1、1.2 1.2 隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率一一 事件的頻率與概率事件的頻率與概率定義定義1.11.1隨機(jī)事件隨機(jī)事件A A 發(fā)生的可能性大小的度量發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值）（數(shù)值） 稱(chēng)為事件稱(chēng)為事件A A發(fā)生的發(fā)生的概率概率. .( )P A記作記作統(tǒng)計(jì)定義、統(tǒng)計(jì)定義、 公理化定義、公理化定義、 古典定義、古典定義、幾何定義幾何定義. .定義概率：定義概率： 定義定義 例如，擲骰子例如，擲骰子為為“點(diǎn)數(shù)小于點(diǎn)數(shù)小于3”3”如果總共擲了如果總共擲了100100次次, ,則在則在100100次重復(fù)試驗(yàn)中次重復(fù)試驗(yàn)中, ,A A發(fā)生的頻率為發(fā)生的頻率為: :. 340 34100若事件若事件A

2、 A發(fā)生了發(fā)生了 次次, ,k在在 次重復(fù)試驗(yàn)中次重復(fù)試驗(yàn)中, ,n稱(chēng)為稱(chēng)為kn記為記為設(shè)設(shè)A1,2其中其中 “ “1 1點(diǎn)點(diǎn)”出了出了1515次次, ,“2“2點(diǎn)點(diǎn)”出了出了1919次，次，A A發(fā)生了發(fā)生了 34為在這為在這100100次重復(fù)試驗(yàn)中次重復(fù)試驗(yàn)中A A發(fā)生的頻數(shù)發(fā)生的頻數(shù). .34在在100100次重復(fù)試驗(yàn)中次重復(fù)試驗(yàn)中, ,則稱(chēng)則稱(chēng) 為為k事件事件A A發(fā)生的發(fā)生的頻率頻率, ,次次, ,A事件事件 發(fā)生的發(fā)生的頻數(shù)頻數(shù), ,在這在這n n次試驗(yàn)中，次試驗(yàn)中，在這在這n n次試驗(yàn)中，次試驗(yàn)中，( )nfAkn頻率頻率: :頻率的大小頻率的大小 這是因?yàn)轭l率具有波動(dòng)性這是因?yàn)?/p>

3、頻率具有波動(dòng)性, , 反映了事件反映了事件A A發(fā)生的頻繁程度發(fā)生的頻繁程度, ,( )nkfAn但是用頻率來(lái)定義但是用頻率來(lái)定義從而反映了事件從而反映了事件A A一個(gè)事件發(fā)生的一個(gè)事件發(fā)生的是行不通的是行不通的. .即使在相同條件下即使在相同條件下重復(fù)作多個(gè)重復(fù)作多個(gè)n n次試驗(yàn)次試驗(yàn), ,其頻率值可能大不相同其頻率值可能大不相同. .發(fā)生的可能性的大小發(fā)生的可能性的大小. .可能性的可能性的大小大小, ,試驗(yàn)者試驗(yàn)者試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率 5 . 0 頻率頻率蒲蒲 豐豐費(fèi)費(fèi) 勒勒迪摩根迪摩根皮爾孫皮爾孫皮爾孫皮爾孫維維 尼尼2048404010000120002400030000

4、106120484979601912012149940.51810.50690.49790.50160.50050.49980.01810.00690.00210.00160.00050.0002 上述試驗(yàn)記錄表明上述試驗(yàn)記錄表明, , 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n n充分大時(shí)，充分大時(shí)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n n較小時(shí)較小時(shí), ,事件事件A A出現(xiàn)的頻率出現(xiàn)的頻率但當(dāng)?shù)?dāng)n n充分大時(shí)充分大時(shí), , 頻率的波動(dòng)頻率的波動(dòng)“出正面出正面”的頻率的頻率總在總在0.5附近擺動(dòng)，附近擺動(dòng)， 且試驗(yàn)次數(shù)越多，且試驗(yàn)次數(shù)越多， 一般擺動(dòng)越小一般擺動(dòng)越小. .明顯減小明顯減小. .波動(dòng)較明顯波動(dòng)較明顯, , 在

5、充分多次試驗(yàn)中在充分多次試驗(yàn)中, , 我們稱(chēng)這個(gè)頻率的穩(wěn)定值我們稱(chēng)這個(gè)頻率的穩(wěn)定值是隨機(jī)現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象這個(gè)定義稱(chēng)為概率的統(tǒng)計(jì)定義這個(gè)定義稱(chēng)為概率的統(tǒng)計(jì)定義. .例如，拋一枚硬幣，例如，拋一枚硬幣，事件發(fā)生的頻率事件發(fā)生的頻率總在一個(gè)總在一個(gè)定值附近擺動(dòng)定值附近擺動(dòng), , 試驗(yàn)次數(shù)越多試驗(yàn)次數(shù)越多, ,擺動(dòng)的幅度一般越小擺動(dòng)的幅度一般越小, ,這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性. .統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的典型統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的典型是概率這一概念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)是概率這一概念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ). .頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性為隨機(jī)事件為隨機(jī)事件A A發(fā)生的發(fā)生的正面出現(xiàn)的概率為正面出現(xiàn)的概率為0.5表現(xiàn)表現(xiàn), ,概

6、率概率, , 記為記為P(A)P(A)三三、概率的公理化定義概率的公理化定義公理公理3 3 如果這種對(duì)應(yīng)關(guān)系如果這種對(duì)應(yīng)關(guān)系都有一個(gè)實(shí)數(shù)都有一個(gè)實(shí)數(shù)( )P A與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng): :定義定義1.2 1.2 對(duì)于每一個(gè)對(duì)于每一個(gè)( )AP A滿足下面三條公理滿足下面三條公理: :則稱(chēng)則稱(chēng) 為為()P A公理公理1 1 都有都有()1P 對(duì)任意可數(shù)個(gè)對(duì)任意可數(shù)個(gè)稱(chēng)為稱(chēng)為上的一個(gè)上的一個(gè)事件事件 的概率的概率. .A設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為,事件事件A,A,公理公理2 2 對(duì)任何事件對(duì)任何事件A,A,有有( )P 具有測(cè)度具有測(cè)度( )P 的樣本空間為的樣本空間為稱(chēng)為一個(gè)稱(chēng)為一個(gè)記作記作

7、(,)P 概率測(cè)度概率測(cè)度. .概率空間概率空間, ,12,.,.nA AAnnPA1 nnP A1()P A( )0兩兩不相容的事件兩兩不相容的事件, , 1.0 P P四四、 概率測(cè)度的其它性質(zhì)概率測(cè)度的其它性質(zhì)證證 . 所以所以()P ()0P (. )P ()().().PPP ().().PP 0由于由于互不相容互不相容的事件的事件1niiAP特別地特別地, ,P ABAB證證 niiA112.nAAAniiPA1nP AP AP A12()().()0)( P之和之和等于它們的概率之和等于它們的概率之和. .12,.,nA AA若事件若事件A A與與B B互不相容互不相容, ,.

8、12(.)nP AAA PP()(). nP AP AP A12()().()niiP A1() P AP B12.nAAAA1A2IA A3 3A A4 4A A5 5的概率的概率, ,則則2. 2. 任意任意有限個(gè)有限個(gè)2A3A1AnA證證 i ii iA AP() iiP AAA是完備事件組是完備事件組, ,故它們兩兩故它們兩兩12,.,.nA AAiiPA1iiP A3.3.如果如果nA AA12,.,.是一完備事件組是一完備事件組,則則A A,有有特別地特別地,P A P AP A對(duì)于對(duì)立事件對(duì)于對(duì)立事件 11 P A1且且不相容，不相容，由于由于,BAP BAP BA一般情況下一般

9、情況下, , P BAPP BP4. 4.如果如果BA則則A證證AB BA 從而從而( )P B P AP()P BA()AP B( )P B( )P ABAB-A()BA()BAA()BABBAABBP AB,BA0 P BA P BAP AP4.4.如果如果BA則則推論推論 ,AB則則( )P A( )P B BPA 對(duì)任何事件對(duì)任何事件A A ( )P A()P 1 如果如果 ( )P A0, 1AB BABP AAP AB5. 5. 有有P ABP證證A(B APP A P BBA APP AB)AB()BAB()BAB P B P AB（加法公式）（加法公式）對(duì)任意事件對(duì)任意事件A

10、A與與B B ， 5 5 對(duì)任意三個(gè)事件對(duì)任意三個(gè)事件,A B C有有()BCP A()()()BPPAP C()P AB ()P ABC5 5 對(duì)任意四個(gè)事件對(duì)任意四個(gè)事件,A B C D有有P AB5 5. 對(duì)任意事件對(duì)任意事件A A與與B B ， 有有P ABPP AB()P AC ()P BC()DABPC()()()()PPPACDBP()P AB()P AC ()P BC ()P AD ()P BD ()P CD()P ABC()P ABD()P ACD()P BCD()P ABCD一般地，一般地，1niiAP1()iniAP1()ij nijA AP ij kikjnAAAP 1()112( 1)(.)nnA AAP .例例 ()0.7B BP P A A求求AABBPBPP A(),(),()解解PBA()PBA()()P AB()P AB BAP1()APBA()