1、 2、現(xiàn)代控制理論時期（二十世紀、現(xiàn)代控制理論時期（二十世紀5070年代）年代）研究對象為多變量、非線性、時變、離散系統(tǒng)。研究對象為多變量、非線性、時變、離散系統(tǒng)。 以線性代數(shù)和微分方程為主要的數(shù)學工具，以以線性代數(shù)和微分方程為主要的數(shù)學工具，以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)，分析和設(shè)計控制系統(tǒng)。狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)，分析和設(shè)計控制系統(tǒng)。 3、大系統(tǒng)理論和智能控制理論時期（二十世、大系統(tǒng)理論和智能控制理論時期（二十世紀紀70年代至今）年代至今）1、線性系統(tǒng)理論、線性系統(tǒng)理論2、系統(tǒng)辨識、系統(tǒng)辨識3、最優(yōu)控制、最優(yōu)控制4、最優(yōu)估計、最優(yōu)估計5、自適應(yīng)控制、自適應(yīng)控制 建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程，系統(tǒng)的響應(yīng)特性，系建立系統(tǒng)

2、的狀態(tài)方程，系統(tǒng)的響應(yīng)特性，系統(tǒng)的穩(wěn)定性，能控性，能觀測性，狀態(tài)反饋，狀統(tǒng)的穩(wěn)定性，能控性，能觀測性，狀態(tài)反饋，狀態(tài)觀測器態(tài)觀測器包括結(jié)構(gòu)辨識和參數(shù)辨識包括結(jié)構(gòu)辨識和參數(shù)辨識 通過觀測一個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系來確定其數(shù)學通過觀測一個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系來確定其數(shù)學模型的方法。模型的方法。 在已知系統(tǒng)狀態(tài)方程、初始條件及某些約束條在已知系統(tǒng)狀態(tài)方程、初始條件及某些約束條件下，尋找一個最優(yōu)控制量，使系統(tǒng)的狀態(tài)或輸出件下，尋找一個最優(yōu)控制量，使系統(tǒng)的狀態(tài)或輸出在控制向量作用下，使某一指標達到最優(yōu)值。在控制向量作用下，使某一指標達到最優(yōu)值。在通訊工程中，接受到的信號為：在通訊工程中，接受到的信號為：Y（t

3、）=S（t）+ （t）有用信號有用信號干擾躁聲干擾躁聲由由Y（t）求）求S（t）的估計）的估計S（t） 自適應(yīng)控制一般分為兩類：模型參考自適應(yīng)自適應(yīng)控制一般分為兩類：模型參考自適應(yīng)控制，自校正自適應(yīng)控制。控制，自校正自適應(yīng)控制。 當控制對象的結(jié)構(gòu)或參數(shù)隨環(huán)境條件的變化而有大當控制對象的結(jié)構(gòu)或參數(shù)隨環(huán)境條件的變化而有大的變化時，為了保證控制系統(tǒng)在整個控制過程中都滿足的變化時，為了保證控制系統(tǒng)在整個控制過程中都滿足某一最優(yōu)準則，則最優(yōu)控制器的參數(shù)就要隨之加以調(diào)節(jié)，某一最優(yōu)準則，則最優(yōu)控制器的參數(shù)就要隨之加以調(diào)節(jié)，這類控制為自適應(yīng)控制。這類控制為自適應(yīng)控制。1、狀態(tài)空間法、狀態(tài)空間法2、動態(tài)分析、動

4、態(tài)分析3、能控性與能觀測性、能控性與能觀測性航天與航空、電機械、化工、冶金、交通、醫(yī)療航天與航空、電機械、化工、冶金、交通、醫(yī)療4、結(jié)構(gòu)分解與實現(xiàn)、結(jié)構(gòu)分解與實現(xiàn)5、穩(wěn)定性分析、穩(wěn)定性分析6、狀態(tài)反饋、狀態(tài)反饋7、最優(yōu)控制、最優(yōu)控制8、最小值原理、最小值原理1、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社 常春馨編常春馨編2、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)北京工業(yè)大學出版社北京工業(yè)大學出版社 謝克明編謝克明編3、現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社 劉豹編劉豹編4、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)電子工業(yè)出版社電子工業(yè)出版社 尤昌德編尤昌德編1.1 概述概述1

5、.2 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1.3 狀態(tài)空間表達式的建立狀態(tài)空間表達式的建立1.4 狀態(tài)方程的線性變換狀態(tài)方程的線性變換1.5 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣1.6 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1.7 時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀 態(tài)空間表達式態(tài)空間表達式1.1 概述概述古典控制理論是基于傳遞函數(shù)來分析與設(shè)計系統(tǒng)。古典控制理論是基于傳遞函數(shù)來分析與設(shè)計系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制理論是建立在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上?，F(xiàn)代控制理論是建立在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上。1.2 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1、系統(tǒng)的狀態(tài)：系統(tǒng)運動信息的集合，表示

6、系統(tǒng)、系統(tǒng)的狀態(tài)：系統(tǒng)運動信息的集合，表示系統(tǒng) 過去、現(xiàn)在、將來的運動狀況。過去、現(xiàn)在、將來的運動狀況。2、系統(tǒng)的狀態(tài)變量：唯一確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨、系統(tǒng)的狀態(tài)變量：唯一確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨立變量。能夠完全描述系統(tǒng)時域行為的最小變量立變量。能夠完全描述系統(tǒng)時域行為的最小變量組。狀態(tài)變量的選取不唯一。組。狀態(tài)變量的選取不唯一。3、狀態(tài)矢量：以、狀態(tài)矢量：以n個狀態(tài)變量為分量，構(gòu)成一個個狀態(tài)變量為分量，構(gòu)成一個n維矢量。維矢量。 X（t）=x1(t)x2(t) : : xn(t)4、狀態(tài)空間、狀態(tài)空間 ：以：以n個狀態(tài)變量為坐標軸所構(gòu)成的個狀態(tài)變量為坐標軸所構(gòu)成的空間，稱為空間，稱為n維狀態(tài)空間。

7、維狀態(tài)空間。 5、狀態(tài)方程、狀態(tài)方程 ：狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與輸入變量及：狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與輸入變量及狀態(tài)變量的關(guān)系式。狀態(tài)變量的關(guān)系式。dx1dt=f1(x1 x2 u1 u2)一階微分方程一階微分方程6、輸出方程、輸出方程 ：輸出變量與輸入變量及狀態(tài)變量的：輸出變量與輸入變量及狀態(tài)變量的關(guān)系式。關(guān)系式。 代數(shù)方程代數(shù)方程7、狀態(tài)空間表達式、狀態(tài)空間表達式 ：狀態(tài)方程和輸出方程。：狀態(tài)方程和輸出方程。例：某機械運動系統(tǒng)的物理模型，它是一個彈簧例：某機械運動系統(tǒng)的物理模型，它是一個彈簧質(zhì)質(zhì)量量阻尼系統(tǒng)，試建立輸入的外力阻尼系統(tǒng)，試建立輸入的外力u (t)，輸出為位移，輸出為位移 y (t)的狀

8、態(tài)空間表達式。的狀態(tài)空間表達式。fmkuy y1= f1(x1 x2 u1 u2)K：彈性系數(shù)：彈性系數(shù)f：阻尼系數(shù)：阻尼系數(shù)fmk解：系統(tǒng)的運動方程：解：系統(tǒng)的運動方程：d2ydt 2m=ufdydtkyd2ydt 2m+ fdydt+ky = u系統(tǒng)的狀態(tài)變量：系統(tǒng)的狀態(tài)變量：x1=yuy x2=y=x1x2=y系統(tǒng)的狀態(tài)方程：系統(tǒng)的狀態(tài)方程：x1 = x2系統(tǒng)的輸出方程：系統(tǒng)的輸出方程： y = x1x2=kmx1fmx21mu+fmkuy矩陣形式：矩陣形式：x1 = x2y = x1y =1 0 x1x2x1x2=u1m0 1kmfmx1x2+x1x20簡寫為：簡寫為：X=AX+buY

9、=CXx2=kmx1fmx21mu+多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)：多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)：x1x2 : :xn=Xu1u2 : :ur=Uy1y2 : :ym=YX=AX+BUY=CX+DUA=a11a12. a1n a21a22. a2n . . . . . an1an2. ann B=b11b12. b1r b21b22. b2r . . . . . bn1bn2. bnrX=AX+BUY=CX+DUC=c11c12. c1n c21c22. c2n . . . . . cm1cm2. cmn B=b11b12. b1r b21b22. b2r . . . . . bn1bn2. bnr A

10、=a11a12. a1n a21a22. a2n . . . . . an1an2. ann D=d11d12. d1rd21d22. d2r . . . . . dm1dm2. dmr X=F（X U t）Y=G（X U t）X=AX+BUY=CX+DU BDCAU(t)+ Y(t)DUAXCXX比例器比例器加法器加法器積分器積分器1、結(jié)構(gòu)圖、結(jié)構(gòu)圖BUX例：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為例：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為x1=x2x2=x3x3=8x114x27x3+uy =x1+2x2 試畫出它的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。試畫出它的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。解：這是一個三階系統(tǒng)，需解：這是一個三階系統(tǒng)，需3個積分器個積分器

11、例：線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為例：線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x1=x2x2=x3x3=8x114x27x3+uy =x1+2x2 試畫出它的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。試畫出它的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。解：這是一個三階系統(tǒng)，需解：這是一個三階系統(tǒng)，需3個積分器個積分器x1x3x3=x2x2=x18147+2+ uyx1x3x3=x2x2=x18147+2+ uy2、信號流圖、信號流圖X=AX+BUY=CX+DUUBAC DYXX將上例中的結(jié)構(gòu)圖用信號流圖表示將上例中的結(jié)構(gòu)圖用信號流圖表示x2=x1x3=x2x3x18147+2+ uy2、信號流圖、信號流圖將上例中的結(jié)構(gòu)圖用信號流圖表示將上例中的結(jié)構(gòu)圖用信號流圖表示u 2 y1x3x

12、2x1x1114871.3 狀態(tài)空間表達式的建立狀態(tài)空間表達式的建立方框圖方框圖結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖例：試建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式例：試建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式解：將慣性環(huán)節(jié)變?yōu)榉e分環(huán)節(jié)解：將慣性環(huán)節(jié)變?yōu)榉e分環(huán)節(jié) k1T1S+1 k2T2S+1k4 k1T1S+1uy+ k3 T3S k1 T1 1 S+1 T1 k1 T1解：將慣性環(huán)節(jié)變?yōu)榉e分環(huán)節(jié)解：將慣性環(huán)節(jié)變?yōu)榉e分環(huán)節(jié) k1T1S+1 1 S+1 T1 k1 T1 1 S 1 T1+ k1 T1 1 T1+x3x3 k2T2S+1k4 k1T1S+1uy+ k3 T3S 1 T1 +x3x3 k1 T1 k4 1 T2 +x2x2 k2 T2

13、k3 T3 x1x1=y+u 1 T1 +x3x3 k1 T1 k4 1 T2 +x2x2 k2 T2 k3 T3 x1x1=y+ux1= x2k3 T3x3= x3+ （u k4x1）k1 T11 T1x2= x2+ x31 T2k2 T2y =x1例：含有零點例：含有零點 kSSZS+Puy+ 1S+aZ +PS+PSZS+P=1Z +PS+P kSuy+ 1S+a+例：由例：由RLC組成的系統(tǒng)如圖，組成的系統(tǒng)如圖，u為輸入變量，為輸入變量，y為輸出變?yōu)檩敵鲎?量，試建立它的狀態(tài)空間表達式。量，試建立它的狀態(tài)空間表達式。CRLuRuLuCiu+y解：解：u= uR + uL + uC uL

14、 =Ldt di u= RCduCdt+LCd2uCdt2+uC設(shè)狀態(tài)變量為：設(shè)狀態(tài)變量為：x1=uC、x2= x1= uCy =1 0 x1x2 x1x2=u1LC0 1 1LCRLx1x2+x1x20i =Cdt duC例：試建立圖中所示的機械旋轉(zhuǎn)運動的狀態(tài)空間表例：試建立圖中所示的機械旋轉(zhuǎn)運動的狀態(tài)空間表 達式。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量為達式。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量為J。設(shè)狀態(tài)變量為：設(shè)狀態(tài)變量為：x1= 、x2= = BKTB：粘性阻尼系數(shù)。：粘性阻尼系數(shù)。 K： 扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)。扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)。T：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。 ：轉(zhuǎn)動的角度。：轉(zhuǎn)動的角度。解：設(shè)扭轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動角度解：設(shè)扭轉(zhuǎn)

15、軸的轉(zhuǎn)動角度 及其角速度及其角速度 為狀態(tài)變量。為狀態(tài)變量。u=T根據(jù)牛頓定律：根據(jù)牛頓定律：T BKJ21xx 2x1xy uxxxJJBJK1212 例：試建立圖中所示的機械旋轉(zhuǎn)運動的狀態(tài)空間表例：試建立圖中所示的機械旋轉(zhuǎn)運動的狀態(tài)空間表 達式。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量為達式。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量為J。y =1 0 x1x2 x1x2=u1 J0 1 kJBJx1x2+x1x20 BKTB：粘性阻尼系數(shù)。：粘性阻尼系數(shù)。 K： 扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)。扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)。T：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。 ：轉(zhuǎn)動的角度。：轉(zhuǎn)動的角度。解：設(shè)扭轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動角度解：設(shè)扭轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動角度 及其角速度及其角速度 為狀

16、態(tài)變量。為狀態(tài)變量。1、輸入函數(shù)不包含導(dǎo)數(shù)項時、輸入函數(shù)不包含導(dǎo)數(shù)項時設(shè)系統(tǒng)的微分方程：設(shè)系統(tǒng)的微分方程：y（n）+a1y（n1）+an1 y+any=bu變換為：變換為：X=AX+BUY=CX設(shè)設(shè)y、 yy（n1）為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。令：令：x1=yx2=yxn1=y（n2）xn=y（n1）系統(tǒng)狀態(tài)方程：系統(tǒng)狀態(tài)方程：x1=x2x2=x3xn1= xnxn= y（n）=a1xn a2xn1 anx1+bu1、輸入函數(shù)不包含導(dǎo)數(shù)項時、輸入函數(shù)不包含導(dǎo)數(shù)項時系統(tǒng)狀態(tài)方程：系統(tǒng)狀態(tài)方程：x1=x2x2=x3xn1= xnxn= y（n）=a1xn a2xn1 anx1+buy =x

17、1 =0 1 0 0 x1x2xnu0 x1x2+x1x20 xn0b0 0 1 0an an1 an2 a1 y =x1y =10 0 x1x2x1x2xna3a2a1x1x2x3=u0 1 0+x1x2x30060 0 16 11 5y = 1 0 0 x1x2x3例：將例：將y+5y+11y+6y=6u變換為狀態(tài)空間表達式變換為狀態(tài)空間表達式 2、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時設(shè)系統(tǒng)的微分方程：設(shè)系統(tǒng)的微分方程：y（n）+a1y（n1）+an1 y+any=b0u（n）+b1u（n1） +bn1u +bnu設(shè)：設(shè)：y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b

18、3u 狀態(tài)空間表達式狀態(tài)空間表達式x1x2x3=u0 1 0+x1x2x3c1c2c30 0 1a3 a2a1選擇待定系數(shù)選擇待定系數(shù)c1 、c2 、c3使狀態(tài)方程中不含導(dǎo)數(shù)項使狀態(tài)方程中不含導(dǎo)數(shù)項2、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時x1x2x3=u0 1 0+x1x2x3c1c2c30 0 1a3a2a1x1= x2+ c1 ux2= x3+ c2 ux3=a3 x1 a2 x2 a1 x3 + c3 u將上式展開：將上式展開：求求c1 、c2 、c32、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時令：令：y= x1+c0u （1）x1= x2+ c1 ux2= x3+ c2 ux3

19、=a3 x1 a2 x2 a1 x3 + c3 uy= x1+c0u = x2+c1u + c0u （2）y= x2+c1u + c0u= x3+c2u + c1u+c0u （3）y= x3+c2u+c1u + c0u = a3 x1 a2 x2 a1 x3+ c3 u +c2u + c1u+c0u （4）a1 （3）+ a2 （2）+ a3 （1）+（4）即：即：y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b3u 左式左式=c0u +(c1+a1c0)u+(c2+a1c1+ a2c0 )u+(c3+a1c2+ a2c1+a3c0)u 2、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)

20、項時y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b3u 左式左式=c0u +(c1+a1c0)u+(c2+a1c1+ a2c0 )u+(c3+a1c2+ a2c1+a3c0)u 比較系數(shù)得：比較系數(shù)得：c0= b0c1=b1a1c0c2=b2a1c1 a2c0c3=b3a1c2 a2c1 a3c0對于對于n階系統(tǒng)：階系統(tǒng)：cn=bna1cn1a2c n2 aic ni anc02、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時、輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時求系統(tǒng)的狀態(tài)變量求系統(tǒng)的狀態(tài)變量y= x1+c0u （1）y= x1+c0u = x2+c1u + c0u （2）y= x2+c1u + c0u= x3+c2

21、u + c1u+c0u （3）x1 = y c0u （1）x2 = y c1u c0u （2）x3 = y c2u c1u c0u（3）因為：因為：所以：所以：狀態(tài)變量是由狀態(tài)變量是由y、u及它的各價導(dǎo)數(shù)組成。及它的各價導(dǎo)數(shù)組成。解：解：c0=0a3a2a1例：將例：將y+4y+2y+y=u+u+3u變換為狀態(tài)空間表達式變換為狀態(tài)空間表達式 b1b2b3b0=0c1=b1a1c0=140=1c2=b2a1c1 a2c0=1 41= 3c3=b3a1c2 a2c1 a3c0=3 4（ 3）21=13x1x2x3=u0 1 0+x1x2x313130 0 11 2 4y= x1作業(yè)：作業(yè)：1-1試

22、求系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立狀態(tài)空間表達式。試求系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立狀態(tài)空間表達式。 k1T1S+1 k2 Suy+ 1 T2S+1+ 1 S1-2 將將y+2y+4y+6y=2u變換為狀態(tài)空間表達式。變換為狀態(tài)空間表達式。 1-3 將將uuyyy 323)4(變換為狀態(tài)空間表達式。變換為狀態(tài)空間表達式。1-3 試建立圖中所示的機械旋轉(zhuǎn)運動的狀態(tài)空間表試建立圖中所示的機械旋轉(zhuǎn)運動的狀態(tài)空間表 達式。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量為達式。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量為J。 BKTB：粘性阻尼系數(shù)。：粘性阻尼系數(shù)。 K： 扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)。扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)。T：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。 ：轉(zhuǎn)動的角度。：轉(zhuǎn)動的角

23、度。已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)U(S)Y(S)=G (S)=b0Sn + b1Sn1+ bn1 S+bn a0Sn + a1Sn1+ an1 S+an G (S)=b1Sn1+ b2Sn2+ + bn1 S+bnSn + a1Sn1+ an1 S+an+d=G(S)+d化為真分式：化為真分式： 輸出與輸入之間的直接傳遞關(guān)系輸出與輸入之間的直接傳遞關(guān)系首先討論首先討論G(S)b1Sn1+ b2Sn2+ + bn1 S+bnSn + a1Sn1+ an1 S+anG(S) =1、G(S)特征方程的特征方程的n個極點互異個極點互異用部分分式法用部分分式法G(S) =k1SS1+ +k2SS

24、2+knSSnS1、 S2、 Sn：特征方程的極點：特征方程的極點k1、 k2、 kn：待定系數(shù)：待定系數(shù)ki=Lim (SSi) G(S)SSiLim (SSi) SSik1SS1+ +k2SS2+knSSn因為因為 ki=設(shè)第設(shè)第i個狀態(tài)變量的拉氏變換為個狀態(tài)變量的拉氏變換為xi(S)= 1SSiU(S)(SSi) xi(S)= U(S) Sxi (S)=Sixi(S)+U(S) 由拉氏反由拉氏反 變換得狀態(tài)方程：變換得狀態(tài)方程：xi(t)= Sixi(t)+ux1(t)= S1x1(t)+ux2(t)= S2x2(t)+uxi(t)= Sixi(t)+uxn(t)= Snxn(t)+u求

25、輸出方程：求輸出方程：G(S) =k1SS1+ +k2SS2+knSSn=k1x1(S)+ k2x2(S)+ + knxn(S)y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+du計入計入d的影響的影響Y(S) =k1SS1+ +U(S) +k2SS2U(S) knSSnU(S) )()(SXSY矩陣形式：矩陣形式：y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+dux1(t)= S1x1(t)+ux2(t)= S2x2(t)+uxi(t)= Sixi(t)+u=S1 0 0 0 x1x2xnu

26、1x1x2+x1x21xn110 S2 0 00 0 0 Sny =k1k2 knx1x2x1x2xn對角線標準形對角線標準形+du信號流圖：信號流圖： x1x1k1S1 xnxnknSny(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+duxi(t)= Sixi(t)+u x2x2k2S2u111111yd例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：G(S) = 2S+1S3+7S2+14S+8試用部分分式法寫出狀態(tài)空間表達式。試用部分分式法寫出狀態(tài)空間表達式。解：由解：由 S3+7S2+14S+8=0求得：求得：S1= 1、 S2= 2、 S3= 4則則 G(S) =k

27、1S+1+k2S+2+k3S+4k1 = Lim (S+1) G(S)= Lim (S+1) S 1S 1 2S+1(S+1)(S+2)(S+4)=1 3k2= Lim (S+2) G(S)= Lim (S+2) S 2S 2 2S+1(S+1)(S+2)(S+4)=3 2k3= Lim (S+4) G(S)= Lim (S+4) S 4S 4 2S+1(S+1)(S+2)(S+4)=7 6x1x2x3=u1 0 0+x1x2x31110 2 00 04y=x1x2x31 3 3 27 6 x1x11 x3x34 x2x22u111111y1 3 3 26 72、G(S)特征方程有相重極點特征

28、方程有相重極點設(shè)系統(tǒng)有設(shè)系統(tǒng)有5個特征根：個特征根：S1、 S1、 S1、 S4、 S5。G(S) =k11(SS1)3+k12(SS1)2+k5SS5k13(SS1)+k4SS4+Kij= Lim 1(j1)!SS1dj1 G(S) (SS1)m dSj1 重極點系數(shù)：重極點系數(shù)：單極點系數(shù)：單極點系數(shù)：ki=Lim (SSi) G(S)SSim：重極點的個數(shù)：重極點的個數(shù)2、G(S)特征方程有相重極點特征方程有相重極點x1(S)= 1(SS1)3U(S)設(shè)狀態(tài)變量的拉氏變換為設(shè)狀態(tài)變量的拉氏變換為x2(S)= 1(SS1)2U(S)x3(S)= 1(SS1)U(S)x4(S)= 1(SS4

29、)U(S)x5(S)= 1(SS5)U(S)則：則： x1(S)= 1(SS1)x2(S)x2(S)= 1(SS1)x3(S)x3(S)= 1(SS1)U(S)2、G(S)特征方程有相重極點特征方程有相重極點x4(S)= 1(SS4)U(S)x5(S)= 1(SS5)U(S)x1(S)= 1(SS1)x2(S)x2(S)= 1(SS1)x3(S)x3(S)= 1(SS1)U(S)整理后得：整理后得：Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S) Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S) Sx3(S)=S1x3(S)+U(S) Sx4(S)=S4x4(S)+U(S) Sx5(S)=S5x5(S)+U(

30、S) 2、G(S)特征方程有相重極點特征方程有相重極點取拉氏反取拉氏反 變換，得系統(tǒng)狀態(tài)方程：變換，得系統(tǒng)狀態(tài)方程：Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S) Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S) Sx3(S)=S1x3(S)+U(S) Sx4(S)=S4x4(S)+U(S) Sx5(S)=S5x5(S)+U(S) x1(t)= S1x1(t)+ x2(t)x4(t)= S4x4(t)+ux2(t)= S1x2(t)+ x3(t)x3(t)= S1x3(t)+ ux5(t)= S5x5(t)+u2、G(S)特征方程有相重極點特征方程有相重極點x1(t)= S1x1(t)+ x2(t)x4(t

31、)= S4x4(t)+ux2(t)= S1x2(t)+ x3(t)x3(t)= S1x3(t)+ ux5(t)= S5x5(t)+u=S1 1 0 0 0 x1x2x3x4x5u+001110 S1 1 0 00 0 0 0 S50 0 S1 0 00 0 0 S4 0 x1x2x3x4x5系統(tǒng)狀態(tài)方程：系統(tǒng)狀態(tài)方程：約當標準形約當標準形2、G(S)特征方程有相重極點特征方程有相重極點Y(S) =+k11(SS1)3U(S) +k5SS5U(S) k13(SS1)U(S) +k12(SS1)2U(S) +k4SS4U(S) =k11x1(S)+ k12x2(S)+ k13x3(S) + k4x

32、4(S)+ k5x5(S)x2(S)= 1(SS1)2U(S)x3(S)= 1(SS1)U(S)x4(S)= 1(SS4)U(S)x5(S)= 1(SS5)U(S)x1(S)= 1(SS1)3U(S)求輸出方程：求輸出方程：2、G(S)特征方程有相重極點特征方程有相重極點Y(S)=k11x1(S)+ k12x2(S)+ k13x3(S) + k4x4(S)+ k5x5(S)y(t) =k11x1(t)+ k12x2(t)+ k13x3(t) + k4x4(t)+ k5x5(t)系統(tǒng)輸出方程：系統(tǒng)輸出方程：y =k11 k12 k13 k4 k5x1x2x3x4x5y(t) =k11x1(t)+

33、 k12x2(t)+ k13x2(t) + k4x4(t)+ k5x5(t)x1(t)= S1x1(t)+ x2(t)x4(t)= S4x4(t)+ux2(t)= S1x2(t)+ x3(t)x3(t)= S1x3(t)+ ux5(t)= S5x5(t)+u信號流圖：信號流圖： x5x5S5 x4x4S4uk4111 x3x3S11k5y x2x2S11 x1x1S1k11k12k13例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：G(S) = 4S2+17S+16S3+7S2+16S+12試用部分分式法寫出狀態(tài)空間表達式。試用部分分式法寫出狀態(tài)空間表達式。解：由解：由 S3+7S2+16S+

34、12=0求得：求得：S1= 2、 S2= 2、 S3= 3則則 G(S) =k11(S+2)2+k12S+2+k3S+3(S+2)2(S+3)=0Kij= Lim 1(j1)!SS1dj1 G(S) (SS1)m dSj1 G(S) =k11(S+2)2+k12S+2+k3S+3S2K11= Lim 1(11)!G(S) (S+2)2 Kij= Lim 1(j1)!SS1dj1 G(S) (SS1)m dSj1 K12= Lim 1(21)!S 2d21 G(S) (S+2)2 dS21 1(21)!S 2d 4S2+17S+16dS (S+3) K12= Lim =3= LimS2(S+2)

35、2(S+3)4S2+17S+16(S+2)2=2k3=Lim (S+3) G(S)S3=Lim 4S2+17S+16 (S+2)2 S3=1x1x2x3=u2 1 0+x1x2x30110 2 00 03(S+2)2(S+3)4S2+17S+16G(S)=y=x1x2x32 3 1信號流圖或結(jié)構(gòu)圖？信號流圖或結(jié)構(gòu)圖？作業(yè)作業(yè)1-4 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： S2+S+1S3+6S2+11S+6試用部分分式法寫出狀態(tài)空間表達式，畫出系統(tǒng)的試用部分分式法寫出狀態(tài)空間表達式，畫出系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖或信號流圖。模擬結(jié)構(gòu)圖或信號流圖。1.4 狀態(tài)方程的線性變換狀態(tài)方程的線性變換 特征矢量線

36、性變換法，把狀態(tài)方程化為對角線標準形特征矢量線性變換法，把狀態(tài)方程化為對角線標準形或約當標準形?；蚣s當標準形。設(shè)：設(shè)：X=x1 x2 x3 xnTX=x1 x2 x3 xnTX=x1 x2 x3 xnT它們之間的線性變換：它們之間的線性變換：X=P1XX=PXP：nn非奇異變換陣非奇異變換陣已知線性系統(tǒng)為：已知線性系統(tǒng)為：X=AX+BUY=CX+DUX=PX令：令：X=PX代入狀態(tài)方程代入狀態(tài)方程Y=CPX+DUPX=APX+BUX=P1APX+ P1BUY=CPX+DUX=P1APX+ P1BUY=CPX+DUPX=APX+BUY=CPX+DUY=CX+DUX=AX+BU 式中式中A= P1

37、AP B= P1B C=CP D=D1、特征值及特征矢量、特征值及特征矢量AP= PA的特征值的特征值 P AP=0( I A)P =0有非零解的必要條件：有非零解的必要條件：| I A | =0A的特征方程的特征方程| I A | = n +a1 n1+a n1 + a n求得求得A的特征值：的特征值： 1、 2、 n Api= ipi對應(yīng)于對應(yīng)于 i的一個特征矢量的一個特征矢量由全部由全部 所對應(yīng)的特征矢量：所對應(yīng)的特征矢量：P=p1 p2 pi pn =p11p12. p1n p21p22. P2n . . . . . Pn1Pn2. pnn 線性變換陣線性變換陣2、特征值不變性、特征值

38、不變性特征多項式特征多項式經(jīng)線性變換后，其特征值不變。經(jīng)線性變換后，其特征值不變。| I A |2、特征值不變性、特征值不變性X=AX+BU對于對于X=AX+BU對于對于| I A |A= P1AP B= P1B| I A |=| I A |證明：證明：| I A |=| I P1AP| =| P1P P1AP| |P1( I A) P|= |P1| I A| P | =|P1| P| I A|所以：所以： = 設(shè)設(shè)X=AX+BU，若，若A的特征值的特征值 1、 2、 n互異，互異，則必存在非奇異變換陣則必存在非奇異變換陣P，使其進行，使其進行X=PX的變換后，其的變換后，其狀態(tài)方程狀態(tài)方程X

39、=AX+BU將為對角線標準形，即將為對角線標準形，即 1 0 0 00 2 0 00 0 0 nA=且且P=p1 p2 pi pn =p11p12. p1n p21p22. P2n . . . . . Pn1Pn2. pnn A= P1APB= P1BC=CPD=DX=P1X設(shè)：設(shè)：A的特征值：的特征值： 1、 2、 n 特征矢量：特征矢量：p1 p2 pi pn證明證明A= P1AP 1 0 0 00 2 0 00 0 0 nA=證明：證明：X=P1APX+ P1BUX=AX+BU若若Pi是對應(yīng)于是對應(yīng)于 i的一個特征矢量的一個特征矢量則必滿足則必滿足( iI A)pi =0Ap2= 2p2

40、Api= ipiAp1= 1p1證明：證明：Ap2= 2p2Api= ipiAp1= 1p1Api= ipiApn= npn寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：Ap1 Ap2 Api Apn= 1p1 2p2 ipi npn Ap1 p2 pi pn= 1p1 2p2 ipi npn AP= p1 p2 pi pn 1 0 0 00 2 0 00 0 0 n 1 0 0 00 2 0 00 0 0 n=P證明：證明： AP= p1 p2 pi pn 1 0 0 00 2 0 00 0 0 nA= P1AP 1 0 0 00 2 0 00 0 0 n=證畢證畢例：試將狀態(tài)方程例：試將狀態(tài)方程變換為對角線

41、標準形。變換為對角線標準形。x1x2x3=u0 1 1+x1x2x3001 6 11 6 6 11 5 解：解：(1)求系統(tǒng)特征值求系統(tǒng)特征值| I A | =0 1 1 6 11 6 6 11 5 0 0 0 0 0 0 = 1 1 6 +11 6 6 11 5 | I A | = 1 1 6 +11 6 6 11 5 = 3+6 2+11 +6=0( +1)( +2) ( +3)=0(2)求特征矢量求特征矢量對應(yīng)于對應(yīng)于 1= 1 的特征矢量為的特征矢量為p1，Ap1= 1p10 1 1 6 11 6 6 11 5p11p21p31= p11 p21 p31p21p31= p11 6p11

42、 11 p21+6p31= p21 6p11 11 p21+5p31= p31p21p31= p11 6p11 10 p21+6p31= 0 6p11 11 p21+6p31= 0可以看出：可以看出： p21=0 p11=p31令令 p11=1 p31 =1求得：求得： 1= 1、 2= 2、 3= 3同理，將同理，將 2= 2、 3= 3分別代入分別代入Ap2= 2p2Ap3= 3p3求得：求得： 1 0 1=p11p21p31p1= 1 2 4=p12p22p32p2= 1 6 9=p13p23p33p3=變換陣變換陣P=p1 p2 p3=3 5/2 1 3 4 31 3/2 1P1=1

43、1 10 2 61 4 9A= P1AP則則= 1 0 0 0 2 0 0 0 3B= P1B = 2 3 1A= P1AP則則= 1 0 0 0 2 0 0 0 3B= P1B = 2 3 1=+x1x2x3x1x2x3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 2 3 1u當當A有相重特征值時；有相重特征值時；1、A的線性獨立特征矢量數(shù)的線性獨立特征矢量數(shù)等于等于它的階數(shù)它的階數(shù)n，這時，這時A仍可以化為仍可以化為對角線標準形對角線標準形；2、A的線性獨立特征矢量數(shù)的線性獨立特征矢量數(shù)小于小于它的階數(shù)它的階數(shù)n，這時，這時A不能化為對角線標準形，只能化為不能化為對角線標準形，只能化為約當標準形約

44、當標準形；例：例：A=對應(yīng)特征值：對應(yīng)特征值： 1= 1、 2= 1、 3= 2對應(yīng)于對應(yīng)于 1= 1 的特征矢量為的特征矢量為p1，0 0 10 0 00 0 1 1I A p1 =p11p21p31= 01 0 10 1 00 0 2顯然顯然 1I A 的秩是的秩是1， p1有兩個獨立的解，對應(yīng)兩個有兩個獨立的解，對應(yīng)兩個獨立的特征矢量，即獨立的特征矢量，即A= P1AP =1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0p1= 1 0 1p3=對應(yīng)于對應(yīng)于 3= 3 的特征矢量為的特征矢量為p3，則則 P=1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0p2=0 0 10 0 00 0 1

45、1I A p1 =p11p21p31= 0若：若：A=對應(yīng)特征值：對應(yīng)特征值： 1= 1、 2= 1、 3= 21 1 20 1 30 0 1但但rank 1I A =2，獨立的特征矢量只有一個。，獨立的特征矢量只有一個。約當標準形：約當標準形：Y=CX+DUX=JX+BU 式中式中J= Q1AQ B= Q1B C=CQ D=D設(shè)設(shè)A是是55的方陣，其特征值為的方陣，其特征值為 1、 1、 1、 4和和 5，存在一個變換陣存在一個變換陣Q，使得，使得J= Q1AQA1 0 0 0 A2 0 0 0 A3=A的約當標準形的約當標準形J由三個約當塊組成。若由三個約當塊組成。若 1 只有一個只有一個

46、獨立的特征矢量，則獨立的特征矢量，則 1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0J= Q1AQ=J= Q1AQ= 1 1 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0若若 1 有兩個獨立的特征矢量，則有兩個獨立的特征矢量，則若若 1 有三個獨立的特征矢量，則有三個獨立的特征矢量，則J= Q1AQ= 1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0設(shè)設(shè) 1 有一個獨立的特征矢量，求有一個獨立的特征矢量，求Q。J= Q1AQQ J=AQ令令Q=q11q12. q15q21

47、q22. q25. . . . . q51q52. q55=Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 =A Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 =A Q1 Q2 Q3 Q4 Q5將上式展開得：將上式展開得： 1 Q1=A Q1Q1 + 1 Q2=A Q2Q2 + 1 Q3=A Q3 5Q5=A Q5 4 Q4=A Q4（ 1 IA）Q1= 0（ 1 IA）Q2= Q1（ 1

48、IA）Q3= Q2（ 4 IA）Q4= 0（ 5 IA）Q5= 0Q1、Q4、Q5為獨立特征矢量，為獨立特征矢量，Q2、Q3為非獨立特征矢量為非獨立特征矢量（ 1 IA）Q1= 0（ 1 IA）Q2= Q1（ 1 IA）Q3= Q2（ 4 IA）Q4= 0（ 5 IA）Q5= 0例：例：A=0 6 51 0 23 2 4化化A為標準形。為標準形。 解：解：(1)求系統(tǒng)特征值求系統(tǒng)特征值| I A | =0 6 5 1 0 2 3 2 4 0 0 0 0 0 0 = 6 5 1 2 3 2 4 = ( 1)2( 2) | I A | =( 1)2( 2) 求得：求得： 1= 1、 2= 1、 3

49、= 2將將 1= 1 代入代入（ 1 IA）Q1= 0中中 6 5 1 2 3 2 4 q11q21q311 6 5 1 1 2 3 2 3 =0rank 1I A =2，獨立的特征矢量只有一個。，獨立的特征矢量只有一個。任取任取q11=1解得解得q21= 3/7， q31= 5/7再將再將Q1代入代入（ 1 IA）Q2= Q1中中 1 3/7 5/7Q1=rank 2I A =2，獨立的特征矢量只有一個。，獨立的特征矢量只有一個。任取任取q12=1解得解得q22= 22/49， q32= 46/49再將再將Q1代入代入（ 1 IA）Q2= Q1中中要保證要保證Q陣非奇異陣非奇異將將 3=2代

50、入代入（ 3 IA）Q3= 0中中2 6 5 1 2 2 3 2 2 q13q23q33=0rank 2I A =2，獨立的特征矢量只有一個。獨立的特征矢量只有一個。令令q13=2，則，則q23= 1，q33= 2 1 22/49 46/49Q2=q12q22q32=13/75/71 6 5 1 1 2 3 2 3 2 1 2Q3= 1 22/49 46/49Q2= 1 3/7 5/7Q1=Q=1 1 2 3/7 22/49 1 5/7 46/49 21 1 00 1 00 0 2J= Q1AQ=作業(yè)作業(yè)1-5 已知已知Y= 1 0 x1x2x1x2x1x2=+u11 0 1 2 3試化為標準

51、形并求其傳遞函數(shù)。試化為標準形并求其傳遞函數(shù)。1.5 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣G11(S)G21(S)G12 (S)G22 (S)+ +Y2(S)U1(S)U2(S)Y1(S)當初始條件為零時當初始條件為零時Y1(S)=G11(S) U1(S)+ G12(S) U2(S)Y2(S)=G21(S) U1(S)+ G22(S) U2(S)雙輸入雙輸出雙輸入雙輸出Y1(S)=G11(S) U1(S)+ G12(S) U2(S)Y2(S)=G21(S) U1(S)+ G22(S) U2(S)Y1(S)Y2(S)G11(S) G12(S)G21(S) G22(S) U1(S)U2(S)=簡記為：

52、簡記為：Y (S) =G(S) U (S)G11G12G1nG21G22 G2n Gn1Gn2 Gnnn個輸入個輸入n個輸出個輸出G11 0 0 00 G22 0 0 0 0 0GnnY (S)=G0(S) E(S)= G0(S) U(S)F(S)G0(S)H(S)E(S)F(S)U(S)Y(S)+=G0(S) U(S)H(S) Y(S) I+G0(S) H(S) Y(S)= G0(S) U(S)Y (S)= I+G0(S) H(S) 1 G0(S) U(S)閉環(huán)傳遞函數(shù)陣：閉環(huán)傳遞函數(shù)陣：G(S)= I+G0(S) H(S) 1 G0(S) X=AX+BUY=CX+DUX：n維，維，Y：m維

53、，維，U：r維，維，對上式取拉氏變換對上式取拉氏變換SX(S)X(0)=AX(S)+BU(S)X(0)=0Y(S)=CX(S)+DU(S)SX(S) =AX(S)+BU(S)X(S) =SIA1BU(S)Y(S)= CSIA1B +D U(S)傳遞函數(shù)陣：傳遞函數(shù)陣：G（S）= CSIA1B +D例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為x1=x2+u1x2=x3+2u1u2x3=6x111x26x3+2u2y1=x1 x2y2 =2x1+x2 x3 試求其傳遞函數(shù)陣。試求其傳遞函數(shù)陣。解：解：A=0 1 00 0 16 11 61 02 10 2B=C=1 1 02 1 1

54、 G（S）= CSIA1B +D1 1 02 1 1 S 1 0 0 S 1 6 11 S+ 6 11 02 10 2G(S)=S3+6S2+11S+61S2 4S+29S2 + 3S 44S2 + 56S+523S2 17S 14=1 14 3S2+4 356 1729 452 14S+S3+6S2+11S+6對狀態(tài)方程進行線性變換后，其對應(yīng)的傳遞函數(shù)陣不變對狀態(tài)方程進行線性變換后，其對應(yīng)的傳遞函數(shù)陣不變.證明：證明：G(S):原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 G(S):經(jīng)過線性變換的狀態(tài)空間表達式所對應(yīng)的經(jīng)過線性變換的狀態(tài)空間表達式所對應(yīng)的 傳遞函數(shù)陣。傳遞函數(shù)陣。G(S)= CSIA

55、1B +DG(S)= CSIA1B +D設(shè)設(shè)P是非奇異變換陣，由于是非奇異變換陣，由于A= P1APB= P1BC=CPD=D= CPS P1PP1AP1 P1B +D= CPP1( S IA) P1 P1B +D= CP P1 S IA 1 PP1B +D= C S IA 1 B +D故故G(S)= CPSIP1AP1 P1B +D設(shè)子系統(tǒng)設(shè)子系統(tǒng)S1、S2分別為分別為n1、n2維，其組合系統(tǒng)的示意圖維，其組合系統(tǒng)的示意圖 B1D1C1A1U(t)+Y1(t)X1X1 B2D2C2A2+Y2(t)X2X2+Y (t)X1=A1X1+B1UY1=C1X1+D1UX2=A2X2+B2UY2=C2

56、X2+D2UX1=A1X1+B1UY1=C1X1+D1UX2=A2X2+B2UY2=C2X2+D2U組合系統(tǒng)組合系統(tǒng)Y=Y1+ Y2= C1X1+D1U+ C2X2+D2UY= C1 C2D1+ D2X1X2+U傳遞函數(shù)陣：傳遞函數(shù)陣：G1(S)= C1SIA11B1 +D1G2(S)= C2SIA21B2 +D2G(S)= CSIA1B +DX1X2X1X2=+UB1B2A1 0 0 A2傳遞函數(shù)陣：傳遞函數(shù)陣：G1(S)= C1SIA11B1 +D1G2(S)= C2SIA21B2 +D2G(S)= CSIA1B +DB1B2SIA1 0 0 SI A2C1 C21+ D1+ D2=B1B2(SIA1) 0 0 (SI A2)C1 C21+ D1+ D2=1= C1SIA11B1 + C2SIA21B2 + D1+ D2= C1SIA11B1 +D1+ C2SIA21B2 +D2G(S) = G1(S)+ G2(S) X1=