1、點差法的應用-教師版一.綜述(一)圓錐曲線問題中，與弦中點有關的問題 可以考慮用點差法.即：設弦的端點坐標，并代入圓錐曲 線的方程，并作差.利用中點坐標公式與斜率公式得到一個等式，進而處理問題.利用點差法可以減少很多的計算，所以在解有關的問題時用這種方法比較好(二)注意：點差法在求出直線方程以后，必須將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立得到一個關于x(或y)的一元二次方程，判斷該方程的A和0的關系.只有A >0,直線才是存在的.(三)點差法常見題型有：求中點弦方程、求(過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直平分線、定值問 題二.例題精講破解規(guī)律x2 y21例1.已知橢圓C:-2十%=1 (a>b

2、>0)的離心率e = ,且過點 J3, .ab212 ,(1)求橢圓C的方程；(2)設過點P(1,1)的直線與橢圓C交于A, B兩點，當P是AB中點時，求直線 AB方程.規(guī)律總結：與弦中點有關的問題可以考慮用點差法.即：設弦的端點坐標，并代入圓錐曲線的方程，并作差.利用中點坐標公式與斜率公式得到一個等式，進而處理問題2練習1：直線x+4y + m = 0交橢圓上 + y2 =1于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標為1,則m =()16A -2 B -1C. 1D 222例2.已知橢圓C : "十4=1(a >b>0)的離心率為 二，點(2, J2城C上 a2 b22

3、(1)求C的方程(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點 A, B,線段AB的中點為M .證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.規(guī)律總結：若線段 AB是橢圓(或雙曲線)的弦，AB中點為 M,則koM kAB=e21，其中e為離心率,且 kOM , kAB均存在.22練習2:已知雙曲線 上匕=1上有不共線的三點 A B、C,且AB、BC、AC的中點分別為 D、E、F ,841 11若OD、OE、OF的斜率之和為-2,則，+，+，=()kAB kBC kACA -4B -25/3C 4D. 62 2_1例3：已知橢圓C ： + =1(a >b >0)經(jīng)過點(0

4、, J3),且離心率為 一.a b2(I)求橢圓C的方程；(II )若一組斜率為2的平行線，當它們與橢圓 C相交時，證明：這組平彳亍線被橢圓 C截得的線段的中點 在同一條直線上.規(guī)律總結：牽涉到弦中點軌跡方程，垂直平分線問題可以考慮使用點差結合中點坐標公式來處理練習3:已知橢圓 與+4=1但>b >0)的一個頂點為B(0,4 ),離心率e =，5 ,直線l交橢圓于M , N兩a b5'點，如果ABMN的重心恰好為橢圓的右焦點F ,直線l方程為.第2頁共5頁三.課堂練習強化技巧1 .橢圓的以為中點的弦所在直線的方程是()AB.CD.2 .過點作斜率為一的直線與橢圓：相交于，兩

5、點，若是線段 的中點，則橢圓 的離心率為.3 .過點(0,2 )的直線l與中心在原點，焦點在 x軸上且離心率為 2的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=1x過線段AB的中點，同時橢圓 C上存在一點與右焦點關于直線l對稱.2(1)求直線l的方程；(2)求橢圓C的方程.四.課后作業(yè)1.若雙曲線的中心為原點，F(xiàn)(0,-2)是雙曲線的焦點，過 F的直線l與雙曲線相交于 M, N兩點,且MN的中點為P(3,1)則雙曲線的方程為()22A X 22 xA y =1 By =1332y 2.C -x =132.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為2坐標為-2,則此雙曲線的方程是32 222A 匚。1 B 二-。13

6、 44322C. ±-工=152y=x-1與其相交于 M N兩點，M時點的橫),223.已知橢圓 J +=1( a>b>0)的右焦點為a2b2且直線AB的傾斜角為45。，則橢圓方程為(2222xyxyA + - =1B. + - = 1 C9594F,過點F的直線與橢圓交于點 A B,若AB中點為(1，)2,2222x4yx2y“+= 1 D += 19999MA - MB =2«,4.已知A(2,0 , B(2,0 ),若在斜率為k的直線l上存在不同的兩點 M,N ,滿足:第3頁共5頁NA NB =2j3且線段MN的中點為（6,1）,則k的值為（）1 - 1A

7、 -2B._!C，D.22 25 .已知中心在原點的橢圓 C的右焦點為（1,0）, 一個頂點為一，若在此橢圓上存在不同兩點關于直線對稱，則的取值范圍是A （二二） B （二二）C. （ - -）D.（二二）6 .設A、B是橢圓3x2+y2 =九上的兩點，點N（1,3）是線段AB的中點，線段 AB的垂直平分線與橢圓相 交于C D兩點.確定兒的取值范圍，并求直線 AB的方程.227.已知雙曲線C:xy %=1何A0,bA0）的漸近線方程為：y=±J3x,右頂點為（1,0）. a b（I）求雙曲線C的方程；（n）已知直線y=x+m與雙曲線C交于不同的兩點 A,B,且線段AB的中點為M（x0,y0）,當x0 0 0228 .橢圓Q:x2+，=1 （a>b>0）的右焦點為F（c,0）,過點F的一動直線 m繞點F轉動，并且交橢 a b'圓于A、B兩點，P為線段AB的中點.求點P的軌跡H的方程；2+ y2 = 1有兩個不同的交點 P和9 .在直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(0, J2)且斜率為k的直線l與橢圓之Q (1)求k的取值范圍；(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為 A B,是否存在常數(shù)k,使得向量OP + OQ與AB 共線？如果存在，求 k的取值范圍；如果不存在，請說明理由第6頁共5頁210 .橢圓C的中心在原點，并以雙曲線y-