1、二圓錐曲線的參數(shù)方程學習目標1.掌握橢圓的參數(shù)方程及應用.2.了解雙曲線、拋物線的參數(shù)方程.3.能夠利用圓錐曲線的參數(shù)方程解決最值、有關點的軌跡問題.知識鏈接1.橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)是 OM 的旋轉角嗎？提示橢圓的參數(shù)方程xacos，ybsin(為參數(shù))中的參數(shù)不是動點 M(x，y)的旋轉角，它是點 M 所對應的圓的半徑 OA(或 OB)的旋轉角，稱為離心角，不是 OM的旋轉角.2.雙曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)的三角函數(shù) sec的意義是什么？提示sec1cos，其中0，2)且2，32.3.類比 y22px(p0)，你能得到 x22py(p0)的參數(shù)方程嗎？提示x2pt，y2pt2(p0，t 為參

2、數(shù)，tR.)預習導引1.橢圓的參數(shù)方程普通方程參數(shù)方程x2a2y2b21(ab0)xacosybsin(為參數(shù))y2a2x2b21(ab0)xbcosyasin(為參數(shù))2.雙曲線的參數(shù)方程普通方程參數(shù)方程精選文檔2x2a2y2b21(ab0)xasec，ybtan(為參數(shù))3.拋物線的參數(shù)方程(1)拋物線 y22px 的參數(shù)方程是x2pt2，y2pt(tR，t 為參數(shù)).(2)參數(shù) t 表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù).精選文檔3要點一橢圓參數(shù)方程的應用例 1已知 A、B 分別是橢圓x236y291 的右頂點和上頂點，動點 C 在該橢圓上運動， 求ABC 重心 G 的軌跡

3、的普通方程.解由題意知 A(6，0)，B(0，3).由于動點 C 在橢圓上運動，故可設動點 C 的坐標為(6cos，3sin)，點 G 的坐標為(x，y)，由三角形重心的坐標公式可得x606cos3，y033sin3(為參數(shù))，即x22cos，y1sin.故重心 G 的軌跡的參數(shù)方程為x22cos，y1sin(為參數(shù)).規(guī)律方法本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對于解決相關問題的優(yōu)越性.運用參數(shù)方程顯得很簡單，運算更簡便.跟蹤演練 1已知曲線 C1：x4cos t，y3sin t(t 為參數(shù))，曲線 C2：x264y291.(1)化 C1為普通方程，C2為參數(shù)方程；并說明它們分別表示什么曲線？(2

4、)若 C1上的點 P 對應的參數(shù)為 t2，Q 為 C2上的動點，求 PQ 中點 M 到直線C3：x2y70 距離的最小值.解(1)由x4cos t，y3sin t，得cos tx4，sin ty3.曲線 C1：(x4)2(y3)21，C1表示圓心是(4，3)，半徑是 1 的圓.曲線 C2：x264y291 表示中心是坐標原點，焦點在 x 軸上，長半軸長是 8，短半軸長是 3 的橢圓.其參數(shù)方程為x8cos，y3sin，(為參數(shù))精選文檔4(2)依題設，當 t2時，P(4，4)；且 Q(8cos，3sin)，故 M24cos，232sin.又 C3為直線 x2y70，M 到 C3的距離 d55|

5、4cos3sin13|55|5cos()13|，從而當 cos45，sin35時，其中由 sin35，cos45確定，cos()1，d 取得最小值8 55.要點二雙曲線參數(shù)方程的應用例 2求證：雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)上任意一點到兩漸近線的距離的乘積是一個定值.證明由雙曲線x2a2y2b21，得兩條漸近線的方程是：bxay0，bxay0，設雙曲線上任一點的坐標為(asec ，btan)，它到兩漸近線的距離分別是 d1和 d2，則 d1d2|absecabtan|b2a2|absecabtan|b2（a）2|a2b2（sec2tan2）|a2b2a2b2a2b2(定值).規(guī)律方法在

6、研究有關圓錐曲線的最值和定值問題時， 使用曲線的參數(shù)方程非常簡捷方便，其中點到直線的距離公式對參數(shù)形式的點的坐標仍適用，另外本題要注意公式 sec2tan21 的應用.跟蹤演練 2如圖，設 P 為等軸雙曲線 x2y21 上的一點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，證明：|PF1|PF2|OP|2.精選文檔5證明設 P(sec，tan)，F(xiàn)1( 2，0)，F(xiàn)2( 2，0)，|PF1| （sec 2）2tan2 2sec22 2sec1，|PF2| （sec 2）2tan2 2sec22 2sec1，|PF1|PF2| （2sec21）28sec22sec21.|OP|2sec2tan22sec21，|PF1

7、|PF2|OP|2.要點三拋物線參數(shù)方程的應用例 3設拋物線 y22px 的準線為 l，焦點為 F，頂點為 O，P 為拋物線上任一點，PQl 于 Q，求 QF 與 OP 的交點 M 的軌跡方程.解設 P 點的坐標為(2pt2，2pt)(t 為參數(shù))，當 t0 時，直線 OP 的方程為 y1tx，QF 的方程為 y2txp2 ，它們的交點 M(x，y)由方程組y1txy2txp2確定，兩式相乘，消去 t，得 y22xxp2 ，點 M 的軌跡方程為 2x2pxy20(x0).當 t0 時，M(0，0)滿足題意，且適合方程 2x2pxy20.故所求的軌跡方程為 2x2pxy20.精選文檔6規(guī)律方法1

8、.拋物線 y22px(p0)的參數(shù)方程為x2pt2，y2pt(t 為參數(shù))，參數(shù) t為任意實數(shù)，它表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù).2.用參數(shù)法求動點的軌跡方程，其基本思想是選取適當?shù)膮?shù)作為中間變量，使動點的坐標分別與參數(shù)有關，從而得到動點的參數(shù)方程，然后再消去參數(shù)，化為普通方程.跟蹤演練 3已知拋物線的參數(shù)方程為x2pt2，y2pt(t 為參數(shù))，其中 p0，焦點為F，準線為 l.過拋物線上一點 M 作 l 的垂線，垂足為 E，若|EF|MF|，點 M 的橫坐標是 3，則 p_.解析根據(jù)拋物線的參數(shù)方程可知拋物線的標準方程是 y22px，所以 y2M6p，所以 Ep2，

9、 6p，F(xiàn)p2，0，所以p23 p26p，所以 p24p120，解得 p2(負值舍去).答案21.圓的參數(shù)方程xrcos，yrsin中的參數(shù)是半徑 OM 的旋轉角，橢圓參數(shù)方程xacos，ybsin中的參數(shù)是橢圓上點 M 的離心角.2.橢圓（xm）2a2（yn）2b21(ab0)的參數(shù)方程為xmacos，ynbsin(為參數(shù)).3.雙曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)的三角函數(shù) cot、sec、csc的意義分別為cot1tan，sec1cos，csc1sin.4.拋物線 y22px 的參數(shù)方程x2pt2，y2pt(t 為參數(shù))， 由于yx1t，因此 t 的幾何意義精選文檔7是拋物線的點(除頂點外)與拋物線

10、的頂點連線的斜率的倒數(shù).5.利用圓錐曲線的參數(shù)方程， 可以方便求解一些需要曲線上點的兩個坐標獨立表示的問題，如求最大值、最小值問題、軌跡問題等.1.參數(shù)方程xetet，y2（etet）(t 為參數(shù))的普通方程是()A.拋物線B.一條直線C.橢圓D.雙曲線解析由參數(shù)方程2x2et2et，y2（etet）平方相減可得 4x2y216，即x24y2161，故答案為 D.答案D2.橢圓x45cos，y3sin(為參數(shù))的焦點坐標為()A.(0，0)，(0，8)B.(0，0)，(8，0)C.(0，0)，(0，8)D.(0，0)，(8，0)解析利用平方關系化為普通方程：（x4）225y291.焦點(0，0

11、)，(8，0).答案D3.參數(shù)方程xsin2cos2，y 2sin(為參數(shù))表示的普通方程是_.解析因 x21sin， y22sin， 所以 y2x21， 又因 xsin2cos22sin24 ，所以答案為 y2x21(|x| 2且 y1).精選文檔8答案y2x21(|x| 2且 y1)4.點 P(1，0)到曲線xt2，y2t(參數(shù) tR)上的點的最短距離為()A.0B.1C. 2D.2解析d2(t21)24t2(t21)2.tR，d2min1，dmin1.答案B5.已知點 P 是橢圓x24y21 上任意一點，求點 P 到直線 l：x2y0 的距離的最大值.解因為 P 為橢圓x24y21 上任

12、意一點， 故可設 P(2cos， sin)， 其中0，2).又直線 l：x2y0.因此點 P 到直線 l 的距離d|2cos2sin|12222 2|sin4|5.又0， 2)， dmax2 252 105，即點 P 到直線 e：x2y0 的距離的最大值為2 105.一、基礎達標1.參數(shù)方程xcos，y2sin(為參數(shù))化為普通方程為()A.x2y241B.x2y221C.y2x241D.y2x241解析易知 cosx，siny2，x2y241，故選 A.答案A2.方程xcosa，ybcos(為參數(shù)，ab0)表示的曲線是()A.圓B.橢圓精選文檔9C.雙曲線D.雙曲線的一部分解析由 xcosa

13、，cosax，代入 ybcos，得 xyab，又由 ybcos知，y|b|，|b|，曲線應為雙曲線的一部分.答案D3.若點 P(3，m)在以點 F 為焦點的拋物線x4t2，y4t(t 為參數(shù))上，則|PF|等于()A.2B.3C.4D.5解析拋物線為 y24x，準線為 x1，|PF|為 P(3，m)到準線 x1 的距離，即為 4.答案C4.當取一切實數(shù)時，連接 A(4sin，6cos)和 B(4cos，6sin)兩點的線段的中點的軌跡是()A.圓B.橢圓C.直線D.線段解析設中點 M(x，y)，由中點坐標公式，得 x2sin2cos，y3cos3sin，即x2sincos，y3sincos，兩

14、式平方相加，得x24y292，是橢圓.答案B5.實數(shù) x，y 滿足 3x24y212，則 2x 3y 的最大值是_.解析因為實數(shù) x，y 滿足 3x24y212，所以設 x2cos，y 3sin，則2x 3y4cos3sin5sin()，其中 sin45，cos35.當 sin()1 時，2x 3y 有最大值為 5.答案56.拋物線 yx22xt的頂點軌跡的普通方程為_.精選文檔10解析拋物線方程可化為 yx1t21t2，其頂點為1t，1t2，記 M(x，y)為所求軌跡上任意一點，則x1t，y1t2，消去 t 得 yx2(x0).答案yx2(x0)7.如圖所示，連接原點 O 和拋物線 y12x

15、2上的動點 M，延長OM 到點 P，使|OM|MP|，求 P 點的軌跡方程，并說明是什么曲線？解拋物線標準方程為 x22y，其參數(shù)方程為x2t，y2t2.得 M(2t，2t2).設 P(x，y)，則 M 是 OP 中點.2tx02，2t2y02，x4ty4t2(t 為參數(shù))，消去 t 得 y14x2，是以 y 軸為對稱軸，焦點為(0，1)的拋物線.二、能力提升8.若曲線xsin2，ycos1(為參數(shù))與直線 xm 相交于不同兩點， 則 m 的取值范圍是()A.RB.(0，)C.(0，1)D.0，1)解析將曲線xsin2，ycos1化為普通方程得(y1)2(x1)(0 x1).它是拋物線的一部分

16、，如圖所示，由數(shù)形精選文檔11結合知 0m1.答案D9.圓錐曲線xt2，y2t(t 為參數(shù))的焦點坐標是_.解析將參數(shù)方程化為普通方程為 y24x，表示開口向右，焦點在 x 軸正半軸上的拋物線，由 2p4p2，則焦點坐標為(1，0).答案(1，0)10.設曲線 C 的參數(shù)方程為xt，yt2(t 為參數(shù))，若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線 C 的極坐標方程為_.解析xt，yt2化為普通方程為 yx2，由于cosx，siny，所以化為極坐標方程為sin2cos2，即cos2sin0.答案cos2sin011.在直角坐標系 xOy 中，曲線 C1的參數(shù)方程為x 3c

17、os ，ysin ，(為參數(shù))，以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 C2的極坐標方程為sin4 2 2.(1)寫出 C1的普通方程和 C2的直角坐標方程；(2)設點 P 在 C1上，點 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此時 P 的直角坐標.解(1)C1的普通方程為x23y21.C2的直角坐標方程為 xy40.(2)由題意，可設點 P 的直角坐標為( 3cos ，sin ).因為 C2是直線，所以|PQ|的最小值即為 P 到 C2的距離 d()的最小值.d()| 3cos sin 4|2 2|sin3 2|.當且僅當2k6(kZ)時，d()取得最小值，最小值為 2，此時 P 的直角坐標為32，12 .三、探究與創(chuàng)新精選文檔1212.設橢圓的中心是坐標原點，長軸在 x 軸上，離心率 e32，已知點 P0，32 到這個橢圓上的點的最遠距離是 7，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點 P 的距離等于 7的點的坐標.解設橢圓的參數(shù)方程是xacosybsin，其中，ab0，02.由 e2c2a2a2b2a21ba2可得ba 1e212即 a2b.設橢圓上的點(x，y