gè)小正方體。當(dāng)堆積完成后，白色正方體的體積占總體積的93.75%，那么一共用了多少個(gè)黑色的小正方體？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，復(fù)賽，第18題，10分【解析】 白色正方體的體積占總體積的93.75%，即占整個(gè)的，白色正方體與黑色正方體之比為：1：15，觀察可知，每一層黑色正方體有4個(gè)，則白色正方體有60個(gè)，所以每一層共有64個(gè)正方體，則正方體的邊長(zhǎng)

24、為1，則共有8層，所以一共用了4×8=32個(gè)小的黑色的正方體?！敬鸢浮?2【例 24】 邊長(zhǎng)為1厘米的正方體，如圖這樣層層重疊放置，那么當(dāng)重疊到第5層時(shí)，這個(gè)立體圖形的表面積是多少平方厘米？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這個(gè)圖形的表面積是俯視面、左視面、正視面得到的圖形面積的2倍. 該立體圖形的上下、左右、前后方向的表面面積都是15平方厘米，該圖形的總表面積為90立方厘米【答案】90【鞏固】按照上題的堆法一直堆到層()，要想使總表面積恰好是一個(gè)完全平方數(shù)，則的最小值是多少？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【解析】 每增加一層，每一個(gè)“大

25、面”就增加到個(gè)小面，總表面積是6個(gè)“大面”，所以就增加到個(gè)小面，幾何題變成數(shù)論題，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“是一個(gè)完全平方數(shù)，的最小值是幾？”因?yàn)楹突ベ|(zhì)，所以和必須有一個(gè)是完全平方數(shù)，一個(gè)是平方數(shù)的3倍，但不能是平方數(shù)的3倍，因?yàn)槿绻瞧椒綌?shù)的3倍，設(shè)此時(shí)被3除余2，不可能是完全平方數(shù)，所以是平方數(shù)的3倍，是完全平方數(shù)，開(kāi)始試驗(yàn)：當(dāng)，不符合題意；當(dāng)，不是完全平方數(shù)；當(dāng)，不是完全平方數(shù)；當(dāng)，是完全平方數(shù)，所以的最小值是48，即堆到第48層時(shí)，總表面積是完全平方數(shù)，為.【答案】48【例 25】 把19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個(gè)立體圖形.，求這個(gè)立體圖形的表面積【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體

26、 【難度】4星 【題型】解答【解析】 從上下、左右、前后觀察到的的平面圖形如下面三圖表示因此，這個(gè)立體圖形的表面積為：2個(gè)上面?zhèn)€左面?zhèn)€前面上表面的面積為：9平方厘米，左表面的面積為：8平方厘米，前表面的面積為：10平方厘米因此，這個(gè)立體圖形的總表面積為：(平方厘米) 上下面 左右面 前后面【答案】54【鞏固】用棱長(zhǎng)是1厘米的立方塊拼成如右圖所示的立體圖形，問(wèn)該圖形的表面積是多少平方厘米?【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第12 題【解析】 該圖形的上、左、前三個(gè)方向的表面分別由9、7、7塊正方形組成該圖形的表面積等于個(gè)小正方形的面積，所以該圖形表面積為4

27、6平方厘米【答案】46【例 26】 現(xiàn)有一個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體，一個(gè)長(zhǎng)寬為1厘米高為2厘米的長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)寬為1厘米高為3厘米的長(zhǎng)方體下列圖形是把這五個(gè)圖形合并成某一立體圖形時(shí)，從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形試?yán)孟旅嫒齻€(gè)圖形把合并成的立體圖形(如例)的樣子畫(huà)出來(lái)，并求出其表面積例：【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【解析】 從前面看到的和從側(cè)面看到的圖形都只有3層，說(shuō)明疊成的圖形只有3層從上面看到的圖形中可以確定2個(gè)高為3厘米的長(zhǎng)方體的位置，一個(gè)水平方向，一個(gè)豎直方向，再?gòu)那懊婧蛡?cè)面的圖形可以看出這兩個(gè)長(zhǎng)方體都在第1層；從而可以確定另一個(gè)高為3厘米的長(zhǎng)方體及其它兩個(gè)圖形的位

28、置，可得立體圖形的形狀如下圖所示從上面和下面看到的形狀面積都為9平方厘米，共18平方厘米；從兩個(gè)側(cè)面看到的形狀面積都為7平方厘米，共14平方厘米；從前面和后面看到的形狀面積都為6平方厘米，共12平方厘米；隱藏著的面積有2平方厘米一共有(平方厘米)【答案】46【例 27】 將一個(gè)表面積涂有紅色的長(zhǎng)方體分割成若干個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，其中一面都沒(méi)有紅色的小正方形只有3個(gè)，求原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】清華附中，培訓(xùn)題【解析】 長(zhǎng)：3115厘米；寬：1113厘米；高：1113厘米；所以原長(zhǎng)方體的表面積是：（）3278平方厘米【答案

29、】78【例 28】 有30個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的表面涂成紅色求被涂成紅色的表面積【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 (平方米)【答案】56【例 29】 有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如下圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，且該塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)超過(guò)39，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是_【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【解析】 此幾何體不論有多少層，其上、下表面積是固定不變的，為，它的每個(gè)側(cè)面的面積應(yīng)該超過(guò)最底層的正方體的單個(gè)側(cè)面面

30、積為，往上依次為2，1，前五層正方體的單個(gè)側(cè)面面積和為，所以要想超過(guò)，至少應(yīng)該是6個(gè)【答案】6【例 30】 如圖，這是一個(gè)用若干塊體積相同的小正方體粘成的模型把這個(gè)模型的表面(包括底面)都涂成紅色，那么，把這個(gè)模型拆開(kāi)以后，有三面涂上紅色的小正方體比有兩面涂上紅色的小正方體多_ 塊【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】填空【解析】 三面涂上紅色的小正方體有：個(gè)，兩面涂上紅色的小正方體有：個(gè)， 所以三面涂紅色的比兩面涂紅色的多塊【答案】12【例 31】 小明用若干個(gè)大小相同的正方體木塊堆成一個(gè)幾何體，這個(gè)幾何體從正面看如圖1所示，從上面看如圖2，那么這個(gè)幾何體至少用了塊木塊 【考點(diǎn)】長(zhǎng)方

31、體與正方體 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，復(fù)賽，9題【解析】 這道題很多同學(xué)認(rèn)為答案是26塊這是受思維定勢(shì)的影響,認(rèn)為圖2中每一格都要至少放一塊其實(shí),有些格不放,看起來(lái)也是這樣的如下圖，帶陰影的3塊不放時(shí)，小正方體塊數(shù)最少，為23塊【答案】23塊【例 32】 小明用若干個(gè)大小相同的正方體木塊堆成一個(gè)幾何體，這個(gè)幾何體從正面看如圖2所示，從上面看如圖3所示，那么這個(gè)幾何體至少用了 塊木塊【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，初賽，7題【解析】 這道題很多同學(xué)認(rèn)為答案是31塊這是受思維定勢(shì)的影響，認(rèn)為圖2中每一格都要至少放一塊其實(shí)，有些格

32、不放，看起來(lái)也是這樣的如圖5，帶陰影的5塊不放時(shí)，小正方體塊數(shù)最少，為26塊【答案】26塊【例 33】 右圖是正方體，如果將其表面涂成紅色，那么其中一面、二面、三面被涂成紅色的小正方體各有多少塊？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 三面涂紅色的只有8個(gè)頂點(diǎn)處的8個(gè)立方體；兩面涂紅色的在棱長(zhǎng)處，共塊；一面涂紅的表面中間部分：塊【答案】52【例 34】 一個(gè)長(zhǎng)方體，六個(gè)面均涂有紅色，沿著長(zhǎng)邊等距離切5刀，沿著寬邊等距離切4刀，沿著高邊等距離切次后，要使各面上均沒(méi)有紅色的小方塊為24塊，則的取值是_【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【解析】 沿著長(zhǎng)邊等距離切5

33、刀，可切為塊；沿著寬邊等距離切4刀，可切為塊；沿著高邊等距離切刀，可切為塊由題意可知，長(zhǎng)方體每一個(gè)面的外層是涂有1面(或2面、或3面)的小方塊，所以，各面均沒(méi)有紅色的小方塊共個(gè)，因各面均沒(méi)有紅色的小方塊為24塊，所以，解得【答案】3【例 35】 棱長(zhǎng)是厘米（為整數(shù)）的正方體的若干面涂上紅色，然后將其切割成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體至少有一面紅色的小正方體個(gè)數(shù)和表面沒(méi)有紅色的小正方體個(gè)數(shù)的比為，此時(shí)的最小值是多少?【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 切割成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體共有個(gè)，由于其中至少有一面是紅色的小正方體與沒(méi)有紅色面的個(gè)數(shù)之比為，而，所以小正方體的總數(shù)是25的倍

34、數(shù)，即是25的倍數(shù)，那么是5的倍數(shù)當(dāng)時(shí)，要使得至少有一面的小正方體有65個(gè)，可以將原正方體的正面、上面和下面涂色，此時(shí)至少一面涂紅色的小正方體有個(gè)，表面沒(méi)有紅色的小正方體有個(gè)，個(gè)數(shù)比恰好是，符合題意.因此，的最小值是5【答案】5【例 36】 有64個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的同樣大小的小正方體，其中34個(gè)為白色的，30個(gè)為黑色的現(xiàn)將它們拼成一個(gè)的大正方體，在大正方體的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 要使大正方體的表面上白色部分最多，相當(dāng)于要使大正方體表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方體盡量不露出來(lái)在整個(gè)大正方體中，沒(méi)有露在表面的小正

35、方體有(個(gè))，用黑色的；在面上但不在邊上的小正方體有(個(gè))，其中個(gè)用黑色這樣，在表面的個(gè)的正方形中，有22個(gè)是黑色，(個(gè))是白色，所以在大正方體的表面上白色部分最多可以是74平方厘米【答案】74【例 37】 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是12厘米，寬10厘米，高也是整厘米數(shù)，在它的表面涂滿顏色后，截成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體，其中一面有色的小正方體有448個(gè)求原來(lái)長(zhǎng)方體的體積與表面積【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 先求出長(zhǎng)方體的高，再求其體積和表面積設(shè)長(zhǎng)方體的高為厘米，則按題意截成的一面有色的小正方體有個(gè)，因?yàn)橐幻嬗猩男≌襟w有448個(gè)，所以，解得所以，長(zhǎng)方體的體積為立方厘米，表

36、面積為平方厘米【答案】體積1200，表面積是680【例 38】 將一個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)分米的長(zhǎng)方體6個(gè)面都涂上紅色，然后把它全部切成棱長(zhǎng)為1分米的小正方體在這些小正方體中，6個(gè)面都沒(méi)有涂紅色的有12塊，僅有兩個(gè)面涂紅色的有28塊，僅有一個(gè)面涂紅色的有 塊，原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是 立方分米【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】填空【解析】 先考慮6個(gè)面都沒(méi)有涂紅色的正方體，它們最初是位于原長(zhǎng)方體的“芯”（就是去掉長(zhǎng)方體各面最外面一層后剩下的小長(zhǎng)方體）內(nèi)的正方體，共有12塊，所以12就是這個(gè)“芯”的長(zhǎng)、寬、高（各比原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬、高小2）的乘積而12分拆成3個(gè)整數(shù)的乘積只有4種情況： ；再看兩面

37、涂紅的小正方體兩面涂紅的小正方體就是最初位于長(zhǎng)方體的棱上除了頂角處的那些小正方體，它們的個(gè)數(shù)和恰好是“芯”的長(zhǎng)、寬、高之和的4倍由于這樣的小正方體共有28塊，所以“芯”的長(zhǎng)、寬、高之和為；符合條件的只有，所以“芯”為的長(zhǎng)方體，原來(lái)的長(zhǎng)方體是的長(zhǎng)方體一面涂紅的長(zhǎng)方體就是最初位于長(zhǎng)方體各個(gè)面中間部分的長(zhǎng)方體，它們的數(shù)量為：（個(gè)），原來(lái)長(zhǎng)方體的體積為：（立方分米）【答案】一面涂色的有32塊，長(zhǎng)方體的體積是80立方分米【例 39】 右圖是由27塊小正方體構(gòu)成的 333的正方體如果將其表面涂成紅色，則在角上的8個(gè)小正方體有三面是紅色的，最中央的小方塊則一點(diǎn)紅色也沒(méi)有，其余18塊小方塊中，有12個(gè)兩面是紅

38、的，6個(gè)一面是紅的這樣兩面有紅色的小方塊的數(shù)量是一面有紅色的小方塊的兩倍，三面有紅色的小方塊的數(shù)量是一點(diǎn)紅色也沒(méi)有的小方塊的八倍問(wèn)：由多少塊小正方體構(gòu)成的正方體，表面涂成紅色后會(huì)出現(xiàn)相反的情況，即一面有紅色的小方塊的數(shù)量是兩面有紅色的小方塊的兩倍，一點(diǎn)紅色也沒(méi)有的小方塊是三面有紅色的小方塊的八倍？ 【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 對(duì)于由n3塊小正方體構(gòu)成的nnn正方體，三面涂有紅色的有8塊，兩面涂有紅色的有12（n2）塊，一面涂有紅色的有6塊，沒(méi)有涂色的有塊由題設(shè)條件，一點(diǎn)紅色也沒(méi)有的小方塊是三面涂有紅色的小方塊的八倍，即88，解得n6【答案】216【例 40】 有

39、6個(gè)相同的棱長(zhǎng)分別是3厘米、4厘米、5厘米的長(zhǎng)方體，把它們的某些面染上紅色，使得有的長(zhǎng)方體只有1個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有2個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有3個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有4個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有5個(gè)面是紅色的，還有一個(gè)長(zhǎng)方體6個(gè)面都是紅色的，染色后把所有長(zhǎng)方體分割成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體最多有多少個(gè)？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，4題【解析】 一面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將的長(zhǎng)方體染紅，這時(shí)產(chǎn)生20個(gè)一面染成紅色的小正方體，個(gè)數(shù)最多二面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將兩個(gè)的長(zhǎng)方體染紅，這時(shí)產(chǎn)生40個(gè)一面染成紅

40、色的小正方體，個(gè)數(shù)最多三面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將，的面染紅，于是產(chǎn)生個(gè)一面染成紅色的小正方體，其他方法得出的一面染成紅色的正方體均少于36個(gè)四面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將，的面染紅，產(chǎn)生個(gè)一面染成紅色的正方體，其他方法得到的一面染成紅色的小正方體均少于32個(gè)五面染紅的長(zhǎng)方體，應(yīng)只留一個(gè)的面不染，這時(shí)就產(chǎn)生個(gè)一面染成紅色的小正方體，其他染法得到的一面染成紅色的小正方體均少于27六面染紅的長(zhǎng)方體，產(chǎn)生個(gè)一面染成紅色的小正方體于是最多得到個(gè)一面染成紅色的小正方體【答案】177【例 41】 三個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體，棱長(zhǎng)總和是288厘米，每個(gè)長(zhǎng)方體相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，給這三個(gè)長(zhǎng)方體涂

41、色，一個(gè)涂一面，一個(gè)涂?jī)擅?，一個(gè)涂三面涂色后把三個(gè)長(zhǎng)方體都切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，只有一個(gè)面涂色的小正方體最少有多少個(gè)？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【解析】 每個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和是厘米，所以，每個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的和是厘米因?yàn)椋總€(gè)長(zhǎng)方體相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以，每個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是9厘米、8厘米、7厘米要求切割后只有一個(gè)面涂色的小正方體最少有多少個(gè)，則需每一個(gè)長(zhǎng)方體按題意涂色時(shí)，應(yīng)讓切割后只有一個(gè)面涂色的小正方體最少所以，涂一面的長(zhǎng)方體應(yīng)涂一個(gè)面，有個(gè)；涂?jī)擅娴拈L(zhǎng)方體，若兩面不相鄰，應(yīng)涂?jī)蓚€(gè)面，有個(gè)；若兩面相鄰，應(yīng)涂一個(gè)面和一個(gè)面，此

42、時(shí)有個(gè)，所以涂?jī)擅娴淖钌儆?05個(gè)；涂三面的長(zhǎng)方體，若三面不兩兩相鄰，應(yīng)涂?jī)蓚€(gè)面、一個(gè)面，有個(gè)；若三面兩兩相鄰，有個(gè)，所以涂三面的最少有146個(gè)那么切割后只有一個(gè)面涂色的小正方體最少有個(gè)【答案】307【例 42】 有l(wèi)25個(gè)同樣大小的正方體木塊，木塊的每個(gè)面的面積均為1平方厘米，其中63個(gè)表面涂上白色，還有62個(gè)表面涂上藍(lán)色。將這l25個(gè)正方體木塊粘在一起，形成一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米大正方體木塊。這個(gè)大正方體木塊的表面上，藍(lán)色的面積最多是 平方厘米。【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，三年級(jí)，初賽，第10題【解析】 8個(gè)頂點(diǎn)上的正方體木塊表面積是3平方厘米，棱上的正方

43、體木塊表面積是2平方厘米，面上的正方體木塊表面積是1平方厘米，所以要先在頂點(diǎn)和棱上放藍(lán)色的正方體木塊，剩下的放在面上，不放在內(nèi)部，藍(lán)色的面積最多是3×8+2×（5-2）×12+1×（62-8-36）=114 平方厘米.【答案】114【例 43】 有l(wèi)00個(gè)棱長(zhǎng)為l厘米的正方體木塊，表面均為白色，還有25個(gè)棱長(zhǎng)為l厘米的正方體木塊，表面均為藍(lán)色。將這125個(gè)正方體木塊粘在一起，形成一個(gè)大正方體。大正方體的表面為白色的面積至少是 平方厘米?！究键c(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級(jí)，初賽，8題【解析】 將藍(lán)色正方體盡量依次往角

44、上、棱上放，因?yàn)檫@三個(gè)位置上的正方體的裸露表面有3、2塊。這二個(gè)位置上的正方體依次有8、（5-1-1）×12=36個(gè).所以25個(gè)正方體在角上放8個(gè)，棱上放17個(gè)，那么所占的表面積有8×3+17×2=58塊.白色面積為150-58=92塊，即92平方厘米.【答案】92【例 44】 64個(gè)同樣大小的小正方體，其中34個(gè)為白色的，30個(gè)為黑色的?，F(xiàn)將它們拼成一個(gè)4×4×4的大正方體，在大正方體的表面上白色部分的面積與黑色部分的面積之比最大為 ?！究键c(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級(jí)，決賽，第6題，10分【解析】 沒(méi)

45、有露在表面的小正方體有(4-2)=8(個(gè))，用黑色的。在面上但不在邊上的小正方體有(4-2)×6=24(個(gè))，其中22個(gè)用黑色。這樣，在表面的4×4×6=96(個(gè))小正方形中，22個(gè)是黑色，96-22=74(個(gè))是白色，白色與黑色的面積比為74:2237:ll?！敬鸢浮俊纠?45】 將16個(gè)相同的小正方形拼成一個(gè)體積為16平方厘米的長(zhǎng)方體，將表面涂漆，然后分開(kāi)，結(jié)果，其中2面涂漆的小正方體有8個(gè)，那么3面涂漆的小正方體有_個(gè)，4面涂漆的小正方體有_個(gè)。【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，復(fù)賽，第12題，5分【解析】 16=1

46、×1×16=1×2×8=1×4×4=2×2×4，其中只有2×2×4的長(zhǎng)方體有8個(gè)小正方體2面涂漆，它的3面小正方體有8個(gè)（8個(gè)角），沒(méi)有4面都涂漆的.【答案】三面涂漆的有8個(gè)，無(wú)四面涂漆的【例 46】 把一個(gè)大長(zhǎng)方體木塊表面上涂滿紅色后，分割成若干個(gè)同樣大小的小正方體，其中恰好有兩個(gè)面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，那么至少要把這個(gè)大長(zhǎng)方體分割成多少個(gè)小正方體？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【解析】 設(shè)小正方體的棱長(zhǎng)為1，考慮兩種不同的情況，一種是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高中有一個(gè)

47、是1的情況，另一種是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都大于1的情況當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高中有一個(gè)是1時(shí)，分割后只有一層小正方體，其中有兩個(gè)面涂上紅色的小正方體是去掉最外層一圈的小正方體后剩下的那些因?yàn)橛袃蓚€(gè)面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，設(shè)，那么分成的小正方體個(gè)數(shù)為，為了使小正方體的個(gè)數(shù)盡量少，應(yīng)使最小，而兩數(shù)之積一定，差越小積越小，所以當(dāng)時(shí)它們的和最小，此時(shí)共有個(gè)小正方體當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都大于1時(shí)，有兩個(gè)面涂上紅色的小正方體是去掉8個(gè)頂點(diǎn)所在的小正方體后12條棱上剩余的小正方體，因?yàn)橛袃蓚€(gè)面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，所以長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高之和是由于三個(gè)數(shù)的和一定，差越大積越小，為了使小正方體

48、的個(gè)數(shù)盡量少，應(yīng)該令，此時(shí)共有個(gè)小正方體因?yàn)?，所以至少要把這個(gè)大長(zhǎng)方體分割成108個(gè)小正方體【答案】108【例 47】 把正方體的六個(gè)表面都劃分成9個(gè)相等的正方形用紅、黃、藍(lán)三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染不同的顏色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個(gè)？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答【解析】 一個(gè)面最多有5個(gè)方格可染成紅色（見(jiàn)左下圖）因?yàn)槿居?個(gè)紅色方格的面不能相鄰，可以相對(duì)，所以至多有兩個(gè)面可以染成5個(gè)紅色方格 其余四個(gè)面中，每個(gè)面的四個(gè)角上的方格不能再染成紅色，至多能染4個(gè)紅色方格（見(jiàn)上中圖）因?yàn)槿居?個(gè)紅色方格的面也不能相鄰，可以相對(duì)，所以至多有兩個(gè)面

49、可以染成4個(gè)紅色方格最后剩下兩個(gè)相對(duì)的面，每個(gè)面最多可以染2個(gè)紅色方格（見(jiàn)右上圖）所以，紅色方格最多有（個(gè)）（另解）事實(shí)上上述的解法并不嚴(yán)密，“如果最初的假設(shè)并沒(méi)有兩個(gè)相對(duì)的有5個(gè)紅色方格的面，是否其他的四個(gè)面上可以出現(xiàn)更多的紅色方格呢？”這種解法回避了這個(gè)問(wèn)題，如果我們從約束染色方格數(shù)的本質(zhì)原因入手，可嚴(yán)格說(shuō)明是紅色方格數(shù)的最大值對(duì)于同一個(gè)平面上的格網(wǎng)，如果按照國(guó)際象棋棋盤(pán)的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成紅色但是現(xiàn)在需要染色的是一個(gè)正方體的表面，因此在分析問(wèn)題時(shí)應(yīng)該兼顧棱、角等面與面相交的地方： 如圖，每個(gè)角上三個(gè)方向的3個(gè)方格必須染成不同的三種顏色，所以8個(gè)角上最多只能有8個(gè)方格染

50、成紅色如圖，陰影部分是首尾相接由個(gè)方格組成的環(huán)，這9個(gè)方格中只能有個(gè)方格能染成同一種顏色(如果有5個(gè)方格染同一種顏色，必然出現(xiàn)相鄰，可以用抽屜原理反證之：先去掉一個(gè)白格，剩下的然后兩兩相鄰的分成四個(gè)抽屜，必然有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)紅色方格)，像這樣的環(huán)，在正方體表面最多能找到不重疊的兩道（關(guān)于正方體中心對(duì)稱的兩道），涉及的個(gè)方格中最多能有個(gè)可染成紅色剩下個(gè)方格，分布在條棱上，這個(gè)格子中只能有個(gè)能染成紅色綜上所述，能被染成紅色的方格最多能有個(gè)格子能染成紅色，第一種解法中已經(jīng)給出個(gè)紅方格的染色方法，所以個(gè)格子染成紅色是最多的情況【答案】22【鞏固】把正方體的六個(gè)表面都劃分成4個(gè)相等的正方形用紅色去染這

51、些小正方形，要求有公共邊的正方形不能同時(shí)染上紅色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個(gè)？【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 正方體的6個(gè)面被分割成個(gè)正方形，如果只對(duì)每個(gè)面分別分析，只能得到每個(gè)面最多有個(gè)方格，六個(gè)面最多應(yīng)該個(gè)面染成紅色，如果對(duì)每一個(gè)角進(jìn)行分析，每一個(gè)角上的三個(gè)方格都相互相鄰，所以其中最多只有個(gè)方格能染成紅色，所以用紅色染的正方形最多有個(gè)，如圖【答案】8個(gè)【例 48】 一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體做成一種玩具，求這個(gè)玩具的表面積. 【考點(diǎn)】長(zhǎng)方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答【解析】 挖去六個(gè)小正方體后，大正方體的中心部分即與其主體脫離，這時(shí)得到的新玩具是鏤空的.把這個(gè)玩具分成20部分，8個(gè)“角”和12條“梁”，每個(gè)“角”為棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，它外露部分的面積為：(平方厘米)，則