1、關(guān)于分部積分法 (2)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁(yè)，共9頁(yè)分析分析1. 引例引例一、探索公式一、探索公式試求下列不定積分試求下列不定積分(2) ln;xdxarctan xdx, sin(ln ) x dx2, ln xdx,sin ,tdt(1);xxde(4)(ln )xdx(3);xe dx;xeC(4)(ln ).xdx(ln )xx dxx xdx.xC問(wèn)題問(wèn)題從以上分析中，發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象或規(guī)律？從以上分析中，發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象或規(guī)律？一個(gè)積分難以求解，但是，將微分號(hào)一個(gè)積分難以求解，但是，將微分號(hào)“d ”前后前后(3)xe dx兩個(gè)函數(shù)的位置交換之后的另一個(gè)積分卻易于求解兩個(gè)函數(shù)的位置交換之后的

2、另一個(gè)積分卻易于求解.(1)(2)暫無(wú)法求解；暫無(wú)法求解；這種現(xiàn)象在積分問(wèn)題中還大量存在這種現(xiàn)象在積分問(wèn)題中還大量存在. 如，如，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁(yè)，共9頁(yè)2. 尋求積分尋求積分與積分與積分udvvdu之間的關(guān)系之間的關(guān)系()d uv ddvuuvudvvdu()d uvvduudv()d uvvduudvuv一、探索公式一、探索公式分析分析1. 引例引例試求下列不定積分試求下列不定積分(2) ln;xdx(1);xxde(4)(ln )xdx(3);xe dx;xeC(4)(ln ).xdx(ln )xx dxx xdx.xC問(wèn)題問(wèn)題從以上分析中，發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象或規(guī)律？從以上分析中，發(fā)現(xiàn)了什

3、么現(xiàn)象或規(guī)律？(3)xe dx(1)(2)暫無(wú)法求解；暫無(wú)法求解；現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁(yè)，共9頁(yè)二、解讀公式二、解讀公式1. 公式名稱的由來(lái)公式名稱的由來(lái)2. 公式成立的條件公式成立的條件分部積分分部積分vvduvuud 分部積分公式分部積分公式若函數(shù)若函數(shù)u 和和v 均均 可微可微 ，.vvvduuud3. 公式蘊(yùn)涵的思想公式蘊(yùn)涵的思想 integration by parts.則則其中蘊(yùn)涵了其中蘊(yùn)涵了“正難則反正難則反”“”“化難為易化難為易”的的 轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想 .4. 公式體現(xiàn)的公式體現(xiàn)的“美美”它是一個(gè)十分簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、優(yōu)美的不定積分模型它是一個(gè)十分簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、優(yōu)美的不定積分模型.現(xiàn)在學(xué)

4、習(xí)的是第四頁(yè)，共9頁(yè)三、使用公式三、使用公式例例1 1（引例（引例（2）求不定積分求不定積分ln.xdx解解ln xdx xln xln(ln )xxxx dx1lnxxxdxxlnxxdxln x ( )dx.xCvvduvuud 分部積分公式分部積分公式lnxx檢驗(yàn)檢驗(yàn)( ln)xxxC ln xln . x11xx 等于被積函數(shù)等于被積函數(shù)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁(yè)，共9頁(yè)例例2 2 求不定積分求不定積分2.tt e dt分析分析vvduvuud 分部積分公式分部積分公式2()ttd t e2()tt t edt2(2)ttttet e dt2( )2tt (2 )2,t 的導(dǎo)數(shù)有簡(jiǎn)化趨勢(shì)；的導(dǎo)

5、數(shù)有簡(jiǎn)化趨勢(shì)；2t( )( ),ttteee的導(dǎo)函數(shù)無(wú)簡(jiǎn)化趨勢(shì)的導(dǎo)函數(shù)無(wú)簡(jiǎn)化趨勢(shì). .te解解22()ttt e dtte dt2tt de2 tt ed2tte2tt e2 ttt ee dt2 t22( )tt etdte22( )tt ette .Cte dt2tte2te導(dǎo)函數(shù)趨于簡(jiǎn)化導(dǎo)函數(shù)趨于簡(jiǎn)化的函數(shù)留作的函數(shù)留作udvxu現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁(yè)，共9頁(yè)sin ()tt e dtsinsinttete dtsin ttetedtsincos ()ttett e dtsincosttettdesintet sintsinttdecostsintetdt costetcoste dtsin

6、cos tttetetedtvvduvuud 分部積分公式分部積分公式sin.tetdt例例3 3 求不定積分求不定積分sintetdt2sintetdt sincosttetetsintetdt 1(sincos )2tett1C.C解解同同類類函函數(shù)數(shù)同類函數(shù)同類函數(shù)11()2CC集合方程集合方程現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁(yè)，共9頁(yè)四、總結(jié)公式四、總結(jié)公式 3. 當(dāng)多個(gè)函數(shù)都可湊進(jìn)，但又不能同時(shí)湊進(jìn)微分號(hào)時(shí)，要選擇易當(dāng)多個(gè)函數(shù)都可湊進(jìn)，但又不能同時(shí)湊進(jìn)微分號(hào)時(shí)，要選擇易于積分的函數(shù)湊進(jìn)微分號(hào)，導(dǎo)數(shù)有簡(jiǎn)化趨勢(shì)的函數(shù)留在微分號(hào)前面，于積分的函數(shù)湊進(jìn)微分號(hào)，導(dǎo)數(shù)有簡(jiǎn)化趨勢(shì)的函數(shù)留在微分號(hào)前面，再用分部積分

7、公式再用分部積分公式. 1. 分部積分法，就是用分部積分公式求解不定積分問(wèn)題分部積分法，就是用分部積分公式求解不定積分問(wèn)題的方法的方法. 其核心是分部積分公式的使用其核心是分部積分公式的使用. 分部積分法，通常要分部積分法，通常要和湊微分法和換元法結(jié)合使用和湊微分法和換元法結(jié)合使用. 2. 當(dāng)被積函數(shù)是多個(gè)函數(shù)的乘積時(shí)，要盡量使更多的函當(dāng)被積函數(shù)是多個(gè)函數(shù)的乘積時(shí)，要盡量使更多的函數(shù)湊到微分號(hào)后面去，直到不再有函數(shù)可湊進(jìn)微分號(hào)為止，數(shù)湊到微分號(hào)后面去，直到不再有函數(shù)可湊進(jìn)微分號(hào)為止，再用分部積分公式再用分部積分公式. 4. 當(dāng)幾個(gè)函數(shù)積分和微分的難易程度相當(dāng)，且需多次使用分當(dāng)幾個(gè)函數(shù)積分和微分的難易程度相當(dāng)，且需多次使用分部積分