1、2009年01月05日1第第3章章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第第1節(jié)節(jié) 定積分的概念，存在條件與性質(zhì)定積分的概念，存在條件與性質(zhì)第第2節(jié)節(jié) 微積分基本公式與基本定理微積分基本公式與基本定理第第3節(jié)節(jié) 兩種基本積分法兩種基本積分法第第4節(jié)節(jié) 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用第第5節(jié)節(jié) 反常積分反常積分第第6節(jié)節(jié) 幾類簡(jiǎn)單的微分方程幾類簡(jiǎn)單的微分方程2009年01月05日25.1 5.1 無窮積分無窮積分5.2 5.2 瑕積分瑕積分定積分定積分積分限有限積分限有限被積函數(shù)有界被積函數(shù)有界推廣推廣廣義積分廣義積分第第5 5節(jié)節(jié) 反常（廣義）積分反常（廣義）積分2009年01月05日3第第

2、5節(jié)節(jié) 反常積分反常積分5.1 5.1 無窮積分無窮積分- -無窮區(qū)間上積分無窮區(qū)間上積分5.2 5.2 瑕積分瑕積分- -無界函數(shù)的積分無界函數(shù)的積分5.35.3 無窮區(qū)間上積分的審斂準(zhǔn)則無窮區(qū)間上積分的審斂準(zhǔn)則5.4 5.4 無界函數(shù)積分的審斂準(zhǔn)則無界函數(shù)積分的審斂準(zhǔn)則2009年01月05日4 adxxf)( babdxxf)(lim - -bdxxf)( - baadxxf)(lim5.1 5.1 無窮積分無窮積分( )f x dx- lim( )baabf x dx- 2009年01月05日52009年01月05日65.2 5.2 瑕積分瑕積分 badxxf)(0 0lim( )baf

3、 x dx badxxf)(0 0lim( )baf x dx - - badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(0 0lim( )caf x dx - - 0 0lim( )bcf x dx 2009年01月05日7特別地，特別地，2009年01月05日8非負(fù)被積函數(shù)的判別法非負(fù)被積函數(shù)的判別法( ) , ( )0( )( ) ,)( )xaaf xa bf xF xf t dtaf x dx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上可可積積，且且若若函函數(shù)數(shù)在在上上有有界界，則則廣廣分分理理義義積積引引收收斂斂5.3 5.3 無窮區(qū)間上積分的審斂準(zhǔn)則無窮區(qū)間上積分的審斂準(zhǔn)則2009年01月0

4、5日9()( )( ) , 0( )( ) (),( )( )( )( )aaaaf xg xa bf xg xaxg x dxf x dxf x dxg x dx 比較判別法設(shè)函數(shù)、在 比較判別法設(shè)函數(shù)、在任何區(qū)間上可積，任何區(qū)間上可積，如果那么如果那么若收斂，則也收斂若收斂，則也收斂定理1定理1；若發(fā)散，則也發(fā)散若發(fā)散，則也發(fā)散證明證明.)()()()()()(0 ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收收斂斂，得得及及，由由設(shè)設(shè)上有上界上有上界在在即即),)()( adxxfbFba由引理知由引理知收斂收斂 adxxf)(2009年01月05日10( ),( ).aaf

5、 x dxg x dx 如如果果發(fā)發(fā)散散 則則必必定定發(fā)發(fā)散散( )( )aag x dxf x dx 如如果果收收斂斂，由由第第一一部部分分知知也也收收，這這與與假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾0( )( ).f xg x例例341.1dxx 判判別別無無窮窮積積分分的的收收斂斂性性解解,111103/43434xxx , 134 p根據(jù)定理，根據(jù)定理，341.1dxx 無窮積分收斂無窮積分收斂2009年01月05日11例例2131(1);(2).xxedxedxx- - 判別無窮積分的收斂性:判別無窮積分的收斂性:2(1)xxeex-3limxxex 2009年01月05日12則則(1)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，二無窮積

6、分有相同的收斂性；二無窮積分有相同的收斂性；0l (2)(2)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，若若收斂，收斂，收斂；收斂；0l ( )ag x dx ( )af x dx 則則(3)(3)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，若若發(fā)散，則發(fā)散，則發(fā)散發(fā)散l ( )ag x dx ( )af x dx ()( )( ) , ( )( )0 .( ) 2 lim( )xf xg xa bxaf xg xf xlg x 比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式設(shè)函數(shù)、在任何區(qū)間上可積，設(shè)函數(shù)、在任何區(qū)間上可積，且當(dāng)時(shí)，如果且當(dāng)時(shí)，如果定理定理，2009年01月05日132111arctan1sin2xdxdxxx判別無窮積分的收斂性：判別無窮積分的

7、收斂性：（ ）；（ ）（ ）；（ ）例例2009年01月05日1421(0)lnkdx kxx 討論無窮積分的收斂性.討論無窮積分的收斂性.例例211,lnkdxxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散；解解111,(2)lnlnkkxxxxx當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)111,/0()lnkkkxxxx 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)21lnkdxxx 收收斂斂. .21lnkdxxx 發(fā)散；發(fā)散；2009年01月05日15絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂定義定義 設(shè)無窮區(qū)間上的積分設(shè)無窮區(qū)間上的積分( )d,af xx 收斂收斂( ),af x dx 若收斂若收斂則稱則稱則稱則稱( )daf xx 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂；( ),af x dx 若發(fā)

8、散若發(fā)散( )daf xx 條件收斂條件收斂. .也稱也稱( ) ,)f xa 在在絕絕無窮區(qū)間上無窮區(qū)間上對(duì)可積對(duì)可積；( )af x dx 絕對(duì)收斂的無窮積分必定收斂絕對(duì)收斂的無窮積分必定收斂2009年01月05日16( )( )aaf x dxf x dx 如如果果收收斂斂定定理理4 4也也收收斂斂證證0( ( )( )2( ) ,f xf xf x,)(收斂收斂dxxfa ( ( )( ).af xf xdx 也收斂也收斂( )( ( )( )( )aaf x dxf xf xf xdx - - 故故收斂收斂.例例22111sincos1,sin2xxdxdxxxxdxx 判判別別無無

9、窮窮積積分分的的收收斂斂性性：（ ）絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂；（ ）條條件件收收斂斂. .2009年01月05日17瑕積分可轉(zhuǎn)化為無窮積分瑕積分可轉(zhuǎn)化為無窮積分. .( ),af x設(shè) 為的瑕點(diǎn)設(shè) 為的瑕點(diǎn)由定義由定義 例如例如 badxxf)(0lim( )baf x dx 1xat令，則有令，則有 badxxf)(11201 1lim()b af adtt t - - -abtttaf12d)1(5.4 5.4 無界函數(shù)積分的審斂準(zhǔn)則無界函數(shù)積分的審斂準(zhǔn)則2009年01月05日18()( )( ), (0)0( )( ) (),( )( )( )( )bbaabbaaf xg xabbaf xg

10、xaxbg x dxf x dxf x dxg x dx- 比較判別法設(shè)函數(shù)、在 比較判別法設(shè)函數(shù)、在任何區(qū)間上可積，任何區(qū)間上可積，如果那么如果那么若收斂，則也收斂；若收斂，則也收斂；若發(fā)散，則若發(fā)散，則定理5定理5也發(fā)散也發(fā)散2009年01月05日19例例2101sin.xdxx 判判別別瑕瑕積積分分的的收收斂斂性性解解211sin1,dxxxxx 而收斂，而收斂，2101sinxdxx 收斂，收斂，根據(jù)比較判別法根據(jù)比較判別法,2009年01月05日20則則(1)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，兩瑕積分有相同的收斂性；兩瑕積分有相同的收斂性；0l (2)(2)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，若若收斂，收斂，收斂；收斂；0l ( )

11、bag x dx ( )baf x dx 則則(3)(3)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，若若發(fā)散，則發(fā)散，則發(fā)散發(fā)散l ( )bag x dx ( )baf x dx 0()( )( ), (0)( )( )( )0 . lim( )xaf xg xabbaaxbf xf xg xlg x -比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式設(shè)函數(shù)、在任何區(qū)間設(shè)函數(shù)、在任何區(qū)間上可積，且當(dāng)時(shí)，上可積，且當(dāng)時(shí)，如果，如果定理6定理6，在定理中若選擇則有在定理中若選擇則有Cauchy判判別法別法1( )()pg xxa - -2009年01月05日21例例31.lndxx 判別瑕積分的收斂性判別瑕積分的收斂性解解的的左左鄰鄰域

12、域內(nèi)內(nèi)無無界界被被積積函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)1 x由洛必達(dá)法則知由洛必達(dá)法則知xxxxx11limln1)1(lim0101 - -, 01 根據(jù)比較判別法根據(jù)比較判別法,所給瑕積分發(fā)散所給瑕積分發(fā)散.2009年01月05日22類似定理類似定理4, 有下列結(jié)論有下列結(jié)論:( ) d (),baf xx a 若瑕積分為瑕點(diǎn) 收斂若瑕積分為瑕點(diǎn) 收斂例例. 判別瑕積分判別瑕積分xxxdln10的斂散性的斂散性 .解解:( )d,baf xx 收斂收斂稱為絕對(duì)收斂稱為絕對(duì)收斂 . 0,x 此處為瑕點(diǎn)此處為瑕點(diǎn)140limln0 ,xxx 因因14,ln1 ,xxx 的有的有故對(duì)充分小故對(duì)充分小從而從而 1

13、434lnlnxxxxx 341x 據(jù)比較法據(jù)比較法2, 所給積分絕對(duì)收斂所給積分絕對(duì)收斂 .則瑕積分則瑕積分 5.5. - -函數(shù)與函數(shù)與B-B-函數(shù)函數(shù)1. 1. - - 函數(shù)函數(shù)10( )(0)xexdx - 定義定義特點(diǎn)特點(diǎn): 1.積分區(qū)間為無窮積分區(qū)間為無窮;2.100.x - - 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)被被積積函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的右右領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)無無界界1111201,xxIexdx Iexdx - - - - - 設(shè)設(shè)1(1)1,;I 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)是是定定積積分分01, 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)111111,xxexxex -1.I收收斂斂2009年01月05日241111201,xxIexdx Iexdx -

14、- - - - 設(shè)設(shè)1(1)1,;I 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)是是定定積積分分01, 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)111111,xxexxex -1.I收收斂斂121(2)lim()lim0,xxxxxxexe - - - 2.I也收斂也收斂10(1), (2)0.xexdx - 由由對(duì)均收斂對(duì)均收斂知知s)(s o2009年01月05日25 函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：(1)( ) (0). 遞遞推推公公式式0( ). 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，3( ) (1)(01).sin - - 余余元元公公式式2120210( )( )2.xtexdxxtetdu - - - - - - 在在中中，作作代代換換，有有 2009年01月05

15、日26證證: 0(1)dxx ex - - (分部積分分部積分)0dxxe - - - - 010dxxx exex - - - ( )注意到注意到:0(1)dxex- - 1N,n 有有(1)( )nnn (1) (1)n nn-! (1)n!n (1)( ) (0). 定定理理8 8 遞遞推推公公式式2009年01月05日27證證: (1)( ), (1)1 ( )0,且可證明在連續(xù)且可證明在連續(xù)0,( ) 時(shí)時(shí)0( ). 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，2009年01月05日282120210( )( )2.xtexdxxtetdu - - - - - - 在在中中，作作代代換換，有有12, 當(dāng)時(shí)有當(dāng)時(shí)有12

16、( ) 2009年01月05日292. B- 2. B- 函數(shù)函數(shù)1110( , )(1)(0,0)pqB p qxxdxpq- - - - - 定定義義特點(diǎn)特點(diǎn):1.1011.pxqx當(dāng)時(shí),點(diǎn)的為瑕點(diǎn)；當(dāng)時(shí),點(diǎn)的為瑕點(diǎn)；當(dāng)時(shí),點(diǎn)的為瑕點(diǎn)當(dāng)時(shí),點(diǎn)的為瑕點(diǎn)11101112(1),(1)cpqpqcIxxdxdxIxxdx- 設(shè)設(shè)(10)c由由比較判別法當(dāng)比較判別法當(dāng)p0, q0時(shí)，瑕積分收斂時(shí)，瑕積分收斂2009年01月05日30 B B函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：1( , )( , )B p qB q p ( ) ( )( , )(0,0).()pqB p qpqpq3 3 1110( , )(1)pqB p qxxdxx - - - - - 2 22 2 在在中中作作代代換換 = =c co os s得得212120( , )2cossinpqB p qdx - - - 2009年01月05日311110( , )(1)pqB p qxxdx- - - - - ( , )( , )B p