1、電磁場與電磁波摘要 : 電磁場與電磁波課程與電氣專業(yè)息息相關(guān)，是我們電氣專業(yè)學生必須學習的， 這學期我們進行了電磁場與電磁波的學習。主要講解了矢量分析，電磁場的基本定律，時變電磁場，簡述了靜態(tài)電磁場極其邊值問題的解。第一章: 矢量分析是研究電磁場在空間分布和變化規(guī)律的基本數(shù)學工具之一。第二章以大學物理（電磁學）為基礎(chǔ)，介紹電磁場的基本物理量和基本規(guī)律，第三章分別介紹了靜電場、 恒定電場和恒定磁場的分析方法。第四章主要討論時變電磁場的普遍規(guī)律。一、矢量分析電磁場是是分布在三維空間的矢量場，矢量分析是研究電磁場在空間的分 布和變化規(guī)律的基本教學工具之一。1 :標量和矢量(1)標量：一個只用大小描述

2、的物理量。矢量：一個既有大小又有方向 特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。矢量一旦被賦予“物理 單位”，則成為一個具有物理意義的矢量，如：電場強度矢量E、磁場強度矢量H、作用力矢量F、速度矢量v等。(2)兩個矢量A與B相加，其和是另一個矢量 d矢量D=A+BM按平行四 邊形法則得到：從同一點畫出矢量 A與B,構(gòu)成一個平行四邊形，其對角線 矢量即為矢量 Q兩個矢量A與B的點積是一個標量，定義為矢量 A與B的 與它們之間較小的夾角的余弦之積。(3)兩個矢量A與B的叉積是一個矢量，它垂直于包含矢量 A和B的平 面，大小定義為矢量A與B的與它們之間較小的夾角的正弦之積，方向為當 右手四個手指

3、從矢量A到B旋轉(zhuǎn)時大拇指的方向。2:標量場的梯度(1)等值面：標量場取得同一數(shù)值的點在空間形成的曲面，形象直觀地描述了 物理量在空間的分布狀態(tài)。對任意給定的常數(shù)C,方程"就”。就是等值方程。(2)梯度的概念：標量場u在點M處的梯度是一個矢量，它的方向沿場量 u變 ，一一，、， ，一，一，、，一 *ta化率取大的方向，大小等于其取大變化率，并記作 grad u,即grad u= ei| max11直角坐標系中梯度的表達式為 grad u=底(|1 +與：11 +電工U,標量場u的梯度可0 . A i L用哈密頓算符表示為grad u=( £ +員.一+ * ) . u = V

4、il(3)標量場的梯度具有以下特性：標量場u的梯度是一個矢量場，通常稱 u 為標量場u所產(chǎn)生的梯度場；標量場u (M)中，再給定點沿任意方向l的方 向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影；標量場 u (M)中每一點M處的梯度，垂 直于過該點的等值面，且指向u (M增加的方向。3:散度在矢量場F中的任一點M處作一個包圍該點的任意閉合曲面 S,當S所限定的 體積4V一任意方式趨近于0時，則比值四的極限稱為矢量場F在點M處的散度，并記作 div F 即 , divF = lin0由散度的定義可知，div F表示在點M處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量 F的 通量，所以div F描述了通量源的密度。若div F&g

5、t;0 ,則改點有發(fā)出矢量線的正 通量源，若div F<0 ,則改點有匯聚矢量線的負通量源。由散度的定義可知，div F與體積元 V的形狀無關(guān)，只要在取極限過程中， 所有尺寸都趨于0即可。散度在直角坐標系中的表達式嗎帆即 &Zj. P r 轉(zhuǎn)成 jfx .divFSm如口七: J+矢量分析中的一個重要定理是 .二上式稱為散度定理（或高斯定理）。表明矢量場F的散度 F在體積V上 的體積分等于矢量場F在限定該體積的閉合面S上的面積分，是矢量的散度的體 積分與該矢量的閉合曲面積分之間的一個變換關(guān)系， 是矢量分析中的一個重要的 恒等式。4:矢量場的環(huán)流與旋度矢量場F沿場中的一條閉合路徑C

6、的曲線積分r=Fdl稱為矢量場F沿閉合 C路徑C的環(huán)流。其中dl是路徑上的線元矢量，其大小為 dl 、方向沿路徑C的 切線方向。矢量場F在點M處的旋度是一個矢量，記作rot F（或記作curl F）,它的方向 沿著使環(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向，大小等于該環(huán)流面密度最大值，即RotF二n|,"J I Rmax矢量場F在點M處沿方向en的環(huán)流面密度rotn F等于rot F在該方向上的投影，即eyezl、r-.d dcyczFy Fz高斯定理MF dS =F dlsC5、無旋場與無散場（1）:無旋場如果一個矢量場 是由散度源所產(chǎn)生向 即( U)三0 (2):無散場如果一個矢量場

7、是由旋渦源所產(chǎn)生向 06、拉普拉斯運算F的旋度處處為00即F三0則稱該矢量場為無旋場，它標量場的梯度有一個重要性質(zhì)，就是它的旋度包等于0,F的散度處處為0,即 F三0則稱該矢量場為無散場，它 矢量場的性質(zhì)，旋度的散度恒等于 0,即 . (XA)=標量場u的梯度口是一個矢量場，如果再對口求散度，即 (Vu),稱 為標量場u的拉普拉斯算符。7:亥姆霍茲定理在有限白區(qū)域V內(nèi)，任一矢量場由它的散度，旋度和邊界條件(即限定區(qū)域 V的閉合面S上的矢量場的分布)惟一地確定。二、電磁場的基本規(guī)律1、電荷守恒定律電荷是守恒的，它既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移 到另一個分，或者從一個物體轉(zhuǎn)移到

8、另一個物體。電荷密度電荷體密度，體積源口內(nèi)的電荷量為 q,則該體積內(nèi)任一源點處的電荷體密度為D(r )=lim3V .。性二泉,電荷體密度的單位為c/m30 電荷面密度ps(r )=1而爾固奈二靠，電荷面密度的單位為C/m3電荷線密度“m即f/二/其單位為c/m 電流密度J的大小等于在該點與J垂直的單位面積的電流,即六防川怖二%?面電流Jf啊嗚山一山n6體電流：空間任一點J的方向是該點上正電荷運動的方向,線電流即電荷在一個橫截面積可以忽略的細線中做定向流動所形成的電流定理可改寫為，.,J+jdV=O，因閉合面s是任意取的，因此他所限定的體積電荷守恒定律電荷是守恒的，它既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅

9、，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移 到另一個分，或者從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體。也就是說，在一個外界沒有電 荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正負電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變。根據(jù)電荷守恒定律，單位時間內(nèi)從閉合面S內(nèi)流出的電荷量應(yīng)等于閉合面 S 所限定白體積v內(nèi)的電荷減少量即 卜由二-，二-'(odV，此即電流連續(xù)性 方程的微分形式。設(shè)定閉合面S所限定體積V不隨時間變化，則將全倒數(shù)寫成偏應(yīng)用散度V也是任意的，故可得=0 此式稱為電流連續(xù)性方程的微分形式。 at在恒定電流場中有*J,dS=O,|=0，此式表明從任意閉合面穿出的包定電流為0,或恒定電流場是一個無散度的場。2、真空中靜電場的基本規(guī)律電荷按體

10、密度、面密度、線密度連續(xù)分布時，場點r處的電場強度分別為;E(r尸一一靜電場的散度與旋度高斯定理的微分形式：(r)=',坳表明空間任意一點電場強度的散度與該處的電荷密度有密度，靜電荷是靜電場的通量源。高斯定理的積分形式-=二L;V ,表明電場強度矢量穿過閉合曲面S的通量等于該閉合面所包圍的總電荷與 三口之比。靜電場的旋度 VxE=0,表明靜電場是無旋場，對任意 s求積分，并用斯托克定理工PxE,#=色E，dl得 E,dJ = O,表明在靜電場中，沿任意閉合路徑C的積分包等于零。其物理含義是將單位正電荷沿靜電場中的任一閉合路徑移動 一周，電場力不做功。3、真空中恒定磁場的基本規(guī)律磁感應(yīng)強

11、度 E(r)二坪鱉三?,稱為畢奧一薩伐定律，磁感應(yīng)強度的 B的單 4工嘎 |r-r |3位是T (特斯拉)，或陽/蘇(若電保)恒定磁場的散度與旋度V<B(r) = O,表明磁感應(yīng)強度b的散度恒為0,即磁場是一個無通量源的 矢量場。見r>d£ = h5B(r)dV =。,表明穿過任意閉合面的磁感應(yīng)強度的通量等于0,磁感應(yīng)線(磁力線)是無頭無尾的閉合線。VxB(r)= uj(r),表明恒定磁場是有旋場，恒定電流是產(chǎn)生恒定磁場的旋渦源。該式稱為安培環(huán)路定理的微分形式。B(r)卅二【，表明靜磁場的磁感應(yīng)強度在閉合曲線上的環(huán)量等于閉合曲線交鏈的恒定電流的代數(shù)和與的乘積。稱為安培環(huán)路

12、定理的積分形式。4、媒質(zhì)的電磁特性電介質(zhì)中的高斯定律電介質(zhì)中高斯定律的微分形式>D(r=0),表明電介質(zhì)內(nèi)任一點的電位移矢量的散度等于該點的自由電荷體密度，即d的通量源是自由電荷，電位移從正的自由電荷出發(fā)而終止于負的自由電荷。電介質(zhì)中高斯定律的積分形式兵D,加二q,表明電位移矢量穿過任一閉合面的通量等于該閉合面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和。電位移矢量D的單位是 W。電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系D(r)= ecE(r)+xE £ 0Efr)= (1+%)E=J(r)= e E(r式中的E二 W稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)，單位為F/m。安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理的微分形式 Vx H(r)=|,表明磁介質(zhì)內(nèi)某點的

13、磁場強度 h的 旋度等于該點的傳導電流密度。安培環(huán)路定理的積分形式 H(r)dl = £j(r)>dS = I,表明磁場強度沿磁介質(zhì) 內(nèi)任意閉合路徑的環(huán)量，等于與該閉合路徑交鏈的傳導電流。磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系B=(l+Xm)u0H=urii0H= uH ,式中 U 二稱為磁介質(zhì)的磁導率。媒質(zhì)的傳導特性對于線性和各向同性的導電媒質(zhì)，媒質(zhì)內(nèi)任意一點白電流密度矢量 J和電場 強度E成正比，表示為J= jE ,這就是歐姆定律的微分形式。的單位為S/m。 5、靜止回路位于時變磁場中時，法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式為一*dS靜止回路位于時變磁場中時，法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式為，：t6、麥克

14、斯韋方程組麥克斯韋方程積分形式麥克斯韋第一方程見H. dL=jds+(今由其含義是磁場強度沿任意閉合曲線的環(huán)量，等于穿過以該閉合曲線為周界的任意曲線之和。* AR麥克斯韋第二方程在E,dl=-1. d s,其含義是電場強度沿任意閉合曲線的環(huán)量，等于穿過以該閉合曲線為周界的任意一曲面的磁通量變化率的負值。麥克斯韋第三方程 £ B,dS=0,其含義是穿過任意閉合曲面的磁感應(yīng)強度的通量包等于0麥克斯韋第四方程£DdS=0W ,其含義是穿過任意閉合曲面的電位移的通量等于該閉合面所包圍的自由電荷的代數(shù)和 麥克斯韋方程微分形式何二 時變電場不僅由傳導電流產(chǎn)生，也有位移電流產(chǎn)生。位移電流

15、代t表電位移的變化率。Vx E二，時變電場產(chǎn)生時變磁場jt卜B = 0,磁通永遠是連續(xù)的，磁場是無散度的。，空間任意一點若存在正電荷體密度，則該點發(fā)出電位移線；若存在負電荷體密度，則電荷匯聚于該點三、靜電場分析靜電場的微分方程若o=0,則滿足拉普拉斯方程F虬r)二-迎 即靜電位滿足標量泊松方程。V3*(r) = O0 二二我,又由 en) (D1-D2)=js, D=gE = T%.可導出! 二-0S若分界面上不存在自由電荷，即0 s=0 ,6i2:iinJin#41則上式變?yōu)? A 4 «導體表面上，電位的邊界條件為dn四、時變電磁場1、無源區(qū)域中磁場強度矢量滿足的波動方程為2、時諧電磁場的復數(shù)表示u(rJt) = um(r)cosot+(r)3、表征電磁能量守恒關(guān)系的坡印廷定理郝XH）必戰(zhàn)中出dV+麻,州五、總結(jié)在電磁場理論中，要研究某些物理量（如電位電、場強度磁、場強度等）在 空間的分布與變化規(guī)律。為此引入了場的概念。如果每一時刻，一個物理量在空 問中的每一點都有一個確定的值，則稱在此空間中確定了該物理量的場?？臻g區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個 場。如果物理量是標量，稱該場為標量場。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。矢量場穿過閉合曲面的通量是一個積分量， 不能反映場域內(nèi)的每一點的通量 特性，矢量場的散度則可以研究矢量場一個點