1、數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院杜秀麗 按時到課，上課期間請關(guān)閉手機：按時到課，上課期間請關(guān)閉手機： 按時完成作業(yè)，在每次上課之前交作業(yè)，不得在課堂上寫作業(yè)，按時完成作業(yè)，在每次上課之前交作業(yè)，不得在課堂上寫作業(yè)，杜絕抄襲杜絕抄襲 嚴(yán)禁任何時候任何形式的作弊行為，否則成績以零分記在考嚴(yán)禁任何時候任何形式的作弊行為，否則成績以零分記在考試時切記帶學(xué)生證試時切記帶學(xué)生證 期中考試形式：提交一份統(tǒng)計報告，具體內(nèi)容自定，數(shù)據(jù)自己期中考試形式：提交一份統(tǒng)計報告，具體內(nèi)容自定，數(shù)據(jù)自己收集收集 在掌握手工計算方法的基礎(chǔ)上，鼓勵使用軟件或編程方法計算在掌握手工計算方法的基礎(chǔ)上，鼓勵使

2、用軟件或編程方法計算統(tǒng)計習(xí)題建議至少會使用統(tǒng)計習(xí)題建議至少會使用Excel和和Matlab 成績計算：作業(yè)成績計算：作業(yè)10分分+報告報告20分分+期終考試期終考試70分分 星期二第星期二第5節(jié)節(jié)J3 四樓教師休息室恭候諸位答疑四樓教師休息室恭候諸位答疑 希望我們牛年合作愉快希望我們牛年合作愉快!基本要求：基本要求：一一.何謂數(shù)理統(tǒng)計學(xué)何謂數(shù)理統(tǒng)計學(xué) 在正確的前提下，我們可以利用由一般到特殊的在正確的前提下，我們可以利用由一般到特殊的推理嚴(yán)推理嚴(yán)格證明一個結(jié)論的正確性從確定的前提可以推出有關(guān)的確定的格證明一個結(jié)論的正確性從確定的前提可以推出有關(guān)的確定的事實，我們不會對這種問題有太多的敬畏，總有

3、聰明的人可以準(zhǔn)事實，我們不會對這種問題有太多的敬畏，總有聰明的人可以準(zhǔn)確地做出這種推理。確地做出這種推理。 歸納法是從若干事實概括出它們的共性的一種思想方法，其本質(zhì)特征是：雖然考察的只是若干個別現(xiàn)象，但所得的結(jié)論卻能超出考察的范圍歸納法不僅是一種邏輯推理方法，也是一種科學(xué)研究方法，更是一種科學(xué)發(fā)現(xiàn)方法歸納推理，就是要從所有可能的結(jié)論中挑選出一個自認為是最有可能正確的結(jié)論，當(dāng)然用歸納法得出的結(jié)論并非總是正確的認真思考歸納推理，我們要解決以下問題：認真思考歸納推理，我們要解決以下問題：1、針對一個問題，怎樣合理有效地觀測記錄有關(guān)事實、針對一個問題，怎樣合理有效地觀測記錄有關(guān)事實?2、基于已經(jīng)觀測到

4、的事實，有哪些結(jié)論可供選擇呢、基于已經(jīng)觀測到的事實，有哪些結(jié)論可供選擇呢?3、能否給出一個統(tǒng)一的方法，告訴我們該選擇哪一個結(jié)論呢、能否給出一個統(tǒng)一的方法，告訴我們該選擇哪一個結(jié)論呢?4、做出選擇的同時，我們必須同時承擔(dān)多大出錯的風(fēng)險呢、做出選擇的同時，我們必須同時承擔(dān)多大出錯的風(fēng)險呢? 雖然歸納推理的歷史和人類發(fā)展史一樣長，但是直到二十世紀(jì)，雖然歸納推理的歷史和人類發(fā)展史一樣長，但是直到二十世紀(jì)，才出現(xiàn)了處理這種問題的突破口。問題的難點在于，由特殊到一般才出現(xiàn)了處理這種問題的突破口。問題的難點在于，由特殊到一般的歸納推理建立起來的知識是不確定的，只有解決了度量不確定性的歸納推理建立起來的知識是

5、不確定的，只有解決了度量不確定性的問題，才能利用歸納法得到真正有用的知識：的問題，才能利用歸納法得到真正有用的知識：不確定的知識不確定的知識+不確定性的度量不確定性的度量=有用的知識有用的知識數(shù)理統(tǒng)計正是研究這樣一種新的邏輯思維方法的一種科學(xué)也數(shù)理統(tǒng)計正是研究這樣一種新的邏輯思維方法的一種科學(xué)也就是說，數(shù)理統(tǒng)計不僅給出結(jié)論，還給出結(jié)論的不確定性的準(zhǔn)就是說，數(shù)理統(tǒng)計不僅給出結(jié)論，還給出結(jié)論的不確定性的準(zhǔn)確度量確度量 今后，我們把觀測到的有關(guān)事實叫做數(shù)據(jù)用傳統(tǒng)的語言說，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)就是關(guān)于數(shù)量信息的收集、整理和分析的學(xué)科嚴(yán)格地說，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)就是應(yīng)用概率論的理論嚴(yán)格地說，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)就是應(yīng)用概率論的理論

6、, 從實際觀察資料出發(fā)從實際觀察資料出發(fā), 對隨機現(xiàn)象所蘊含的內(nèi)部規(guī)律進行分析及推斷的一門學(xué)科對隨機現(xiàn)象所蘊含的內(nèi)部規(guī)律進行分析及推斷的一門學(xué)科基本任務(wù)：基本任務(wù)：研究如何有效地收集、整理和分析受隨機因素影研究如何有效地收集、整理和分析受隨機因素影響的數(shù)據(jù)響的數(shù)據(jù), 并對所考察的問題做出推斷和預(yù)測并對所考察的問題做出推斷和預(yù)測,直至直至為采取決策和行為提供建議和依據(jù)為采取決策和行為提供建議和依據(jù)在今天高度復(fù)雜的世界里，數(shù)理統(tǒng)計變得越來越重要了。即使作為一個普通公民，在很多方面，從經(jīng)濟狀況到判斷一種牙膏的好壞，都會受到大量數(shù)字的困擾，如果不具有一定的統(tǒng)計學(xué)知識，很難做出明智的決定如果你在接受高的

7、教育，學(xué)習(xí)政治，經(jīng)濟，商業(yè)，保險，金融，廣告，或者是物理，化學(xué)，醫(yī)學(xué)，衛(wèi)生，等等，你會發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計學(xué)是多么重要 二二.數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本內(nèi)容數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本內(nèi)容1. 試驗的設(shè)計與研究試驗的設(shè)計與研究以獲得局部的有代表性的數(shù)據(jù)以獲得局部的有代表性的數(shù)據(jù)2. 統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷利用有限的信息利用有限的信息, 以一定的可靠程度對整體進以一定的可靠程度對整體進行推斷行推斷6.1 總體、樣本和統(tǒng)計量總體、樣本和統(tǒng)計量一一.總體和樣本總體和樣本ch6 抽樣分布抽樣分布考察下面這些問題中的研究對象：考察下面這些問題中的研究對象：(l)、某地區(qū)高中學(xué)生的身高發(fā)育情況；、某地區(qū)高中學(xué)生的身高發(fā)育情況；(2)、袁隆平新水

8、稻品種的畝產(chǎn)量；、袁隆平新水稻品種的畝產(chǎn)量；(3)、某班學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績；、某班學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績；(4)、中國人口狀況；、中國人口狀況；(5)、姚明的技術(shù)水平、姚明的技術(shù)水平(投籃，三分球，命中率，籃板等投籃，三分球，命中率，籃板等)；(6)、學(xué)習(xí)成績與性別的關(guān)系：、學(xué)習(xí)成績與性別的關(guān)系：(7)、紅樓夢前、紅樓夢前80回與后回與后40回的用字、用詞、用句差異；回的用字、用詞、用句差異；(8)、某個廠所生產(chǎn)的電子元件的壽命；、某個廠所生產(chǎn)的電子元件的壽命； 1. 總體總體總體總體(母體母體):具有某一特征的研究對象的全體所構(gòu)成的集合具有某一特征的研究對象的全體所構(gòu)成的集合個體個體:組成總體的

9、各個成員組成總體的各個成員總體可以是動物，植物，巖石，股票，商品，試驗數(shù)據(jù)，書本，人口等等?？傮w容量總體容量: 總體中包含的個體總數(shù)目總體中包含的個體總數(shù)目總體的數(shù)學(xué)描述： 我們可以注意到，總體的每個個體都會相聯(lián)系著一個或幾個數(shù)字或具體特征總體的每個個體都會相聯(lián)系著一個或幾個數(shù)字或具體特征。我們感興趣的也正是這些數(shù)字或特征。有時候我們把不同特征也用不同的數(shù)字表示。所以我們用一個字母來表示總體例如用例如用X表示袁隆平新水稻品種的畝產(chǎn)量如果表示袁隆平新水稻品種的畝產(chǎn)量如果X的取值是一個定值，那么我們只要種一塊試驗田，就可以得出全部信息，不需要歸的取值是一個定值，那么我們只要種一塊試驗田，就可以得出

10、全部信息，不需要歸納推理，也就不需要數(shù)理統(tǒng)計了納推理，也就不需要數(shù)理統(tǒng)計了事實上，只要總體不只有一個個體，X的取值就不只一個任意作一次實驗、觀測或測量，可以看到X可能取這樣的值，也可能取那樣的值所以我們應(yīng)該把所以我們應(yīng)該把X看作是一個隨機變量看作是一個隨機變量當(dāng)然，如果我們知道這個隨機變量的分布，也不需要用再去種實驗田、調(diào)查數(shù)據(jù)、研究袁隆平新水稻品種的畝產(chǎn)量了，因為其特性我們已經(jīng)完全了解了 所以，在數(shù)理統(tǒng)計中，我們把研究對象全體叫做總體，并且抽象地將總體看在數(shù)理統(tǒng)計中，我們把研究對象全體叫做總體，并且抽象地將總體看作是一個隨機變量或隨機向量，用大些英文字母作是一個隨機變量或隨機向量，用大些英文

11、字母X，Y，Z等表示等表示數(shù)理統(tǒng)計的一個基本前提是：總體分布未知 數(shù)理統(tǒng)計的基本任務(wù)就是搞清楚總體的概率分布但是，利用有限的信息得出的結(jié)論總是會出錯的，所以我們實際上是要搞清楚它的各種可能的分布，及其相應(yīng)的可能性大小 2. 樣本樣本要想搞清楚總體的分布，我們會遇到種種困難，例如： (1)、不可能把每個個體的特征都記錄研究；(2)、不可能收集到所有數(shù)據(jù)；(3)、即使可能收集到所有數(shù)據(jù)，但是要花費大量的財力物力；等等數(shù)理統(tǒng)計正是處理上面遇到的窘境的理想手段。所以，數(shù)理統(tǒng)計第一步，就是收集數(shù)據(jù)。從總體中抽取一部分個體出來，叫做一個樣本這個過程叫做抽樣樣本樣本:從總體中抽取部分個體所組成的集合。從總體

12、中抽取部分個體所組成的集合。樣本容量樣本容量:樣樣本中包含的個體總數(shù)目。本中包含的個體總數(shù)目。抽取樣本的目的是希望通過較少的數(shù)據(jù)來推斷總體的性質(zhì)。 但是，我們總是測量每個個體相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)和特征并作為一條記錄所以今后把測得的數(shù)據(jù)全體叫做樣本 。(1).代表性代表性:每個每個Xi與與X同分布同分布(2).獨立性獨立性: X1, X2 , Xn相互獨立相互獨立樣本要有代表性，它應(yīng)該是總體的一個“雛型”。我們不能用特定的部分個體做樣本，那叫報喜不報憂，或者叫弄虛作假。統(tǒng)計最忌諱弄虛作假。所以，容量為n的樣本會取到什么值，應(yīng)該是隨機的，即應(yīng)該是一個隨機變量或隨機向量因此我們用(X1,X2,Xn)表示表

13、示, n是是樣本容量。樣本容量。當(dāng)一次抽樣結(jié)束后，我們就得到了n個具體觀測值，相應(yīng)地記為(x1,x2,xn) ，叫做樣本觀測值 那么怎樣得到一個有代表性的樣本呢?一個基本的原則是，在抽取樣本時，總體中的每一個個體都有相同的機會被取到特別地，我們所使用的樣本(X1,X2,Xn)是滿足下面條件的樣本，叫做簡單隨機樣本： 今后我們用到的樣本如無特別說明，都是簡單隨機樣本 3. 聯(lián)合聯(lián)合概率分布若X1，X2，Xn是抽自總體X的一個簡單樣本(1)若總體若總體X的分布列為的分布列為pi=P(X=ai), i =1,2, ，則樣本的聯(lián)合分布列為，則樣本的聯(lián)合分布列為P(X1=x1,X2=x2, ,Xn=xn

14、) =P(X1=x1)P(X2=x2)P P( (Xn= xn)(2)若總體若總體X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為p(x)，則樣，則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為：本的聯(lián)合密度函數(shù)為： p(x1,x2, ,xn)=p(x1)p(x2)p( (xn)(3)若總體X的分布函數(shù)為F(x)，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為： F(x1,x2, ,xn)=F(x1)F(x2)F(xn)2122()212( ,)1(,)2niixnnXNp xxe 設(shè)設(shè)總總體體，則則樣樣本本的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度為為1111(, )(,)(1)0,1,1,nniiiiixnmxnxnmiiXB m pp xxCppxmin 設(shè)設(shè)總總體體，則

15、則樣樣本本的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率分分布布為為二二.統(tǒng)計量統(tǒng)計量 樣本來自總體，包含了總體分布的信息但是我們有時候只對總體某方面的信息感興趣，這時就需要對樣本進行加工處理，從樣本提取出我們感興趣的總體信息一個重要的方法就是構(gòu)造統(tǒng)計量直觀上看，統(tǒng)計量就是把本來是多元隨機變量的樣本進行壓縮后的一個一元隨機變量。 設(shè)X1，X2，Xn是抽自總體X的一個樣本，T(X1，X2，Xn )是X1，X2，Xn 的不含未知參數(shù)的n元實函數(shù)，則 稱T =T(X1，X2，Xn )為一個統(tǒng)計量統(tǒng)計量。 稱如此得到的實數(shù)t =T(x1，x2，xn )為統(tǒng)計量統(tǒng)計量T的觀察值的觀察值。 注：統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，因此是一個隨機變

16、量，統(tǒng)計量的分布稱為抽抽樣分布樣分布.比如比如T1=X1+X2+XnT2=(X1+5)/nT3=2X2+ ( 是未知參數(shù)）是未知參數(shù)）所以給定一個樣本，可以有無數(shù)的統(tǒng)計量我們要有目的地構(gòu)造統(tǒng)計量，而且要通過統(tǒng)計量性質(zhì)來對總體進行研究。下面先介紹幾個常用的統(tǒng)計量統(tǒng)計量用大寫字母表示，用相應(yīng)的小寫字母表示統(tǒng)計量的觀測值2.幾個常用統(tǒng)計量幾個常用統(tǒng)計量I.樣本均值樣本均值:II.樣本方差樣本方差:11niiXXn 22011niiSXXn III.樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差:200SS IV.樣本樣本k階原點矩階原點矩:11,1,2,nkkiiAXkn iiiEXx p 2()iiiD XxEXp V.

17、順序統(tǒng)計量順序統(tǒng)計量:設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)是來自總體是來自總體X的一個樣本的一個樣本,每當(dāng)每當(dāng)樣本得到一組觀察值樣本得到一組觀察值x1,x2,xn ,將其按從小將其按從小到大的次序排列為到大的次序排列為x(1),x(2),x(n) 第第k個值個值x(k)作為作為X(k)的觀察值的觀察值, 則則X(k) (k=1,2,n)均為統(tǒng)計量均為統(tǒng)計量, 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為順序統(tǒng)計量順序統(tǒng)計量X(1) 為為最小項統(tǒng)計量最小項統(tǒng)計量; X(n)為為最大項統(tǒng)計量最大項統(tǒng)計量樣本中位數(shù)：樣本中位數(shù)：( )( )(1)2122kdkkXnkMXXnk 樣本極差：樣本極差：( )(1)nnRXX .樣本協(xié)方差和相關(guān)系

18、數(shù)1111nniiiiXXYYnn記，222201021111nniiiiSXXSYYnn() ,()2201010202SSSS,1211()()niiiSXXYYn120102SrSS樣本協(xié)方差：樣本相關(guān)系數(shù)：EEEX YXXYYcov(,)()()總體協(xié)方差：二維總體（X，Y)，樣本（X1，Y1) ， （Xn，Yn), 設(shè)總體設(shè)總體X的期望的期望EX= ,方差方差DX= 2則則 1)1111nniiiiEXEXEXnn 221111nniiiinDXDXDXnn 獨獨立立性性3. 和和 的數(shù)字特征的數(shù)字特征X20S上式表明，樣本均值X有這樣的性質(zhì)：其觀測值以總體期望 為中心，波動方差2/n。也就是說，樣本容量越大，X的方差的方差就越小，就越向總體期望就越小，就越向總體期望集中。所以，我們用集中。所以，我們用 X的觀測值來估計總體期望的觀測值來估計總體期望 是合理的， X把樣本中關(guān)于 的信息提取出來了。那么，還會不會有比它更好的統(tǒng)計量能更有效地提取 的信息呢？或者說，X是否已經(jīng)充分地提取了樣本中關(guān)于 的信息呢？我們在后面會討論這個問題。22011()niiESEXXn 證證明明：